〖汇总3套试卷〗上海市徐汇区2021年九年级上学期期末联考数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
A ．2y x
B ．24y x =+
C ．2325y x x =-+
D ．2351y x x =+-
【答案】D
【解析】试题分析：分别对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一验证，令y=1，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．
A 、令y=1，得x 2=1，△=1-4×1×1=1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故A 错误；
B 、令y=1，得x 2+4=1，△=1-4×1×1=-4＜1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故B 错误；
C 、令y=1，得3x 2-2x+5=1，△=4-4×3×5=-56＜1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故C 错误；
D 、令y=1，得3x 2+5x-1=1，△=25-4×3×（-1）=37＞1，则函数图形与x 轴有两个交点，故D 正确； 故选D ．
考点：本题考查的是抛物线与x 轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x 轴有两个交点时，b 2-4ac ＞1，与x 轴有一个交点时，b 2-4ac=1，与x 轴没有交点时，b 2-4ac ＜1．
2．将一元二次方程2473x x +=化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．4，3
B ．4，7
C ．4，-3
D ．24 3x x
【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：2473x x +=化成一元二次方程一般形式是4x 2-1x+7=0，则它的二次项系数是4，一次项系数是-1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式． 3．如果点D 、E 分别在△ABC 中的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是（ ） A ．AD ：DB ＝AE ：EC
B ．DE ：B
C ＝A
D ：AB C ．BD ：AB ＝C
E ：AC
D ．AB ：AC ＝AD ：A
E 【答案】B
【解析】由AD ：DB ＝AE ：EC , DE ：BC ＝AD ：AB 与BD ：AB ＝CE ：AC AB ：AC ＝AD ：AE ,根据平行线分线段成比例定理,均可判定,然后利用排除法即可求得答案.
【详解】
A 、AD ：D
B ＝AE ：E
C , ∴DE ∥BC ，故本选项能判定DE ∥BC;
B 、由DE ：B
C ＝A
D ：AB, 不能判定D
E ∥BC,故本选项不能判定DE ∥BC.
C 、B
D ：AB ＝C
E ：AC, ∴DE ∥BC , 故本选项能判定DE ∥BC;
D 、 AB ：AC ＝AD ：A
E ,
,∴DE ∥BC ，,故本选项能判定DE ∥BC. 所以选B.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.
4．已知二次函数2(1)2y a x =--的图象经过点()1,4--，当自变量x 的值为3时，函数y 的值为（ ） A ． 3.5-
B ．4-
C ．4
D ．3.5 【答案】B
【分析】把点()1,4--代入2(1)2y a x =--，解得a 的值，得出函数解析式，再把x =3即可得到y 的值.
【详解】把()1,4--代入2(1)2y a x =--，得24(11)2a -=---，解得a =12
- ∴21(1)22
y x =--- 把x =3，代入21(1)22
y x =---=21(31)22-⨯--=-4 故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，直接将坐标代入法是解题的关键.
5．方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A ．5、3、﹣2
B ．5、﹣3、﹣2
C ．5、3、2
D ．5、﹣3、2
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．
【详解】解：5x 1﹣1＝﹣3x
整理得：5x 1+3x ﹣1＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣1．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．
6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果3AD =，6BD =，2AE =，那么AC 的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例可得到AD AE AB AC =，从而AC 的长度可求. 【详解】∵DE ∥BC
∴
AD AE AB AC = ∴3236AC
=+ ∴6AC =
故选B
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
7．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（ ）
A ．平移
B ．相似
C ．旋转
D ．对称
【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．
8．如图，在圆O 中，弦AB=4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为 （ ）
A ．22
B ．2
C ．32
D ．5 【答案】B 【分析】连接OD ，利用勾股定理得到CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】连接OD ，如图，设圆O 的半径为r ，
∵CD ⊥OC ，
∴∠DCO=90°，
∴CD=2222OD OC r OC -=-， ∴当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小，
此时D 、B 重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=
12
AB=1， ∴CD 的最大值为1.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.
9．计算：x （1﹣21x ）÷221x x x
++的结果是（ ） A ．11x + B ．x+1 C ．11x x -+ D ．1x x
+ 【答案】C
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
【详解】解：原式＝()()()2111x x x x x +-⋅+
＝11
x x -+． 故选：C ．
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
10．抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】A
【详解】解：∵抛物线解析式2=34y x x --+， 令=0x ，解得：=4y ，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），
令=0y ，得到
22124340340(34)(1)013
x x x x x x x x --+=⇒+-=⇒+-=⇒=-=，， ∴抛物线与x 轴的交点分别为（43
-，0），（1，0）． 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为1．
故选A ．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点，解一元一次、二次方程．
11．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．19
【答案】B
【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动， ∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：
13
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
估计出售2000件衬衣，其中次品大约是（ ）
A ．50件
B ．100件
C ．150件
D ．200件 【答案】D
【分析】求出次品率即可求出次品数量．
【详解】2000×4288141176448720900 (1)200501001502005008001000 ++++++-
≈++++++(件)． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了样本估计总体的统计方法，求出样本的次品率是解答本题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．一元二次方程x 2﹣4x+4=0的解是________．
【答案】x 1=x 2=2
【分析】根据配方法即可解方程.
【详解】解：x 2﹣4x+4=0
（x-2）2=0
∴x 1=x 2=2
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.
14．已知在反比例函数图象1k y x
-=
的任一分支上，y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围是______． 【答案】1k >
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k 的范围．
【详解】解：由题意可知：10k -<，
∴1k >，
故答案为：1k >．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 15．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．
【答案】3x <-或1x >．
【分析】由2ax mx c n ++>可变形为2ax c mx n +>-+，即比较抛物线2
y ax c =+与直线y mx n =-+之间关系，而直线PQ ：y mx n =-+与直线AB ：y mx n =+关于与y 轴对称，由此可知抛物线2
y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，
∴m n p -+=，3m n q +=，
∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，
观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2
y ax bx c =++的下方，
∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．
故答案为3x <-或1x >．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 16．如图抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为_____．
【答案】﹣5＜x ＜1
【分析】先根据抛物线的对称性得到A 点坐标（1，0），由y ＝ax 2+bx+c ＞0得函数值为正数，即抛物线在
x 轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax 2+bx+c ＞0的解集．
【详解】解：根据图示知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的两个交点关于直线x ＝﹣1对称，即 抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x ＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（1，0），
∵不等式ax 2+bx+c ＞0，即y ＝ax 2+bx+c ＞0，
∴抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图形在x 轴上方，
∴不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是﹣5＜x ＜1．
故答案为﹣5＜x ＜1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
17．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D 在边BC 上，BD=2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=_____
【答案】70°或120°
【分析】①当点B 落在AB 边上时，根据DB=DB 1，即可解决问题，②当点B 落在AC 上时，在RT △DCB 2中，根据∠C=90°，DB 2=DB=2CD 可以判定∠CB 2D=30°，由此即可解决问题． 【详解】
①当点B 落在AB 边上时，
∵1DB DB =，
∴155B DB B ∠=∠=︒，
∴
118025570
m BDB
=∠=︒-⨯︒=︒，②当点B落在AC上时，
在2
RT DCB中,
∵∠C=90°,
22
DB DB CD
==，
∴
230
CB D
∠=︒，
∴
2120
m C CB D
=∠+∠=︒，
故答案为70°或120°.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.
18．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D E F
、、分别是切点，5
AD=，则ABC
∆的周长为____．
【答案】1
【分析】根据切线长定理得：EC=FC，BF=BD，AD=AE，再由△ABC的周长代入可求得结论．
【详解】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC=FC，BF=BD，AD=AE，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长=AC+EC+BD+AB=AE+AD=2AD，
∵AD=5，
∴△ABC的周长为1．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，一次函数y= -x+b的图象与反比例函数
k
y
x
=（x>0）的图象交于点A（m , 3）和B（3 , n ）.
过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB = 2EO
（1）求一次函数和反比例函数解析式
（2）点P是线段AB上异于A，B的一点，过P作PD⊥x轴于D，若四边形APDC面积为S，求S的取值
范围.
【答案】（1）y=-x+4，3y x
=，（2）0<S<4 【分析】（1）由 2EB EO =得：
13
OE OB =，由B 点横坐标为3得A 点的横坐标为1，将点()1?3A ，代入解析式即可求得答案； （2）设P 的坐标为() ,4?a a -+，由于点P 在线段AB 上，从而可知4PD a =-+， OD a =，由题意可
知：13a <<，从而可求出S 的范围.
【详解】（1）由 2EB EO =得：
13
OE OB =， ∵B 点横坐标为3，
∴A 点的横坐标为1，即1m =. ∵点()1?
3A ，在直线y x b =-+ 及k y x =上， ∴31b =-+及31
k =， 解得：4?
,?3b k ==， ∴一次函数的解析式为：4y x =-+，反比例函数的解析式为：3y x
=； （2）设P 点坐标为()
,4?(13)a a a -+<<， S=
1()2AC PD CD +=12
()() 341a a +－－ ()219422
a =--+， ∵1 02-< ， ∴当4a <时，S 随a 的增大而增大，
∵当1a =时，0S =；3a =时4?S =，
∵13a <<，
∴04S <<.
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，学会设
参数解决问题．
20．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中．共调查了______名中学生家长；
（2）将图形①、②补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
【答案】（1）200；（2）详见解析；（3）48000
【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．
【详解】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；
故答案为：200.
（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，
B所占的百分比为：
120
60% 5012030
=
++
；
C所占的百分比为：
30
15% 5012030
=
++
；
故统计图为：
（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息． 21．在一个不透明的袋子中装有大小、形状完全相同的三个小球，上面分别标有1，2，3三个数字． （1）从中随机摸出一个球，求这个球上数字是奇数的概率是 ；
（2）从中先随机摸出一个球记下球上数字，然后放回洗匀，接着再随机摸出一个，求这两个球上的数都是奇数的概率（用列表或树状图方法）
【答案】（1）23；（2）见解析，49
【分析】（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）首先根据题意列出表格，然后列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案
【详解】解：（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是奇数的球的概率是
23
； （2）列表如下：
第1次 第2次
1 2 3 1
（1，1） （1，2） （1，3） 2
（2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 根据表格可知共有9中情况，其中两次都是奇数的是4种，则概率是=
9
． 【点睛】 本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
22．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，10AB BC m +=，拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为()2
S m .
（1）如图1，若4BC m =，则S =__________2m .
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正CDE △区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，求边BC 的长及S 的最小值.
【答案】（1）88π；（2）BC长为5
2
；S的最小值为
325
4
．
【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的3
4
圆，以C为圆心、6为半径的
1
4
圆和以A
为圆心、4为半径的1
4
圆的面积和，据此列式求解可得；
（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的3
4
圆，以A为圆心、x为半径的
1
4
圆、以C为
圆心、10-x为半径的30
360
圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的3
4
圆，以C为圆心、6为半径的
1
4
圆和以A
为圆心、4为半径的1
4
圆的面积和，
∴S=3
4
×π•102+
1
4
•π•62+
1
4
•π•42=88π，
故答案为：88π；（2）如图2，
设BC=x，则AB=10-x，
∴S=34•π•102+14•π•x 2+30360•π•（10-x ）2 =3
π（x 2-5x+250） =3π（x-52
）2+3254π， 当x=52
时，S 取得最小值3254π， ∴BC 长为
52；S 的最小值为3254π． 【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
23．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)
x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．
【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=1，于是得到结论．
【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx+b ，
将（40，140），（60，120）代入得
40140 60120
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
180 k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得
9030 60120
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3
300 m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝
180(4060) 3300(6090)
x x
x x
-+≤≤
⎧
⎨
-+<≤
⎩
；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝
2
2
2105400(4060) 33909000(6090)
x x x
x x x
⎧-+-≤≤
⎨
-+-<≤
⎩
；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝
210
2
-
-
＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝
390
6
-
-
＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝1，
∵1＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝1，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(3，0)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；
（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
1
2
x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤1
【分析】（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣
6a＝﹣3，解得：a＝1
2
，即可求解；
（2）CH＝HD＝
2
2
m，tan∠ADC＝
2
3
m+
＝tan∠DBC＝
2
2
2
32
2
m
HD
BH
m
=
+
，解得：m＝3或﹣4（舍去
﹣4），即可求解；
（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即可求解．
【详解】解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），
抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
﹣6a＝﹣3，解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为：y＝1
2
x2﹣
1
2
x﹣3；
（2）设CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝
2
2
m，
tan∠ADC＝
2
3
m+
＝tan∠DBC＝
2
2
2
32
2
HD
BH
m
=
+
，
解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），
故点D（0，﹣6）；
（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；
平移后抛物线的表达式为：y ＝12x 2﹣12
x ﹣3﹣h ， 当平移后的抛物线过点C 时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h ＝3；
当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，
即﹣3＝12×9+32
﹣h ，解得：h ＝1， 故3≤h≤1．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角函数的定义及二次函数平移的特点.
25．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且22
12127x x x x +-=，求m 的值．
【答案】（1）证明见解析（1）1或1
【解析】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（1）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．
试题解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]1﹣4×1×（﹣m ）=m 1﹣1m +9=（m ﹣1）1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（1）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2
121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）1﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 1=1，即m 的值是1或1．
26．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自
变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（1）2a =．
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-10-a ）（-10x+500）=-10x 1+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a≤6，则30＜35+12a≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=1，a 1=58，于是得到a=1．
【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．
()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--
对称轴为x ＝35+
12a ，且0＜a≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+
时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴122,
58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
27．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点.已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =.以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.
()1求边界CED 所在抛物线的解析式;
()2如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长.
【答案】（1）2174
y x =-+（44x -≤≤）；（2）点P 与点C 重合，l 取最大值22. 【分析】（1）首先由题意得出()()0,7,4,3E C ，然后代入抛物线解析式，即可得解； （2）首先设点P 的坐标为(,)x y ，矩形MNPQ 的周长为l ，然后根据坐标与周长构建二次函数，即可求的最大值.
【详解】()1由题意得，()()0,7,4,3E C ，且E 为抛物线的顶点，
则设抛物线的解析式为2
7y ax =+， 代入()4,3C 得:2347a =⨯+，解得14
a =-
所以边界CED 所在抛物线的解析式是2174
y x =-+（44x -≤≤） ()2设点P 的坐标为(,)x y ，矩形MNPQ 的周长为l .则2174y x =-+，04x <≤， 矩形MNPQ 的周长，()()221122222741442l PQ PN x y x x x x =+=+=-
+=-+⎫ ⎪⎭+⎛⎝ 化简得()21422042
l x x =--+<≤，， 0,12
∴-<当4x =时，l 取最大值22.此时点P 与点C 重合. 【点睛】
此题主要考查抛物线的性质以及最值问题，熟练掌握，即可解题.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．正三角形
B ．正五边形
C ．等腰直角三角形
D ．矩形 【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.
【详解】A ．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B ．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C ．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D ．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣2
B ．k ＜﹣2
C ．k ＜2
D ．k ＞2 【答案】D
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得△0>，即可求解.
【详解】∵一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+2=0有两个不相等的实数根，
∴△()222k 41
k k 20=--+>﹣， 解得k ＞2.故选D.
【点睛】
本题考查一元二次方程△与参数的关系，列不等式是解题关键.
3．已知反比例函数y=﹣6x
，下列结论中不正确的是( ) A ．图象必经过点(﹣3，2) B ．图象位于第二、四象限
C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3
D ．在每一个象限内，y 随x 值的增大而减小 【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A 、∵（﹣3）×2=﹣6，∴图象必经过点（﹣3，2），故本选项正确；
B 、∵k=﹣6＜0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故本选项正确；
C 、∵x=-2时，y=3且y 随x 的增大而而增大，∴x ＜﹣2时，0＜y ＜3，故本选项正确；
D 、函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，在解答此类题目时要注意其增减性限制在每一象限内，不要一概而论． 4．对于二次函数214y x =的图象，下列结论错误的是( ) A ．顶点为原点
B ．开口向上
C ．除顶点外图象都在x 轴上方
D ．当0x =时，y 有最大值 【答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数214
y x =顶点坐标为（0，0），104>开口向上，故除顶点外图象都在x 轴上方， 故A 、B 、C 正确；当x=0时，y 有最小值为0，故D 错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键. 5．如图，正六边形ABCDEF 的半径OA ＝OD ＝2，则点B 关于原点O 的对称点坐标为（ ）
A ．（1，﹣3）
B ．（﹣1，3）
C ．（﹣3，1）
D ．（3，﹣1）
【答案】D 【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接OB ，
∵正六边形ABCDEF 的半径OA ＝OD ＝2，
∴OB ＝OA ＝AB ＝6，∠ABO ＝∠60°，
∴∠OBH ＝60°，
∴BH ＝12OB ＝1，OH
∴B 1），
∴点B 关于原点O 1）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应角的度数.
6．反比例函数3y x =-
，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点(1,-3)
B ．图象位于第二、四象限
C ．图象关于直线y=x 对称
D ．y 随x 的增大而增大 【答案】D
【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3y x
=-，故A 是正确的； 由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数3y x
=-关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的， 由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D 是不正确的，
故选：D ．
【点睛】
考查反比例函数的性质，当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y x =和y x =-是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三连个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的是（ ）
A ．1000(1＋x)2＝440
B ．1000(1＋x)2＝1000
C ．1000(1＋2x)＝1000＋440
D ．1000(1＋x)2＝1000＋440
【答案】D
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题得出选项．
【详解】解：由题意可得，1000(1＋x)2＝1000＋440，
故选：D ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，是关于增长率的问题．
8．一元二次方程23210x x --=的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．只有一个实数根 【答案】B
【分析】直接利用判别式△判断即可．
【详解】∵△=()()22431160---=>
∴一元二次方程有两个不等的实根
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，注意在求解判别式△时，正负号不要弄错了．
9．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；
②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a
->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac
b a -<-，∵0a >，∴248a
c b a -<-，即。