足球中的数学问题

足球中的数学问题
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众所周知，足球是世界第一大体育运动，全世界有将近30亿人参与足球运动或关心足球的发展。

它的最高水平的赛事——世界杯足球赛，是只有奥运会才能比拟的最大赛事。

足球是一项综合性的体育运动，它不仅考验队员们的身体素质，包括速度、体力、柔韧、技术等，还要求队员有良好的心理素质，更包括球员和教练对足球的理解，以至训练水平，甚至一个地区的经济状况和文化背景。

但有很多人都认为足球只是一种体力运动，很少能和脑力劳动，甚至自然科学联系起来。

这也正是我在本文中要向大家说明的。

1．退离距离的问题
足球比赛中，有一项规则是：在进攻方主罚定位球的时候，如果离球门的距离足够大，防守一方都要退到离球9．15米以外。

这不仅因为为保证球能顺利发出，其实也是为了保护防守的球员。

在较高水平的比赛中，最矮球员大概是1．65米。

设足球的半径为1Ocm 。

人在用脚踢球时，脚面与触球部位所在的大圆是不能垂直的，经过实践体验，其夹角大约为78°到80°。

假设人就按照这样的角度将球踢出，且力量足够大，使球能按照直线运动。

为了让球不能踢到人的身上，球员必须退到一定的距离之外。

设人与球的距离为xm ，则有
80cos 165.1≤+x ，
x ≥1．65／cos80°－O ．1=9．13m 。

如果按照78°进行计算，就能够得到9．15m 的结论。

当然，如果个子越高就越需要有一段较长的距离。

可见，如果没有这项规则，也许有的球员就会换一个脑袋了。

这个问题主要应用了平面几何的知识。

2．阵型和阵容问题
将10名队员分配到场上的十个位置，往往是教练员最头疼的问题。

这不仅是安排哪些球员上场的问题，也因为需要选择一个合适的阵型。

足球场上到底有多少可能的阵型呢？我们不妨数一数，有如下的66种：（分别为后卫、前卫、前锋的人数）10-0-0，9-0-1，9-1-0，8-0-2，8-1-1，8-2-0，7-0-3，7-1-2，7-2-1，7-3-0，6-0-4，6-1-3，6-2-2，6-3-1，6-4-0，5-0-5，5-1-4，5-2-3，5-3-2，5-4-1，5-5-0，4-0-6，4-1-5，4-2-4，4-3-3，4-4-2，4-5-1，4-6-0，3-0-7，3-1-6，3-2-5，3-3-4，3-4-3，3-5-2，3-6-1，3-7-0，2-0-8，2-1-7，2-2-6，2-3-5，2-4-4，2-5-3，2-6-2，2-7-1，2-8-0，1-0-9，1-1-8，1-2-7，1-3-6，1-4-5，1-5-4，1-6-3，1-7-2，1-8-1，1-9-0，0-0-10，0-1-9，0-2-8，0-3-7，0-4-6，0-5-5，0-6-4，0-7-3，0-8-2，0-9-1，0-10-0，
能否不用一一列举出来呢？我们在12个位置中，选出两个，那么就可以把剩下
的十个位置分成三段，代表三条线上的人数。

所以共有
66212 C 种。

当然其中大多数是不可行的。

其中只有九种在比赛中比较常见，即5-2-3，5-3-2，5-4-1，4-3-3，4-4-2，4-5-1，3-4-3，3-5-2，3-6-1。

怎样能得到这九种阵型呢？我们发现在后卫线上最多布置五个人，最少须布置三个人，在前锋线上最多布置三个人，最少为一人，在前卫线上最多为六人。

我们先假设已经选出了五名后卫，六名前卫，三名前锋。

这样，已选出14个人。

这就需要在他们中间挑出四人。

在这四人中，可以选后卫0、1、2名，前锋0、1、2名，剩下的就从前卫线上找了。

这样，显然就有3×3=9种选法了。

在今年的甲A 比赛中，每支队伍允许注册30名球员，为了保证能够顺利的完成比赛，每个位置都至少应配备两人，即有22人已经固定，在余下的8人中，可以根据需要选定。

同上理，有311C =165种配备方式。

如果要求安排出场阵容，就需要根据所有的要求，进行排列。

比如，有些队员不宜同时出场，有些队员相互之间配合很好，有些队员可以在多种位置出现等。

情况会很复杂，但也是一定能够求出来的。

这个问题主要是应用了排列组合的知识。

3．积分问题
在现代足球比赛中，球队的成绩是非常重要的，而它就体现在球队的得分上。

对积分的研究可以给球队带来目标和希望。

在本届世界杯赛上，由于有32支队伍的参加，使得比赛会空前的激烈、精彩。

一个重要原因就是赛程使得球队在前两轮小组赛后出线的几率大大减小。

在以前的比赛中，24支球队分为六个小组，每组进行循环赛，每个小组的前两名和成绩较好的四个第三名进入十六强。

而在今年法国的比赛中，32支球队将会分成八个组进行撕杀，只有每个小组的前两名才能进入复赛。

大家都知道，胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分。

因此在以前的比赛中，理论上即使积六分也是可能被淘汰的。

但是这种情况出现的机会是很小的。

这至少需要有五个小组同时出现三个队同积6分，另一支队得0分的情况。

每个小
组出现该情况的概率为632
4
，而五个小组同时出现的概率是它的五次方，结果为1．6×10-16。

即近似于不可能。

但事实上通常只要得到4分就可以出了。

而在前两轮四场比赛中就有队伍达到4分以上的可能性为78／81，其中有两支队伍不少于4分的概率为10／27，仍然不小。

当然不可能出现三支队伍同时积得4分的情况。

因为4场比赛最多有12分，如果有平局出现就连12分也没有，又哪里出来三个4分呢？如果按照现在的赛程，在前两轮出现的概率就小得多。

因为很可能出现在两轮之后出现6-3-3-0的情况。

如果最后一轮是由积6分的队同积3分的队比赛，那么，就有可能在三轮比赛后出现6-6-6-0的情况。

当然也有可能是由积6分的球队同积0分的球队进行比塞，那么原来积6分的球队仍然肯定出现。

也还有其他几种可能出现6分的时候，比如说有6-4-1-0，6-3-1-1，6-2-1-1，6-6-0-0等，它们也都确保积6分的球队能够顺利出现。

这六种情况的概率分别为8/84，4/81，4／81，8／81，4／81，2／81。

其中有8／729的比率使得积6分的队伍被淘汰。

类似的，还可以分析很多其他问题，比如在北京市首届应用数学知识竞赛中的最后一道题，是在去年甲B比赛还剩下三轮时，给出各队的积分情况，问当时处于第一名的武汉雅琪是否肯定升入甲A（去年有四个名额升组）。

在这种问题中，逻辑推理和概率问题是主要的解决方法。

4．点球的进球范围
在前几天进行的亚洲俱乐部冠军杯赛中，我国的冠军大连万达队点球不敌韩国
蒲相制铁足球队，与冠军失之交臂。

尽管在主伐点球时，最主要的是心理因素。

但我们可以算出，守门员所能控制的范围是非常有限的，如果角度刁钻的话，即使门将扑对了方向，也是可以进球的。

标准球门宽7．32米，高2．44米。

设守门员的高度为1．90米，则他伸出手臂的长度为2．30米，他向两侧的扑球距离为1米，我们可以把他的控球范围看作一个椭圆。

它的半短轴为2．44米，半长轴为3．30米，则其面积是1／2πab=12．6m2，占整个球门面积的12．6／17．9=70．4％。

只要他的力量足够大，使门将来不及移动脚步，进球就不成问题。

如何证明椭圆面积为πab 呢？我们可以用立体几何中的圆柱截面给予证明。

在一个圆柱中，做两个截面，其中一个与底面平行，为圆形，半径是圆柱的底面半径r ，另一个截面与它交在圆柱的同一个点上，并使得与过该点的直径垂直的一条直径与底面平行，设两个截面之间的夹角为e 。

由于第一个截面是第二截面的射影，则S1／S2=cos θ，S1=πr2，S2的半短轴即为r ，而半长轴为r ／cos θ,S1=s2／cos θ=πr2／cos θ=πr×r ／cos θ=πab
在做这个问题应用了平面解析几何和立体几何的基本知识。

5．守门员的站位问题
我们看到，在罚角球的过程中守门员一般不站在球门的中央，总是向后门柱靠近一些。

它的道理也是很简单的。

因为人向前的运动速度要比向后的速度快得多，甚至上向前为4m ／s ，向后则只有2m ／s 。

我们知道球门的宽度是7．32m ，他应该站在什么位置呢？我们先假设他站在球门线上，距前点xm 。

则应有x ／4=(7.32－x)／2，2x=14．63－2x ，3x=14．64，x=4．88m 。

这是门将只站在球门线上的办法。

如果他为了控制更大的区域，就需要站出来，在平面上运动，设他在垂直于底线方向的速度为3m ／s ，当他的速度与底线方向成θ角时，其运动速度可以认为是22224cos 3sin ⨯+⨯θθ或22222cos 3sin ⨯+⨯θθ，分别以V1和V2表示。

以底线为横轴，过球门中点且与底线平行的方向为纵轴，建立直角坐标系。

则门将肯定站在第一象限内，设他的坐标为（m ，n)，且两个门柱的坐标分别为(0，3．66)，(0，-3．66)。

已知足球开到前点的时间为1．5sec ，开到后点的时间为2．Osec 。

可以求出门将到前门柱的距离为
22)66.3(++n m ，到后门柱的距离为22)66.3(-+n m 。

可以列出方程组：
5.1)6
6.3(3)66.3()66.3(4)66.3(222222222
2≤++++++++n m m n m n n m 。

这个二元二次不等式组显然是可解的，但是计算会相当的麻烦。

因此，我们可以简化一下速度的计算方法。

假设只要沿y 轴正方向运动时，速度均为2m ／s ；只要沿y 轴负方向运动，速度均为4m ／s 。

这样可以列出方程组：
2
2)66.3(++n m ≤1．5×4， 22)66.3(-+n m ≤2．0×3。

这样，我们可以解出m=3．28，n=1．37。

1．37+3．66=5．03m 。

即应该站在距前门柱5．03米，离底线3．28米的地方。

我们应用了解析几何的方法进行推算。

6．球皮上的多边形
有很多踢球的人，并不知道足球是什么样子的。

当然，也有很多人发现，球皮上都是五边形和六边形。

细心的人还会数一数，是有12块五边形和20块六边形。

也许有些同学记得，我们曾经做过一道化学题，是关于C60的结构，它很像一个足球。

但是，那道题是告诉了我们这个多形边一共有多少个顶点，多少条棱，然后再让我们根据条件求出有多少五边形，多少六边形。

能不能不数就得到结果呢？答案是肯定的。

我们知道多面体中有欧拉公式：V+F=E+2，其中，V 是顶点数，F 是面数，E 是棱数。

设有x 个面是六边形，y 个面是五边形。

则F=x+y ，F 个面共有棱6x+5y ，因为每条棱位于两个面中，所以共有1／2(6x+5y)条棱。

同理，共有6x+5y ，个顶点，但因为每个点同在三个面中，所以只有1／3(6x+5y)个顶点。

1／3(6x+5y)+(x+y)=1／2(6x+5y)+2，
x+y －2=1／6(6x+5y)，
y=12。

所以一定是有12个五边形的面，又有多少个六边形的面呢？我们仔细观察一下足球，每一块五边形的面，与它相邻的是五个六边形的面；而有三个五边形的面与一个六边形的面相邻。

所以，总共需要六边形面数35
12⨯=20。

这也恰与事实相符。

在这个问题中我
们应用了立体几何的知识。

7．传球问题
传接球是足球运动中最重要的一个环节，而它最常见的形式就是二过一。

在这种传球方式中，传球的方向和力量是很重要的问题。

如果解决的好，就有可能直接威胁到对方的禁区。

以两人之间的线段为横轴，与此线段垂直的直线为纵轴。

假设队友插上的速度为V ，与纵轴的夹角为θ，两人之间的距离为S1，对方队员同控球人的距离为S2，与纵轴的夹角为b 。

对方转身后的加速度设为c ，求传出的球与纵轴夹角为a 。

传球线路的方程为y=xctga ，队员插上路线的方程为y=xctg θ－sletg θ。

那么球的位置就可以求出，为
(ctg θ×s1／ctg θ+ctga ，ctg θ×ctga×s1／ctg θ+ctga)，
而对方的位置是(s2×sinb，s2×cosb)，己方插上队员的位置是(sl ，0)。

己方到球的距离为
ctga ctg ctga s ctga ctg S ctga ctg ctg ctga S ctga +⨯⨯=+⨯⨯++⨯θθθθθcsc 1)()(2121。

再由t=S ／V ，得所需时间为：
)(csc 1ctga ctg v ctga S +⨯⨯θθ
我们知道，当对方队员发现球传出后，会条件反射地直接冲球而去，但由于球速较快，不能一下触球，因此，他的跑动路线成一条曲线，可以把它的长度忽略为过他与横轴平行的直线与球的路线的交点到球的距离，是csoa(ctg θ×S 1－cosb×S2)，根据
s=1/2at2,得时间为：)cos (csc 221S b S ctg c a ⨯-⨯θ
由传球的目的，我们知道，己方球员到球的时间应小于对方球员，所以我们得到不等式：
)(csc 1)cos (csc 221ctga ctg v ctga s S b S ctg c a +⨯⨯≥⨯-⨯θθθ，
解得
22122
122)cos (2csc cos sin )(v S b S ctg S c a a ctga ctg ⨯⨯-⨯⨯⨯≥⨯+θθθ
以我们现在的三角知识还无法解决这个问题。

因此，我们可以简化一下模型，为了保证球不被其他队员截获，球的距离肯定不能太长。

我们知道，从静止开始的匀加速运动，其平均速度为最后速度的一半。

而在距离足够短的情况下，肯定无法加到全速，所以设他的平均速度为1／3V 。

则，对方到球的时间就有所变动。

我们得到新的不等式：
)(csc 131)cos (csc 21ctga ctg v ctga s v S b S ctg a +⨯⨯≥⨯-⨯θθθ， 即 )cos (3sin sin cos cos 211S b c S ctg S a a ⨯-⨯≥
+θθθ。

我们令不等式的右端为A ，设
A v a VA v a θθsin )1(sin ,cos )1(cos ⨯+=⨯+=，
由sin2a+cos2a=1，得
θθ
2222sin 22sin )1(1--±-=A A v 。

则角a 在上式所表示的两个角之间。

因为所设的未知量太多，计算显得非常的麻烦，如果给出一些具体的数值，会简便得多。

在这个问题中，用到了解析几何、不等式、三角函数的知识。

8．点球的补射问题
在比赛中，如果双方的实力相当，场上的形势难分难解，决定胜负的将是定位球的把握。

其中，最应该得分的就是点球。

如果点球没有罚进，射失的一方往往信心全无，
一愧千里；而被罚的一方，凭着置之死地而后生的奋勇，就能够转危为安。

当然，球没有射进，无非有三种可能。

第一，自己射飞；第二，被守门员扑出；第三，被门框挡住。

在后两种情况发生以后，进攻方能否进行补射是非常关键的。

我们看到，在射点球的时候，双方队员都挤在罚球弧和罚球区的交点上。

这当然可以通过直观感觉出这两个点到球门的距离较近，我们也可以通过计算得到。

在出现第二种情况时，以过罚球点与底线平行的方向为横轴，与它垂直的方向为纵轴。

设门将把球扑出到门前3m 的地方，其坐标为(w ，3)，不妨设w>0，罚球弧所在的方程为
x2+y2=9．152(y≤－5，5)，
则圆弧上的点到球的距离平方为：
(x －w)2+(y －3)2=9．152+9－2wx －6y+w2=164．7225+w2+6y －2wx
因为x 越大，y 的绝对值越小，所以，当y=－5．5时，上式有最小值。

当出现第三种情况时，如果是打在横梁上，反弹出的范围也在罚球弧之内，但由于球的轨迹会很高，马上进行补射的可能很小，因此也就可以不考虑了。

如果是打到门柱上，可以认为是反射，反弹到横轴上的坐标为（±7．32，0），而两个交点到纵轴的距离为225.515.9 =7．31m ，显然从这两个点到球的距离最短。

这个问题只应用了最基本的解析几何知识。

以上是我对数学知识在足球运动中的应用的一些看法。

在我们的角度，这些认识只能通过倒推，作出一些结果，而且肯定有欠妥之处，希望大家能给予批评指正。

宋洋。