高中数学 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算

[解析] 设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意 可得
A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A ＝(－3，－6)，
∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
A．－12a＋32b
B．32a－12b
C．12a－32b
D．－32a＋12b
[答案] C
[解析] 12a－32b＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)，故选 C.
3．已知M→A＝(－2,4)、M→B＝(2,6)，则12A→B等于(
)
A．(0,5)
B．(0,1)
C．(2,5)
D．(2,1)
[答案] D
若O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)，则13A→B＝________. [答案] (－3，－2)
[解析] ∵O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)， ∴A→B＝O→B－O→A＝(－9，－6)， ∴13A→B＝(－3，－2).
中点坐标公式
已知平行四边形 ABCD 的一个顶点 A(－2，1)， 一组对边 AB，CD 的中点分别为 M(3,0)、N(－1，－2)，求平行 四边形其他三个顶点的坐标． [分析] 根据平行四边形的对角线互相平分，求出对角线交点，
1．向量的直角坐标 向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量
__________． 正交互分相解垂：直如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这
个基底为____________，在正交基底下分解向量，叫做 __________．正交基底
正交分解
向量的直角坐标：在直角坐标系xOy内(如图所示)，分别取与 x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2，这时，就在坐标 平面内建立了一个正交基底{e1，e2}，任作一向量a，由平 面向量基本定理可知，存在惟一的有序实数对(a1，a2)使得 a＝___________，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的
再利用中点坐标公式求顶点坐标．
[解析] 设其余三个顶点的坐标标为 B(xB，yB)，C(xC，yC)， D(xD，yD)．∵M 是其中点，∴xM＝xA＋2 xB，yM＝yA＋2 yB，即 3 ＝－22＋xB，0＝1＋2 yB，
解得 xB＝8，yB＝－1，∴B(8，－1)． 设 MN 的中点为 O′(x0，y0)， 则 x0＝3＋2－1＝1，y0＝0＋2－2＝－1.
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝(1,2)． ∴xy11＋ －12＝ ＝12 ，和－ 2－1－ y2＝x2＝ 2 1 ， ∴xy11＝ ＝04 ，和xy22＝ ＝－ 0 2 . ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此C→D＝(－2，－4)．
课堂典例讲练
向量的坐标
已知点 A(－1,2)、B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13 B→A，求点 C、D 和C→D的坐标．
[分析] 根据题意可设 C(x1，y1)、D(x2，y2)，然后利用A→C＝ 13A→B和D→A＝－13B→A相等关系可得关于 x1、y1 及 x2、y2 的方程组， 从而可得 C、D 点坐标及C→D坐标．
∴A→D＋B→D＋C→D ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数 m、n 使得 A→D＋B→D＋C→D＝m·A→B＋n·A→C， ∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)， 也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)， 可得m3m＋＋2n4＝ n＝－8B→D＋C→D＝32A→B－22A→C.
a1e_分1_＋_量_a_，2_e，a2 2即叫a做＝a(在a1y，轴a上2)的，坐其标中分a1量叫．做向量a在x轴上的坐坐标标
2．向量的直角坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 aa＋－bb＝＝________(a__1__＋____b__1__，____a__2__＋____b__2)______；； λa＝______(_a_1－__b_1_，__a. 2－b2)
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 平面向量
第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课后强化作业
课前自主预习
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了 便于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直 两个方向的速度呢？
5．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝________. [答案] 2
[解析] 由题意，得xx2－－22＝x＝0 0 ， 解得 x＝2.
6．已知 A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(－2,3)，以A→B、A→C 为一组基底来表示A→D＋B→D＋C→D.
[解析] A→B＝(1,3)、A→C＝(2,4)、A→D＝(－3,5)、B→D＝(－4,2)、 C→D＝(－5,1)，
[解析] 12A→B＝12(M→B－M→A) ＝12((2,6)－(－2,4))＝12(4,2)＝(2,1)， 故选 D.
4．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)已知点 A(－1,5) 和向量A→B＝(6,9)，则点 B 的坐标为________． [答案] (5,14)
[解析] 设点 B 的坐标为(x，y)，则xy－ －5－＝19＝6 ， ∴yx＝＝154 .
(λa1，λa2)
1．设平面向量a＝(3,5)、b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
[答案] A
[解析] a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
2．(2014·河南滑县二中高一月考)若向量 a＝(1,1)、b＝(1，
－1)、c＝(－1,2)，则向量 c 等于( )