江苏省南通市通州高级中学高考数学总复习 第41讲 直接证明与间接证明优秀课件

思路2 将边的关系通过正弦定理转化为角的关系.
证明过程
证法1 由已知 2B=A+C
又A+B+C=180° B=60°.
由余弦定理，得b2=a2+c2－ac 又由已知 b2=ac
a =c
b2=ac
a=b=c, 即△ABC为等边三角形．
证明过程
证法2 由已知 2B=A+C 又由已知 b2=ac,
又A+B+C=180°
S F SA⊥BC ∵AB⊥BC E BC⊥平面SAB A BC⊥ AE AE⊥平面SBC ∵AE⊥SB AE⊥SC SC⊥平面AEF ∵EF⊥SC AF⊥SC.
C B
破解难点：反证法及其思维特点
基础知识
1. 反证法——假设命题结论的反面成立，经过正
确推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而 证明原命题成立，这样的证明方法叫反证法. 2. 思维过程——用反证法证明命题“若p则q”的 过 程可用框图表示为：
B =60 ° .sinAsinC cos(A－C)=cos A cosC ＋
cos(A＋C)=cosAcosC－sinAsinC
3 由正弦定理，得sinAsinC=sin2B= 4 3 cos(A－C)－cos(A＋C)= 2 cos(A－C)=1 1 cos(A＋C)= cos120°= A=C=60°. 2
∴A=B=C,即△ABC为等边三角形．
回顾反思
（1）证明方法——从已知条件出发，以已知定义、 公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要 证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法. （2）思维特点——紧扣条件，“由因导果”.
例2 如图, SA典型例题 ⊥平面ABC2 , AB⊥BC,
AE⊥SB于E, EF⊥SC于F, 求证：
肯定条件p 导 致 p且 ¬ q 若 p则 q
否定结论q
逻辑矛盾
为 假
为 真
问题研究
如何用反证法证明一个数学 问题呢？
典型例题3
例3 ⑴求证：如果a＞b＞0，那么 a＞ b . ⑵若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋
2 ，c＝z －2x＋ . 3 3 求证：a、b、c中至少有一个大于0. , 3
①反设——假设命题结论不成立，即假设
结论的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过 一系列正确的逻辑推理，得出矛盾； ③存真——由矛盾结果断定反设不真，从 而肯定命题的结论正确.
回顾反思
（3）思维误区：试图采用分析法：“若证 a＞ b ,
只需证a＞b”.
循环论证，逻辑混乱！
（4）思维瑕点：未就结论反面的各种情况一一
AF⊥SC .
S F E A B C
思路分析 例2 如图, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC,
AE⊥SB于E, EF⊥SC于F, 求证：
AF ⊥SC . AF⊥SC， 分析法 要证
∵EF⊥SC, 只需证 SC⊥平面AEF, 也就是要证 AE⊥SC. ∵AE⊥SB, 只需证 AE⊥平面SBC, 也就是要证 AE⊥BC. A B S F E C
分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路;
综合法条理清晰，易于表达. 因此，在实际解题过
程中，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合
法有条理地表述解题过程.
例2 如图, SA典型例题 ⊥平面ABC2 , AB⊥BC,
AE⊥SB于E, EF⊥SC于F, 求证：
AF ⊥SC∵ . SA⊥平面ABC 综合法
b＝y2－2z＋
⑶若a、b∈(0，1)，求证:(1－a)b、(1－b)a 1 不可能同时大于 . 4
思路分析
例3 ⑴求证：如果a＞b＞0，那么 a＞ b .
分析 ①直接由 a＞b＞0 推导 a b 比较困难．
② 根据不等式的性质： a b 0 a 2 b 2 ， 由 a b a b.
予以否定！
丢三落四，以偏概全！
（5）归谬情形：在反设结论不真的前提下，推出 与已知条件矛盾！
基础知识
直接证明——直接从原命题的条件出发，逐步
推得命题成立的证明方法，其一般形式为
本题条件 已知定义
已知公理
已知定理
…
本题结论
聚焦重点：综合法、分析法及其思 维特点
问题研究
如何用综合法和分析法证明一个数学问 题呢？
典型例题 1 A、B、C的、b、c，且A、B、C成
等差数列，a、b、c成等比数列，求证：
△ABC为等边三角形．
思路分析 A、B、C的 例1 在△ABC中，三个内角
对应边分别为a、b、c，且A、B、C成
等差数列，a、b、c成等比数列，求证：
△ABC 为等边三角形． 思考 题中给出的两个条件，一个是角的关系，
一个是边的关系. 如何将二者统一起来呢？ 正弦定理、余弦定理 思路1 将角的关系通过余弦定理转化为边的关系.
第41讲 直接证明与间接证明
主要内容
一、聚焦重点 综合法、分析法及其思维特点. 二、破解难点
反证法及其思维特点.
三、廓清疑点
存在型问题的解决策略.
基础知识
证明——引用一些真实命题来确定某一命题
真实性的思维方式.
综合法 直接证明 分析法 证明 反证法 间接证明 同一法 枚举法
采用反证法！
证明过程
例3 ⑴求证：如果a＞b＞0，那么 a＞ b .
证明 假设 a > 若 a< 若 a=
b不成立，即 a ≤ b .
b ,则a < b,与已知a > b矛盾； b ,则a = b,与已知a > b矛盾. b成立 .
所以假设不成立，从而 a >
回顾反思
（1）思维特点：“否定——推理——否定”. （2）思维过程：
回顾反思
（1）证明方法——从要证明的结论出发， 追溯 导致结论成立的条件，逐步上溯， 直到使 结论成立的条件和已知条件或已知 事实吻 （2）思维特点——锁定目标，“执果索因”. 合为止，这种证明的方法叫做分析 法．
回顾反思
分析法和综合法是两种常见的思维方法，人
们常利用这两种思维方法来寻求证明问题的思路.
思路分析 例2 如图, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC,
AE⊥SB于E, EF⊥SC于F, 求证：
S AF ⊥ SC . 分析法 也就是要证 AE⊥BC. ∵BC⊥AB, 只需证 BC⊥平面SAB 也就是要证 BC⊥SA 事实上，∵SA⊥平面ABC， ∴ BC⊥SA 成立，所以 AF⊥SC成立. A B F E C