2024届高三12月大联考考后强化卷数学试题(新课标I卷)(考试版)

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2024届高三12月大联考考后强化卷（新课标I卷）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。

A B=
A ．3680平方米
B ．2760平方米
C ．1840平方米
D ．460平方米 8．设π3a =，e πb =，πe c =，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

，求平面PFB 与平面1)．
数学·全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。

1．B 【解析】因为{(2)(1)0}{1,0,1,2},{|05}A x x x B x x =∈-+≤=-=≤≤Z
|，所以{0,1,2}A B =．故选B ．
2．D 【解析】由全称命题的否定为特称命题，可知原命题的否定为x ∃∈Z ，20x <．故选D. 3．A 【解析】由(1,),(1,1)m ==-a b ，得(2,1)m +=-a b .因为()+⊥a b b ，所以()0+⋅=a b b ， 所以121(1)0m ⨯-⨯-=，解得3m =．故选A.
4．B 【解析】因为函数πsin(2)6y x =+可变形为π
sin[2()]12
y x =+，
函数πsin(2)3y x =-可变形为πsin[2()]6y x =-，所以把函数πsin(2)3y x =-的图象向左平移π
4个单位长度，
即可得到函数π
sin(2)6
y x =+的图象，故选B.
5．D 【解析】含42
x y 的项为242
33342
6621C C 25x T x y x y x y y
=⨯-
⨯=-，所以展开式中42x y 的系数为25-．故选D. 6．C 【解析】由题意，因为(e e e )e x x x x ---=--，所以e e x x y -=-为奇函数，
()f x 的图象是由函数e e x x y -=-的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， 所以()f x 的图象关于点(1,4)对称．
又4(1)4y kx k k x =+-=-+所表示的直线也关于点(1,4)对称，
所以方程()4f x kx k =+-的3个实根123,,x x x 中必有一个为1，另外两个关于点(1,4)对称， 所以1233x x x ++=．故选C ．
7．A 【解析】如图，由题意，知底面ABCDEFGH 是正八边形，2ππ84
AOB ∠=
=.
在OAB △中，由余弦定理，得22222cos (2AB OA OB OA OB AOB OA =+-⋅∠=，
则22OA AB =
．因为底面ABCDEFGH 的面积为1)平方米，
所以2181)2AB ⨯=，解得40AB =，
所以该八棱柱的侧面积为40811.53680⨯⨯=平方米．故选A ．
8．C 【解析】由题意，知ln πln3a =，ln eln πb =，ln πc =，显然ln ln a c >. 对于eln π，π的大小，只需比较ln πln e
,πe
的大小. 令ln ()x f x x =且e x ≥，则2
1ln ()0x
f x x
-'=≤，即()f x 在[e,)+∞上单调递减， 所以
ln πln e πe
<，所以ln eln πb =<ln πc =.综上，ln ln ln a c b >>，故a c b >>．故选C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．BD 【解析】对于A ，由(1i )15i z -+=+，得15i (15i )(1i )46i 23i 1i (1+i )(1i )2
z ++---
=
===--+---，所以z 的虚部为3-，
故A 错误；
对于B ，z B 正确； 对于C ，z 的共轭复数为23i +，故C 错误；
对于D ，z 在复平面内对应的点为(2,3)-，位于第四象限，故D 正确．故选BD ．
10．BCD 【解析】因为()e 21x f x x =-+的定义域为R ，且()e 2x f x '=-，令()0f x '=，得ln 2x =，
所以当(,ln 2)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，无极大值，也无最大值， 且()(ln 2)32ln 2f x f ==-极小值，所以B ，C ，D 正确，A 错误.故选BCD ．
11．AC 【解析】方法一：由题意，知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()02
F p ，，则直线l 的方程为2p y x =-，
代入抛物线方程，得2
2
304
p x px -+=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则123x x p +=. 由抛物线的定义，得12||,||22
p p
AF x BF x =+
=+，所以12||||||4AB AF BF x x p p =+=++=. 坐标原点O 到直线l
|00|p --
=，所以OAB △
的面积为142p =，解得2p =，故A 正确；
又||4AB p ==8，故B 错误；
由2p =，得2610x x -+=
，解得1244x x =+=-
所以
111||||AF BF +=，故C 正确；
||4AF =+，故D 错误.故选AC ． 方法二：由题意，得2
2||4πsin 4
p AB p =
=，设直线l ：2p y x =-
，即02
p
x y --=，则点O 到直线AB 的距
||p
p -
=
，所以142p p ⨯=，解得2p =，所以||8AB =，1121||||AF BF p +==
，||2(2π1cos
4
p AF =
=+-，所以A ，C 正确.故选AC ．
12．ABD 【解析】对于A ，在等边三角形ACD 中，点A 到直线CD
的距离为πsin
3a ⋅，故A 正确； 对于B ，如图，
取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AG BE ⊥交BE 于点G ，则AE CD ⊥，BE CD ⊥. 又AE
BE E =，AE ，BE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE .
又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABE .
又平面BCD 平面ABE BE =，AG BE ⊥，AG ⊂平面ABE ，所以AG ⊥平面BCD .
由正四面体的性质，知2233BG BE =
==， 所以在Rt AGB △
中，AG =，故B 正确； 对于C ，由B ，知AG ⊥平面BCD ，所以ABG ∠即为直线AB 与平面BCD 所成的角. 在Rt AGB △
中，3cos BG ABG AB a ∠===C 错误； 对于D ，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，如图，则AF BC ⊥，DF BC ⊥
.
又AF ⊂平面ABC ，DF ⊂平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，
所以AFD ∠为二面角A BC D --的平面角.
又πsin
3AF DF a ==⋅=，AD a =， 所以在AFD △
中，由余弦定理，得2222
21))12cos 332a a
AFD a +-∠=
==， 所以二面角A BC D --的余弦值为1
3
，故D 正确．故选ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．43-
【解析】由题意,得222tan
22243tan 31231tan 3
α
αα⨯===---．故填43
-． 14．
32 【解析】10135635x =⨯++++=（），11356745y m m =⨯++++=（．．）1445
m
+，
又y 与x 的线性回归方程1y x =+过点144(3,
)5m +，∴144315m +=+，解得32m =．故填3
2
． 15．43n a n =-+ 【解析】由2(2)n S a n n a =-++，知当1n =时，1121a S a ==-；
当2n ≥时，12(2)3n n n a S S a n a -=-+=--， 此时，24(2)335a a a a =-+-=-，
当2n ≥时，12(2)n n a a a +-=-.又2135(21)4a a a a a -=---=-.
若数列{}n a 是等差数列，则2(2)4a a -=-，所以0a =，所以43n a n =-+．故填43n a n =-+．
16
．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为||3||AF FB =，又A F B ,,三点共线， 所以3AF FB =，所以1122(,)()3,c x y x c y ---=+，所以1234x x c +=-，1230y y +=．
又11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以22
112222
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2222
1212
2222998x x y y a a b b -+-=-， 即1212121222()()((3))3338x x x x y y y y a b +-+-+=-，所以1224(3)8c x x a --=-，所以2
1223a x x c
-=，
所以212a x c c =-.
又c a =，所以223a c =，所以1x c =.由221221y c a b +=
，解得1y =，
当1y =
时，直线l
的斜率11y k x c ==+
，当1y =时，直线l
的斜率11y k x c ==+ 所以直线l
的斜率为
．故填
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
【解析】（1）在ABC △中，πC A B =--，∴sin sin()C A B =+.（1分）
∵sin sin()sin A B A C +-=，∴sin sin()sin()A B A A B +-=+，化简，得sin 2sin cos A A B =.（2分） 在ABC △中，sin 0A ≠，∴1
cos 2
B =.（3分） 又∵0πB <<，∴π
3
B =
.（4分） （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac +-=.（6分） 若选①，
∵sin B A =
，即b .（7分） 又223a c ac +-=，∴1a =，2c =，（9分） 此时ABC △
的周长为3.（10分） 若选②，
∵cos cos 2cos b C c B B +=，∴222222
2cos 22a b c a c b b c B ab ac
+-+-⨯+⨯=，（6分）
即1
2cos 212
a B ==⨯
=.（8分） 又223a c ac +-=，∴2c =，（9分） 此时ABC △
的周长为3．（10分） 18．（12分）
【解析】（1）零假设0H ：喜欢跳舞与性别无关联.（1分）
由题意，2
2
0.0590(2525355) 5.625 3.84160303060
χα⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，（3分）
依据小概率值0.05α=的独立性检验，可推断0H 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联．（5分） （2）由题意，知考生喜欢跳舞的概率301903P =
=，不喜欢跳舞的概率为2
3
，（6分）
X 的所有可能取值为0，1，2，3，（7分）
0033128(0)C ()()3327P X ===，123312124(1)C ()2793P X ==⨯⨯==，22331262(2)C 3()279P X ==⨯⨯==，
311
(3)()327
P X ===，（9分）
所以X 的分布列为
（10分）
由1~(3,)3X B ，知1
()313
E X =⨯=．（12分）
19．（12分）
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，
因为124a a +=，440S =，所以222341212()36a a a q a q a a q +=+=+=，（2分） 即2436q =，所以3q =（3q =-舍去），（3分） 所以121134a a a a +=+=，所以11a =，（4分） 所以13n n a -=.（5分）
（2）由（1）得13n n b n -=⋅，（6分） 则21123333n n T n -=+⨯+⨯+
+⋅①，（8分） 233323333n n T n =+⨯+⨯+
+⋅②，（10分）
由①-②，得2
1
1311
21333
(333122
)3n n n
n n n T n n n ---=+++
+-⋅=-⋅=-⋅--，（11分）
所以(21)31
4
n n n T -⋅+=．（12分）
20．（12分）
【解析】（1）如图，设G 为PB 的中点，连接,GE FG ， 又,E F 分别是PC AD ,的中点，所以11
,22
FD AD GE BC =
=，GE BC ∥.（2分） 又底面ABCD 是正方形，所以AD BC =，AD BC ∥，所以FD GE =，GE FD ∥，（3分） 所以四边形FDEG 为平行四边形，所以DE FG ∥.（4分）
又DE ⊄平面,PFB FG ⊂平面PFB ，所以DE ∥平面PFB ．（5分）
（2）由题意，知45PBD ∠=︒，以D 为原点，直线,DA DC DP ,分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，（6分）
令1AB =
，则PD DB ==
11(1,1,0),(0,0,0),(0,(,0,0),22B D E F P ，
所以121
(1,1,0),(0,,),(1,1,2),(,1,0)222DB DE PB FB ===-=.（
7分）
设(,,)x y z =m 为平面EDB 的法向量，则0
102DB x y DE y ⎧
⋅=+=⎪
⎨⋅=+
=⎪⎩m
m ， 令y =(1)=-m
.（9分）
设(,,)a b c =n 为平面PFB 的法向量，则01
02PB a b FB a b ⎧⋅=+-=⎪
⎨
⋅=+=⎪⎩n n ， 令2a =，则(2,=-n ，（
10分）
所以cos ,||||⋅〈〉===
m n m n m n ，（11分） 所以平面PFB 与平面EDB ．（12分） 21．（12分）
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()f x m x
'=
+．（1分） 若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值；（2分） 若0m <，则当1
(0,)x m
∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1
(,)x m
∈-
+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，（4分） 所以当1x m =-
时，()f x 取得极大值，也是最大值，为11
()ln()0f m m
-=-=，解得1m =-．（5分） （2）对任意0,()()x f x g x >≤恒成立，即ln 1
1e x
x m x
++≤-
在(0,)+∞上恒成立．（6分）
设ln 1()e x
x x x ϕ+=-，则22e ln ()x x x x x ϕ+'=．（7分） 设2()e ln x q x x x =+，则21()(2)e 0x q x x x x '=++>，所以()q x 在(0,)+∞上单调递增，且1()02
q <，(1)0q >， 所以()q x 有唯一零点01(,1)2
x ∈，且0200e ln 0x x x +=， 所以00ln 0000
ln e ln e x x x x x x -=-=-⋅．（8分） 构造函数()e x h x x =，则00(()ln )h x h x =-.（9分）
又函数()e x h x x =在(0,)+∞上是增函数，所以00ln x x =-．（10分） 由()x ϕ在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
得()0000000
ln 111()e 1x x x x x x x x ϕϕ+-≥=-=+=，（11分） 所以m 的取值范围是(,0]-∞．（12分）
22．（12分）
【解析】（1
）由题意，知21||||4MF MF -=<M 的轨迹是实轴长为24a =，
左、右焦点分别为12),(0)0F F
，即半焦距c =（2分）
所以b =（3分）
所以曲线E 的方程为22
1(2)43
x y x -=≥(或0x >)．（4分） （2）由题意，知过点(1,0)的动直线l 的斜率存在且不为0，设斜率为k ， 所以直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，（5分） 联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k --++=，所以22122212243008043412043k k x x k k x x k ∆⎧-≠⎪
>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪=>-⎩
，（6分） 解得2314k <<
，即1k -<<
1k <<，（7分） 所以1212121212122(1)(2)(1)(2)2(2)(1)(2)(1)
AP BQ k y x k x x x x k x y x k x x x -----=⨯==++⋅-+- 121212122222
x x x x x x x x --+=-+-（8分） 22
112222
112241282()2434341282()24343
k k x x k k k k x x k k +---+--=+-+----（9分）
21221246431218343
k x k k x k +-+-=+-+-（10分） 212212461434633()43
k x k k x k +-+-==+-+-，（11分） 所以AP BQ k k 为定值13．（12分）。