2019学年高一数学3月份联考试题 人教新版

2019三月份联考 高一数学试卷
第I 卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

）
1. 设集合{|08},{1,2,4,5},{3,5,7}U x N x S T =∈<≤==，则()U S C T I = A.{1,2,3,4,5,7} B.{1,2,4} C ．{1,2} D ．{1,2,4,5,6,8}
2. 函数()lg(2)f x x =+的定义域为 A ．(2,1)-
B ．[2,1)-
C ．(2,1]-
D ．[]1,2-
3. 下列函数是偶函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是
.A 2y x = .B 2y x =- .C y x = .D 1
y x
=
4. 已知4
sin 5
α=，并且α是第二象限角，则tan α为 A.43-
B.34
- C.43 D.34
5. 在ABC ∆中，已知0
30,10,25===A c a ，则角B 等于
A ．0105
B ．060
C ．015
D ．0
015105或
6. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=， 则ABC ∆的形状为
A.锐角三角形
B. 钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形 7. 在等差数列{}n a 中，159371110,50a a a a a a ++=++=则数列{}n a 的前12项的和12S 等于 A.50 B.80 C.140 D.160 8. △ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC A ．不存在
B ．有一个
C ．有两个
D ．有无数多个
9. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A si n 、B sin 、C sin 成等比数列，且a c 2=，则B cos 的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了 A. 24里 B. 48里 C. 96里 D.192里 11. 点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，设M 是CD 边的中点，当点P 沿着
M C B A ,,,匀速率运动时，点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y ，则函
数()y f x =图像的形状大致是
A B C D
12. 已知函数()sin cos f x x x =+，()2sin g x x =，动直线x t =与()f x 、()g x 的图象分别交于点,P Q 两点，则线段PQ 的长度PQ 取值范围是
A ．[0,1]
B ．[0,2]
C ．
D ．
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13. 已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,
2,0,log 3x x x x f x 则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f = . 14. 在等差数列
{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += . 75︒，距
15. 如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度
为 海里/小时. 16. 定义在(,0)
(0,)-??上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，有(){}n a f 仍是等比数列，
则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)
(0,)-??上的如下函数：
①()f x =2x ； ②()f x =x
2； ③()x x f =
； ④()f x =ln |x |，
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17.（10分）已知a =(1,2)，b =(-3,2)，当k 为何值时. （1）k a +b 与a -3b 垂直；
（2）k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？18.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且0
60,3==C c . （1）若6=
a ，求A ，
b ；
（2）若b a 2=，求b 的值与△ABC 的面积.
19.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=. （1）求B ；
（2）设函数()2sin cos cos 2f x x x B x =-，求函数()f x 的最大值及当()f x 最大时x 的取值集合。

20.（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
21.（12分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平
均利润最大时以46万元出售该楼;问哪种方案盈利更多？
22. （12分）若函数2()(12
x
x
k f x k k -=+⋅为正常数）在定义域上为奇函数. （1）求k 的值；
（2）若k >0，且对任意的实数[]3,2t ∈--，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t m -+-<恒成立，求实数m 的取值范围.
2018年春季北大培文学校贵州区域三月份联考
高一数学参考答案与评分标准
一、选择题
1.B解析：{1,2,4,6,8},(){1,2,4}
U U
C T S C T
=∴=
Q I;故选B.
2.C解析：
202
,(2,1]
101
x x
x
x x
+-
⎧⎧
∴⇒∈-
⎨⎨
-
⎩⎩
Q
＞＞
≥≤
，故选C.
3.B解析：略.
4.A解析：Q
4
sin
5
α=，且α在第二象限，则
3
4
tan
5
3
sin
1
cos2-
=
∴
-
=
-
-
=α
α
α，，故选A.
5.D解析：
1
,sin sin
sin sin22
a c c
C A
A C a
=∴===
Q，,
c a C A
∴
Q＞＞，
45135
C C
︒︒
∴==
或10515
B B
︒︒
∴==
或，故选D.
6.C解析：cos cos sin
b C
c B a A
+=
Q，由正弦定理得2
sin cos cos sin sin
B C B C A
+=，
2
sin()sin
B C A
∴+=。

又,sin()sin0
A B C B C A
π
++=∴+=≠，sin1
A
∴=，
又(0,),
2
A A
π
π
∈∴=，为直角三角形，故选C.
7.D解析:30
2
50
10
,
50
,
10
10
6
2
11
7
3
9
5
1
=
+
=
+
+
∴
=
+
+
=
+
+a
a
a
a
a
a
a
a
a
70
30
50
2
212
8
4
10
6
2
12
8
4
11
7
3
=
-
⨯
=
+
+
∴
+
+
+
+
+
=
+
+
∴a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a，
.
160
70
50
30
10
........
12
3
2
1
12
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
∴a
a
a
a
S故选D.
8.A解析：sin4sin60
b A a
︒
=⨯=
Q，不存在三角形，故选A.
9.B解析：
sin,sin,sin
A B C
Q成等比数列，2
sin sin sin
B A C
∴=。

根据正弦定理得2b ac
=，又2
c a
=，22
2
b a
∴=，222222
2
423
cos
244
a c
b a a a
B
ac a
+-+-
∴===，故选B.
10.D解析：由题意可设第一天走了
1
a，则第二天走了
1
2
1
a，第n天走了
1
12
1-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
n
a，则
6
2561111111()1112()...()378122212
S a a a a a -=++++==-，解得1
192a =，故选D. 11.A 解析：根据题意和图形可知：点P 按M C B A ⇒⇒⇒的顺序在边长为1的正方形边上运动，APM ∆的面积分为3段；
当点在AB 上移动时，高不变底边逐渐变大，故面积逐渐变大；
当点在BC 上移动时，正方形的边长为1，则PCM ABP ADM S S S S y ∆∆∆---=正方形 =4
3
41)2(2121)1(121411+-=-⨯⨯--⨯⨯--
x x x ，此函数是关于x 的递减函数； 当点在CD 上时，高不变，底边变小故面积越来越小直到0为止,故选A. 12.C 解析：将t x =代入)(),(x g x f 得，
PQ =()())4
sin(2sin cos sin 2cos sin π
-=-=-+=-t t t t t t t g t f ，
则PQ
∈[0,，故选C.
二、填空题 13.
81 【解析】3331110()log log 330272727f -∴===-Q ＞，＜，()8
1233==-∴-f . 14. 20 【解析】因为3810a a +=，所以由等差数列的性质，得5610a a +=， 所以753a a +=562220a a +=.
15.
【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，
68sin120sin45MN =
=
=，
则这艘船的航行速度42
v =
= (海里/小时). 16. ①③ 【解析】本题主要考查等比数列的判定。

设等比数列的通项公式.1
1-=n n q a a
①
()()
21q a f a f n n =+为定值，故(){}n a f 为等比数列，故①项是“保等比数列函数”；
② ()()()n n n n a
a a a n n a f a f -+++==1122
21不恒为定值，故②项不是“保等比数列函数”
； ③
()()
q a f a f n n =+1为定值，故③是“保等比数列函数”；
④ ()()()1
ln 1ln 111-=-=+n n q a n q a n a f a f n n 不恒为定值，故④项不是“保等比数列函数”.
三、解答题
17.解析：（1）()()1,23,2==-a b Q ，
(3,22),3(10,4)k k k ∴+=-+-=-a b a b ，………2分 (k )(3),(k )(3)0+⊥-∴+⋅-=a b a b a b a b Q ………4分
10(3)4(22)0k k ∴--+=
19k ∴=………6分
（2）(k )(3),+-a b a b Q ∥1
4(3)10(22)3
k k k ∴--=+⇒=-.........8分
3(10,4)-=-a b ，10411
(,)(10,4)(3)3333
k +=-
=--=--a b a b ………10分 所以当1
3
k =-时，(k )(3)+-a b a b ∥，并且此时反向。

………12分
18.解析：（1）在△ABC 中，由正弦定理
sin sin a c
A C
=
得：
sin sin 322
a A C c =
==，………2分 又,(0,)33
C a c A ππ
=
∴∈＜ （此处无a c ＜条件不扣分） 4
A π
∴=
………4分
又由余弦定理2
2
2
2cos c a b ab C =+-得：2
21
96302
b b =+-⨯
⇒-=
b ∴=
6分 解法二：5,,4
3
12A C B π
π
π=
=
∴=
Q ,又sin sin b c
B C
=
sin 3
sin B b c C ∴=
==
………6分
（2）由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，代入 b a 2=得：a b ==9分
11
sin 22ABC S ab C ∆∴=
=⨯=………12分 解法二： 2,sin 2sin a b A B =∴=Q 又22,sin 2sin ,sin 2sin()cos 03
a b A B A A A π
=∴=∴=-⇒=Q ， 所以△ABC 中，2
A π
=
，6
B π
∴=
.........8分
又由正弦定理sin sin sin a b c
A B C ==
得：
sin sin sin c c a b B C C ====10分
11
sin 2222
ABC S ab C ∆∴=
=⨯=………12分
19.解析：（1）(2)cos cos 0a c B b C --=Q ，2cos cos cos a B c B b C ∴=+， 由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos sin()A B C B B C B C =+=+………2分
又,sin()sin()sin A B C B C A A ππ++=∴+=-=，2sin cos sin A B A ∴=…………4分 又1sin 02cos 1,cos 2A B B ∴=∴=
≠，,所以ABC ∆中，3
B π
=………6分
（2）1()sin cos 2sin 22sin(2)23
f x x x x x x x π=-
=-=-………8分 所以max ()1f x =，当且仅当22,()3
2
x k k Z π
π
π-=
+∈取得最大值…………10分
解得512x k ππ=
+，故()f x 最大时x 的取值集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
………12分 注：无k Z ∈，共扣1分。

20.解析：（1）由题设：1(1),0n a a n d d =+-＞
Q 2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，24245,6a a a a ∴+=⋅=………2分
111132452
,()(3)612
a a d a d a d d ⎧=⎪+=⎧⎪∴⇒⎨⎨++=⎩⎪=
⎪⎩………4分
311
(1)(2)222
n a n
n ∴=
+-
=+………6分
（2）
(8)
分
(10)
分
(12)
分
21.解析：（1）
，………
2分
………
4分
………6分
（2）
，
………8分
因为81
y x x
=+
在(0,9]单调递减，在[9,)+∞单调递增，
所以在前9年内，年平均利润单调增，在9年以后，年平均利润单调递减………10分
所以第9年时，年平均利润最大，
两种方案获利一样多，但是方案②时间更短，所以方案②更好………12分
22.解析：（1）
()()0f x f x ∴-+=………2分
………4分
，又0,1k k ∴=＞………6分
解法二：由题可知()f x 定义域为R ，又为奇函数，所以(0)0f =………3分
1
(0)011k f k k
-∴=
=⇒=+………6分
（2）由（1）知，
，易知()f x 为R 上的单调递减函数，
又()f x 为奇函数，所以2
2
(2)(2)0f t t f t m -+-<等价于
可得：
………8分
，………10分
………12分。