2020学年高一数学下学期期中试题 理 新版新人教版(1)

2019学年第二学期期中考试 高一年级理科数学试题
本试卷满分150分，考试时间为120分钟
第一卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{
}Z k k k ∈≤≤-,2)12(|παπαB ＝{}44|≤≤-αα，则A ∩B 等于( ) A ．φ B ．{
}παα≤≤-4| C ． {α|0≤≤-απ,或4≤≤απ} D ．{α|πα-≤≤-4，或πα≤≤0} 2.从编号为01，02，…，49，50的50个个体中选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 第1行
A ．08
B ．02
C ．43
D ．24 3.设l 为直线，βα,是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ） A ．若α//l ，β//l ，则βα//
B ．若α⊥l ，β⊥l ，则βα//
C ．若α⊥l ，β//l ，则βα//
D ．若βα⊥，α//l ，则β⊥l 4. a=sin1,b=cos1,c=tan1,则以下不等式成立的是（ ）
A.c b a <<
B.c a b <<
C.a c b <<
D.a b c <<
5．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶
图如下图，则下面结论中错误的一个是(
)
A ．甲的极差是29
B ．乙的众数是21
C ．甲罚球命中率比乙高
D ．甲的中位数是24 6．若下面的程序框图输出的S 是30，则条件①可为（ ） A ．n ≤3
B ．n ≤4
C ．n ≤5
D ．n ≤6
7．将一枚硬币抛掷三次，则下列为互斥且不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一次正面和至多有一次正面 B ．至少有一次正面和至多有两次正面 C ．至多有一次正面和至少有两次正面 D ．至多有一次正面和恰有两次正面
8.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得155
1
=∑=i i x ，5.175
1
=∑=i i y ，则由该观测数据算得
的线性回归方程可能是（ ）
A ．5.92ˆ+-=x y
B ．5.22ˆ-=x y
C ．3.24.0ˆ-=x y
D ．4.43.0ˆ+-=x y 9.△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－8
3，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的
面积是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．已知，且
，则
（ ）
A.
B. C.
D.
11. 已知函数21x y -=m x --有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（－2，2）
B ．（－1，1）
C ．
D ．]22[，-错误！未找到引用源。

12. 过点(3,1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0
第二卷（非选择题 共90分）
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13. sin2190°=_________．
14. 若a 1，a 2，…，a 10这10个数据的标准差为8，则2a 1-1，2a 2-1，…，2a 10-1的标准差为________． 15．已知半径为a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为
________．
16.已知圆O ：x 2
＋y 2
＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1，θ∈（0，
2
π），设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________
三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17.（10分）已知圆22
:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)20l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值和最短弦长； 18．（12分）如右图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1//AA 1，AB=AC ，
点E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1)求证：EF //平面A 1B 1BA ． (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1．
19.（12分）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图． (2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．
20.（12分） 已知角的终边经过点
，
且α为第二象限角.
（1）求实数m 和
的值；
（2）若
，求
β
αβαπβ
απβαsin sin 3)cos()cos(sin )2cos(3cos sin --+-+的值.
21．（12分）已知函数2
2
()44f x x ax b =-+，{|13}A x x =≤≤，{|14}B x x =≤≤． (1)若a ，b 都是从集合A 中任取的整数，求函数()y f x =有零点的概率．
(2)若a ，b 都是从集合B 中任取的实数，求函数()y f x 在区间[2，4]上为单调函数的概
率．
22.(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
高一年级数学试题答案
选择题：CCBBD BDBDA CA 填空题：13.
2
1
14. 16 15. 233π 16.4
17. 解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-= 令230x y -=且20y -=，得3,2x y ==
∴直线l 过定点()3,2A ……5分
（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =
∴ 21134AC k -=
=--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131
m m =+得1m =-……8分 最短弦长：2
222
2=-
AC
r 10分
18. 证明：（1）连结A 1B ，在△A 1BC 中，
∵点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点，
∴EF ∥A 1B ，………………………...……..…3分 又∵EF ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ， ∴EF ∥平面A 1B 1BA ．……………………..…5分 （2）∵AB=AC ，E 为BC 的中点，
∴AE ⊥BC ． ……….………………………....…6分 ∵A 1A ⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，
∴B 1B ⊥平面ABC ，………………………………....…7分 ∵AE ⊂平面ABC ，
∴B 1B ⊥AE ． ……………………………….......…8分 又∵B 1B ⊂平面B 1BC ，BC ⊂平面B 1BC ，B 1B ∩BC=B ， ∴AE ⊥平面B 1BC ，………………………………....…10分 ∵AE ⊂平面AEA 1，
∴平面AEA 1⊥平面BCB 1． ………..…..…………..…12分 19. 解：解：（1）20
0.00450n
⨯=
Q ，100n ∴=…………………………...…1分 2040105100m ++++=Q ， 25m ∴=………………………………..…..…2分
4025105
0.008;0.005;0.002;0.001.10050100501005010050
∴
====⨯⨯⨯⨯
由此完成频率分布直方图，如下图：
………………………………....…6分
（2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：
250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
……………………..............…9分
∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4 ∴中位数为： 0.50.2
505087.50.4
-+
⨯= ………………….………..…12分 20. 解：（1）由三角函数定义可知， 2分
解得
为第二象限角，
.。

6分
（2）由知
,
原式。

12分
21. 解：（1）设函数()f x 有零点为事件A ，由于a ,b 都是从集合{1，2，3}中任取的数字， 依题意得所有的基本事件：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为9N =． 若函数2
2
()44f x x ax b =-+有零点，则22
16160a b ∆=-≥，化简可得a b ≥． 故事件A 所含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3） 共计6个基本事件，则62
()93
p A =
=.……………………………………….……….6分 （2）设a ,b 都是从区间[1，4]中任取的数字，
设函数22
()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为单调函数为事件B ， 依题意得，所有的基本事件构成的区域{
}14
(,)14
a a
b b ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，
故所有基本事件构成的区域面积为9S Ω=．
若函数2
2
()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．
则构成事件B 的区域9136B S =-⨯=，如图（阴影部分表示事件B 的对立事件）．则
62
()93
p B =
=…………………………………………………………………………..12分 22. (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．
设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
＝1，解得k ＝0或－
34
， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0． 5分
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2
＋[y －2(a －2)]2
＝1． 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，
＝化简得x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，即x 2
＋(y ＋1)2
＝4，所以点
M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 8分
由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即
≤3．
由5a 2
－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤125．所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．12分。