高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》全集汇编附解析

【高中数学】数学《平面向量》复习知识要点
一、选择题
1．已知向量(sin ,cos )a αα=r
，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r
r
，则1tan 2
α=
B ．若a b ⊥r
r
，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r
r 取得最大值，则1tan 2
α= D ．||a b -r
r 1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r
取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2
k k Z π
αϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1
tan 2
α=
，则C 正确.
D 选项，||a b -=
=r r
的最大值为
1=，选项D 正确.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC
⋅u u u r u u u r
的值为（ ） A ．8
3
- B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23
tan BED 3
BD ED ∠=
==
所以22
1tan 1
cos 1tan 7
BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB
EC BEC ⎛⎫
⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
3．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A 3
B 3
C 6
D ．
62
【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u
r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||36
2||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
4．如图，在ABC ∆中，1
2
AN NC =u u u r u u u r
，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
则实数m 的值为（ ）
A ．
35
B ．
25
C ．
1415
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，以AB u u u r ，AC u u u
r 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】
由题意，设()
NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以，()
()113
AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 又15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
所以，
1135λ-=，且m λ=，解得2
5
m λ==. 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
5．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
6．若向量a b r r ，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C
D
． 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
7．在平行四边形OABC 中，2OA =
，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ） A
．2+B
．3+
C
．5+D
．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得23
4+32231,1AC AC =-⨯⨯⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，
又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以22333333,,(2)()13222
AD DB OB =⨯
==∴=++=, 所以
7
2cos 13213
BOA ∠==
, 所以1327213
OB OA ⋅=⨯⨯
=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为32cos023⨯⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉r
r 的最小值是
（ ）
A ．
1116
B ．
78
C ．
158
D ．
315
16
【答案】B 【解析】 【分析】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由|3|2b a -≤r r
，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r
r 最小，则,a b <>r r 应最大，
此时()
222222min
4327
cos ,cos 22438
OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉
=∠===⋅⨯⨯r
r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
9．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,
因为5MN a b =+u u u u r r
r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu
r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu
r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.
故选: B 【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列
出方程组求解即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
11．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v
，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA
BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
12．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B
【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
13．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=
u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC u u u r u u u r
为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
14．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>
的离心率为2
，过右焦点F 且斜率为()
0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r
，则k =（ ）
A ．2 B
C
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
由e =
a =
，b =，可设椭圆的方程为222
334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r
得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22
222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为c e a ===，所以2a b =，
所以a =
，b =，则椭圆方程22221x y a b
+=变为222
334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><， 又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，
所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c
y y +=⎧⎨+=⎩
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2211334
x y c +=，① 22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2
121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-，
所以
21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =
，2109x c =
，从而13
y =-
，29y c =
所以2(,)33A c -
，10(,)99B c c
，故9
102393
k c c +==- 故选：C.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
15．已知向量(b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．23 D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设(),a x y =r 6=-，()
4x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】 设(),a x y =r ，
Q a r 在b r 方向上的投影为6-，∴6a b b ⋅==-r r r 即12x +=-.
又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，
∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13
λ=
. 故选：A.
【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，属于中档题. 16．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ）
A
B C ．2 D 【答案】D
【解析】
【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用a tb -==r r 求解.
【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，
所以a tb -==r r
当[]2,1t ∈-时，max
a t
b -=r r 故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
17．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v ，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v C ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v 【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；
【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12
OD OA =u u u v u u u v ， ∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ， 故选：A.
【点睛】 本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18．已知向量a v ，b v 满足a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A ．2
B ．3
C
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果.
【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos ,
4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
19．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504
OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41
x y x y =⎧⎨
+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.
20．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C．等腰梯形D．菱形【答案】C
【解析】
由
1
2
DC AB
u u u r u u u r
知DC∥AB,且|DC|=
1
2
|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD
u u u r
|=|BC
uuu r
|,
所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。