江苏省泗阳中学高三数学第二次调研测试卷

江苏省泗阳中学高三年级第二次调考试
数 学 试 题
命题： 高为正 庄先昭
注意事项：
1、本卷总分200分。

第Ⅰ卷：必修部分，160分，考试时间120分钟； 第Ⅱ卷：选修部分， 40分，考试时间 30 分钟。

2、在做题前务必将班级、姓名、学号写在答题纸上的密封线内；
3、答题时，填空题与解答题的答案均要写在答题纸上对应题目的空格处，否则无效；考试结束后，只交答题纸；
4、文科学生只做第Ⅰ卷（必修），理科学生第Ⅰ卷（必修）与第Ⅱ卷（选修）全做。

第Ⅰ卷（必修部分，160分，考试时间120分钟）
一．填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分）
1． 已知函数f （x ）=x -1的定义域为A ，g （x ）=ln （1+x ）的定义域为B ，则A ⋃B= ▲ 2．复数
i
i
4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限 3
．函数y __________▲____________;
4．在⊿ABC 中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosC = _____▲___________ 5．化简：sin 2
⎪⎭⎫
⎝⎛-θπ6+sin 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+θπ6－sin 2
θ = ______▲_____ 6．圆心是C （2，-3），且经过原点的圆的一般方程是________________▲______________ 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－9n ，第k 项满足5＜a K ＜8，则k = ▲ 8．已知⊿ABC 中,a AB =,b AC =,0<∙b a ,4
15
S =
∆ABC , 5||,3||==b a ,则 b a 与夹角为 _______▲___________
9．当(1
2)x ∈，时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ▲ 10．已知实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,0203410
4y x y x y x ,则函数f(x,y)=2x+y 的最大值是 ▲ .
x
11．如图11，是函数()f x 的图象，则不等式2(28)()0x x f x -->的解集为
_______▲ _______
12．如图12，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其表面积是 ▲ . 12．
13．直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围
是 ▲ . 14．给出以下四个命题：
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=或2x+y=0； ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④先将函数sin(23
y x π
=-
的图像向左平移
6
π
个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为sin y x =．
其中正确命题的序号为 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上）
二．解答题（本大题有6个题，共90分）
15．（本题12分=6分+6分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,
,a b c ，且tan A = （Ⅰ）求sin2A ；（Ⅱ）若4AB AC ⋅=，且8b c +=，求a ．
俯视
第11题图 第12题图
已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
17．（本题14分= 6分+ 8分）
已知函数2()1f x ax bx =-+。

（Ⅰ）是否存在实数,a b 使()0f x >的解集是(3,4)，若存在，求实数,a b 的值，若不
存在请说明理由．
（Ⅱ）若a 为整数，2b a =+，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值．
18. ( 本题16分 = 8分 + 8分 )
如图，江北水城湖畔有一块边长为2a 的等边三角形的草坪，在这块草坪内安装灌溉水管DE ，使DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上. ①设AD = x （x ≥0），DE = y ，求y 关于x 的函数关系式；
②为节约成本，应如何安装，才能使灌溉水管DE 最短，最短是多少？
A
1
1
A E
C x y
B
A
C
D E
已知：A （1，5），B （7，1），P(1，2)，O （0，0） （1）求出直线AB 的一般式方程；
（2）若点C ）（y x ,在线段．．OP 上，且CB CA t ⋅=，求t 的最大值和最小值，并求当t 取得最大值和最小值时，ABC ∆的面积S ； （3）直线．．OP 上是否存在点C ）（00,y x ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，请求出点C 的横坐标0x 满足的条件；若不存在，请说明理由．
20．(本题18分=4分+7分+7分)
对于数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的“一阶差分数列”，其中*)(1N n a a a n n n ∈-=∆+ （Ⅰ）若数列{a n }的通项公式}{*),(2
13
252n n a N n n n a ∆∈-=
求的通项公式； （Ⅱ）若数列{a n }的首项是1，且满足n n n a a 2=-∆， （1）证明数列}2
{
n n
a 为等差为数列； （2）设{a n }的前n 项和为S n ，求S n
数学附加题
第Ⅱ卷：选修部分， 40分，考试时间 30分钟。

1.（本小题满分8分）求直线⎩⎨⎧--=+=t
y t x 3141 （为参数t ）被曲线)4cos(2π
θρ+=所截
的弦长。

2.（本小题8分）求出矩阵A=⎢⎣⎡01 ⎥⎦
⎤
-10的特征值和特征向量。

3.（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为
4
3
，且只有3发子弹。

该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。

设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）目标被击中的概率； （Ⅱ）X 的概率分布； （Ⅲ）均值E(X)
4．（本小题满分12分） 如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈， B α∈，C β∈，
CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角
为30．请你用空间向量的有关知识解决下列问题 （I ）证明BC PQ ⊥；
（II ）求二面角B AC P --的所成角的余弦值．
（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点M 使得直线BM 与平面β所成角为6
π。

A
B
C
Q
α
β P
数学试题
第Ⅱ卷：选修部分，总分 40分，考试时间 30 分钟
江苏省泗阳中学高三年级第二次调研考试 高 三 数 学 参 考 答 案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）
1. R
2.三
3.］，（2∞-
4. 4
1
-
5.2
1
6.06422=+-+y x y x
7. 8
8. 150° 9.5-≤m
10. 7.5
11.)4,0()2,(⋃--∞ 12.12 13.),2
(]4
,0[ππ
π
⋃ 14.①②③④
二、解答题（本大题有6个题，共90分）
15． 解：（Ⅰ）tan A =sin A A =
又22
sin cos 1A A +=，∴ 2
1
c o s 9
A =
， --------------------------------2分 又
tan 0A =>，∴ A 为锐角，∴ 1
c o s
3
A =， 从而3
2
2)31(1cos 1sin 22=
-=-=A A , ---------------------------------------------------4分
9
2
4313222cos sin 22sin =
⋅⋅
==∴A A A ------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）||||cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅=，-------------------------------------------------------7分
即cos 4bc A =，12bc =， -----------------------------------------------------------------9分
∴ 2222
2
c o s ()2323
a b c b c A
b c b c b c =+-=+--= ∴ a =分
16．解：(Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ，
∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥．
又C =AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，
∴11B D AE ⊥． ……………………………………4分
（Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、．
∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE
1B F ，
∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分
∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ，又//BC AD ，∴//EF AD ． ∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ，∵AF CF C =，1B E
ED E =，
∴平面//ACF 面1B DE ．
又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………9分
（Ⅲ）1
22ABD S AB AD ∆=
⋅=． ……………………………11分 112
333
A BDE
E ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=。

………14分
17．解：（Ⅰ）假设存在实数a 、b ，使0)(>x f 的解集是（3，4），
即不等式2
10ax bx -+>的解集是(3,4)，且0<∴a 方程式2
10ax bx -+=的两根是
13x =，24x = -------------------------------------------------------3分
由韦达定理得
121
21==x x a
，0>∴a 与0<a 矛盾，故不存在实数,a b 的值，使不等式210ax bx -+>的解集是(3,4)。

---------------6分
（Ⅱ）∵ 2b a =+∴ 2()(2)1f x ax a x =-++，04422
2
>+=-+∆∴a a a ）＝（， ∴函数2()1f x ax bx =-+必有两个零点，-------------------------------------8分 又函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，∴(2)(1)0f f --<---------------------11
分
(65)(23)0a a ++<，35
26
a -
<<-，又a Z ∈，∴ 1a =- --------------------14分
18．解：①∵ABC ADE S S ∆∆=21，∴2
2
360sin 21a AE x =︒⨯⨯∴AE =x a 22，------3分 在△ADE 中，
22
22
222222260cos 2a x
a x AE x AE x AE x AE x y -⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=⋅-+=︒⋅⋅-+=， ∵y > 0，∴224
2
24a x
a x y -+= ------------------------------------------6分
又AE =x
a 2
2≤2a ，∴x ≥a ，∵D 在AB 上，∴x ≤2a ，
∴2
242
24a x
a x y -+=（a ≤x ≤2a ）------------------------------------ 10分
②a a a a x
a x y 22222422224
2
=-⋅≥-+=，
当且仅当24
2
4x
a x =，即a x 2=时“=”成立，------------------------------14分
此时a a
a x a AE 22222
2===，
∴使AD=AE=a 2时，DE 最短，最短为a 2.-------------------------------16分 19．解：（1）327115---＝＝
AB K ，由点斜式，得）（＝－13
2
5--x y 所以直线AB 的一般式方程为：01732=-+y x -------------------------------------------2分 （2）由题意，得直线OP 的方程为x y 2=，∵点C ),(y x 在线段OP 上，∴x y 2=，
,10≤≤x
)1,7()5,1(y x y x --=--=， ，
8
)2(512205512)2(785678)1)(5()7)(1(222222--=+-=+-++-=+-++-=--+--=⋅=∴x x x x x x x y y x x y y x x t
--------------------------------------------------------------------4分
∴函数t 是对称轴为2=x 的二次函数 ∴函数t 是]1,0[∈x 上的单调递减函数
∴3)1(min ,12)0(max -====t t t t ----------------------------------------------------6分
），
，（时，点当213max C t -=它到直线01732=-+y x AB ：的距离2
2
3
2|
172312|+-⨯+⨯=
d ＝
13
9
又132)51()17(22=-+-=AB ， 913213
92121=⋅⋅=⋅⋅=
∴AB d S 当的距离：它到直线时，点01732),0,0(12max
=-+=y x AB C t
131713170=-=｜｜d 1713213
1721=⋅⋅=∴S ------------------------------------------------8分
综上所述：当S ＝9时，CB CA t ⋅=的取得最小值－3
当S ＝17时，t ⋅=取得最大值12 -----------------------------------9分
（3）假设存在点C ）
（00,y x ，使得ABC ∆为钝角三角形 1若∠BAC 为钝角
则0cos <=
∠ACB ，即0<⋅
由（2）得01220)(5020<+-x x 解得
　，10522105220+<<-
x 即)105
2
2,10522(+- 当A 、B 、C 三点共线时
由⎩⎨⎧=-+=0173220000y x x y 得817
0=x
），（105
22522817+-∈
)
105
2
2,817()817,10522(0+⋃-∈∴x ------------------------------------------------12
分
２°若CAB ∠为钝角
则|
|||cos AB AC CAB =
∠，0<⋅即，0)4,6()5,1(00<-⋅--y x ，
0)5(4)1(600<---y x ，0)52(4)1(600<---x x ，解得70>x 即
），（∞+7 3若ABC ∠为钝角
则0|
|||cos <∠BC BA ABC ，即0<⋅，0)1,7()4,6(00<--⋅-y x ，
0)12(4)7(600<-+--x x ，解得）即19,(,190--∞-<x --------------------------15分
综上可得：
使ABC ∆为钝角三角形的点C 的横坐标0x 满足的条件为：
),7()105
22,817()817,10522()19,(0+∞⋃+⋃-
⋃--∞∈x ---------------------16分
20．解：（I ）依题意n n n a a a -=∆+1
45]2
13
25[)]1(213)1(25[(22
-=--+-
+=∆∴n n n n n a n -----------------4分 （II ）（1）由n n n n n n n n n n a a a a a a a 22,2211+==--=-∆++即得 2
1
2211+=∴
++n n n n a a ------------------------------------------------------------6分
即
2
1
2,
121
2
2111
1=∴
==-++a a a a n n n n }2{
n
n a ∴是以21为首项，21为公差的等差数列-------------------------------11分
（2）由（1）得
12222)1(21212
-⋅=⋅=∴=-+=n n n n
n n n a n n a --------------14分 1102122221-⋅++⋅+⋅=+++=∴n n n n a a a s ① n n n s 22221221⋅++⋅+⋅=∴ ② ①－②得 n n
n
n n n n S 22
12122
2211
2
⋅---=⋅-++++=--
12)1(122+-=+-⋅=∴n n n n n n s --------------------------------------18分
数学附加参考答案
1.由⎩⎨
⎧--=+=t
y t
x 3141
得直线方程为0143=++y x …………………………………………3分
)4
cos(2π
θ+=e
θθsin cos -=
∴θθsin cos 2
e e e -=
y x y x -=+22………………………………………………………6分
即2
1)2
1()2
1(2
2
=++-y x 圆心到直线的距离10
1=
d ∴弦长＝100
1
212-
⨯ ＝
5
7
…………………………………………………………8分 2.矩阵A 的特征多项式为
)1)(1(1
00
1
)(+-=+-=
λλλλλf …………………………3分 令0)(=λf 得A 的特征值为1或－1 将1代入二元一次方程组
⎩⎨
⎧=++⋅=⋅+-0
)1(0001
y x y x λλ）（ 解得：0=y
令R k k x ∈=,且0≠k
于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡01 (6)
分
同理可得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡10…………………………………8分
3.解：①第一次击中431=
p 第二次击中163
2=p
第三次击中64
3
3=p ……………………………………………………………6分
②
4.证明：
（1）因为αβ⊥，CO PQ ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，
又因为CA CB =，所以OA OB =．
而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=
OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥ ……………………………4分
（2）O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面
α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则AO
1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO
BAO ∠=∠=， 所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是
(000)O ，，，
0)B ，，(0A
，(001)C ，
，，OA=（0，3，0） 所以(3AB =，
，(0AC =．=（3-，0,1）………6分 Q
1
1
n AC
⎨
=
⎪
⎩
z
+=
⎪⎩
取1
x=
，得
1
n =．………8分
易知
2
(100)
n =，，是平面β的一个法向量．………10分
设二面角B AC P
--的平面角为θ，由图可知，
12
n n
θ=<>
，．
所以12
12
cos
||||51
n n
n n
θ===
⨯
B-AC-P所成角的余弦值为
5
5
………12分
4.解：（I）在平面β内过点C作CO PQ
⊥于点O，连结OB．
因为αβ
⊥，PQ
αβ=，所以COα
⊥，
又因为CA CB
=，所以OA OB
=．
而45
BAO
∠=，所以45
ABO
∠=，90
AOB
∠=，从而BO PQ
⊥，又CO PQ
⊥，所以PQ⊥平面OBC．因为BC⊂平面OBC，故PQ BC
⊥．
解：由（I）知，OC OA
⊥，OC OB
⊥，OA OB
⊥，故可以O为原点，分别以直线OB OA OC
，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为CO a
⊥，所以CAO
∠是CA和平面α所成的角，则30
CAO
∠=．
不妨设2
AC=，则AO
1
CO=．
在Rt OAB
△中，45
ABO BAO
∠=∠=，
所以BO AO
==
则相关各点的坐标分别是
(000)
O，，，0)
B，，(0
A，(001)
C，，．
所以(3
AB=，，(0
AC=
．
Q
1
1
n AC
⎨
=
⎪
⎩
z
+=
⎪⎩
取1
x=
，得
1
n =．
易知
2
(100)
n =，，是平面β的一个法向量．
设二面角B AC P
--的平面角为θ，由图可知，
12
n n
θ=<>
，．
所以12
12
cos
5
||||51
n n
n n
θ===
⨯
．
故二面角B AC P
--
的大小为
15．解：（Ⅰ）tan A=sin A A
=
又22
sin cos1
A A
+=，
∴
2
1
c o s
9
A=，------------------------------------------------------------------2分又tan0
A=>，∴ A为锐角，∴
∴
1
c o s
3
A=，------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）||||cos4
AB AC AB AC A
⋅=⋅=，-------------------------------------------------------7分
即cos4
bc A=，12
bc=，------------------------------------------------------------9分
∴2222
2
c o s()232
3
a b c
b c A b c b c b c
=+-=+--=
∴a=------------------------------------------------------------12分
16．解：(Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥． ∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． 又C =AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，
∴11B D AE ⊥． …………………………………… （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、．
∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE
1B F ，
∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．
∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF
CF C =，1B E
ED E =，
∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）1
22ABD S AB AD ∆=
⋅=． ……………………………11分 112
333
A BDE
E ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=。

………14分
17．解：（Ⅰ）不等式2
10ax bx -+>的解集是(3,4)，故方程式2
10ax bx -+=的两根是
13x =，24x = --------------------------------------2分
所以
12112x x a ==，127b x x a =+=，所以112a =，7
12
b = -------------------------------------------4分
而当1
012
a =
>时，不等式210ax bx -+>的解集是(,3)(4,)∞+∞，不是(3,4)，故不存在实数,a b 的值，使不等式2
10ax bx -+>的解集是(3,4)。

---------------6分
（Ⅱ）∵ 2b a =+
∴ 2()(2)1f x ax a x =-++，2(2)40a a ∆=+->，函数2()1f x ax bx =-+必有两个零点， -------------------------------------------8分 又函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，(2)(1)0f f --<，
------------------------------------------10分
(65)(23)0a a ++<，35
26
a -
<<-又a Z ∈，∴ 1a =- ------------------------------------------12分
18. [解]（1）∵ 2
2
222)2(+=+
=a f ，∴ 2=a . …… 3分 （2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0
002x x y +
=，00>x ，
由点到直线的距离公式可知：00
00||,1
2
|
|||x PN x y x PM ==
-=， 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),
0(0y N .
∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即
100-=--t
x t
y ，解得 )(2
1
00y x t +=
，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22
212
+=
∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1
(2120
20+≥++=
+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 当且仅当10=x 时，等号成立.
∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分 19．解：（1）由)2()1()1(11≥-+=⇒-+=--n a S a S n n n n λλλλ
相减得：}{),2(1,11n n n n n n a n a a a a a 数列∴≥+=∴+-=--λ
λ
λλ是等比数列
…………4分
（2）11
11,1)(1
1+=⇒+=
∴+=
--n n n n n b b b b b f λ
λ
λ，
1)1(21
;1,21}1{
1+=-+=∴=∴n n b b b n
n 的等差数列公差为是首项为 1
1
+=
∴n b n
…………9分
（3）n b a C a n n n n n n 11
)2
1
()11(
,)
2
1(,1--=-=∴==时λ， 1
2)2
1()2
1(3)21
(21-++++=∴n n n T
①
n n n T )2
1()21(3)21(2)21(2132++++= ② ①－②得：n
n n n T )2
1()21()21()21()21(121132-+++++=- ，
n
n n n n n n T )2
1())21(1(2)21()21()21()21()21(121132--=-+++++=∴- ，
所以：n
n n n T )2
1(2))21(1(4--= …………16分
19．解：（I ）依题意n n n a a a -=∆+1
45]2
13
25[)]1(213)1(25[(22
-=--+-
+=∆∴n n n n n a n （3分）
（II ）（1）由n n n n n n n n n n a a a a a a a 22,2211+==--=-∆++即得 21
221
1+=∴
++n n n n a a （6分）
即
2
12,
12
1
221111===-++a a a a n n n n }2{
n
n a ∴是以21为首项，21为公差的等差数列
（8分）
（2）由（1）得12222)1(21212-⋅=⋅=∴=-+=n n n n n n n a n n a （10分） 1102122221-⋅++⋅+⋅=+++=∴n n n n a a a s ①
n n n s 22221221⋅++⋅+⋅=∴ ②
①－②得 n n n n n n n S 2212122
22112⋅---=⋅-++++=-- 12)1(122+-=+-⋅=∴n n n n n n s
（14分） 20．解：①∵ABC ADE
S S ∆∆=21，∴︒⨯⨯=60sin 2
1232AE x a ∴AE =x a 22，（2分） 在△ADE 中， 222
2222222260cos 2a x a x AE x AE x AE x AE x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⋅-+=︒⋅⋅-+=， ∵y > 0，∴224
224a x
a x y -+= （6分） 又AE =x
a 2
2≤2a ，∴x ≥a ，∵D 在AB 上，∴x ≤2a ， ∴224
2
24a x a x y -+=（a ≤x ≤2a ） （8分） ②a a a a x a x y 22222422224
2
=-⋅≥-+=， 当且仅当24
2
4x a x =，即a x 2=时“=”成立， (10分) 此时a a
a x a AE 22222
2===，∴使AD=AE=a 2时，DE 最短，最短为a 2.(12分) 解：（1）3
27115---＝＝AB K
由点斜式，得）（＝－1325--x y ------------------------------------------------------------------1分
所以直线AB 的一般式方程
为：01732=-+y x ------------------------------------------------------------------1分
（2）由题意，得直线OP 的方程为x y 2=，由点C ),(y x 在线段OP 上可,10≤≤x x y 2=且 )1,7()
5,1(y x y x --=--=
8)2(512
2055
12)2(785
678)
1)(5()7)(1(222222--=+-=+-++-=+-++-=--+--=⋅=∴x x x x x x x y y x x y y x x t
3
)1(12
)0(]1,0[2min max -====∴∈∴=∴t t t t x t x t 上的单调逆减函数在函数的二次函数
是对称轴函数 当
22max 32|172312|01732213+-⨯+⨯=
=-+-=d y x AB C t 的距离：），它到直线，（时，点＝139
又132)51()17(22=-+-=AB
913213
92121=⋅⋅=⋅⋅=∴AB d S 2当的距离：它到直线时，点01732),0,0(12max =-+=y x AB C t
13
1713170=-=｜｜d 1713213
1721=⋅⋅=∴S 综上所述：当S ＝9时，t ⋅=的取得最小值－3
当S ＝17时，CB CA t ⋅=取得最大值12
（3）假设存在点C ，使得ABC ∆为钝角三角形
1若∠ABC 为钝角 则0||||cos <⋅=∠CB CA ACB
0<⋅即
由（2）得0122052<+-x x 解得)10522,10522,10522(1053210532++-+<<-即x 当A 、B 、C 三点共线时 由8170
17322=⎩⎨⎧=-+=x y x x y 得
综上：
即解得即则为钝角
当），即（解得 即则为钝角若），（)]
19,(,190
)12(4)7(60
)1,7()4,6(0
cos 3770
)52(4)1(60
)5(4)1(60
)4,6()5,1(0
cos 2)105
22,817()817,10522(105
22522817--<<-+--<--⋅-<⋅<∠∠∞+><---<---<-⋅--<⋅=
∠∠+⋃-∈∴+-∈∴
x x x x y x ABC ABC x x x y x y x CAB CAB x 所以，使ABC ∆为钝角三角形的点C 的集合为：{∈=x x y y x ,2|,）（
),7()105
22,817()817,10522()19,(+∞⋃+⋃-
⋃--∞∈x。