黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2019年高三数学理期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2019年高三数学
理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
2. 已知等比数列中,公比若则有（）
A．最小值B．最大值C．最小值12
D．最大值12
参考答案：
B
3. 在右程序框图中, 当时，函数表示函
数的导函数. 若输入函数，
则输出的函数可化为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
4. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）
或
参考答案：
C
5. 某程序框图如右图所示，则输出的结果是（）
A．120 B．57
C．26 D．11
参考答案：
B
6. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
略
7. 一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π
参考答案：
A
【考点】球内接多面体．
【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．
【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．
所以球的表面积为：4πR2==3π．
故选A．
8. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为
参考答案：
D
略
9. 若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于
（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．
【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，
∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，
∴，解得b=﹣3，a=﹣7．
则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10. 设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平
面上的一个点，记“点落在直线上”为事件
，若事件的概率最大，则的所有可能值为（）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
参考答案：
答案：D
解析：事件的总事件数为6。

只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。

当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；
当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；
当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；
显然当n=3,4时，事件的概率最大为。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{}的前几项为：用观察法写出满足数列的一个通项公式＝＿＿＿
参考答案：
，或
12. 一质点的移动方式，如右图所示，在第1分钟，它从原点移动到点（1,0），接下来它便依图上所示的方向，在轴的正向前进或后退，每1分钟只走1单位且平行其中一轴，则2013分钟结束之时，质点的位置坐标是___________.
参考答案：
(44，11)
略
13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．
参考答案：
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知该几何体是平放的直三棱柱，可还原为长方体，
利用外接球的直径是长方体对角线的长，求出半径．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是平放的直三棱柱，
且三棱柱的底面为直角三角形，高为12；
可还原为长宽高是12、8、6的长方体，
其外接球的直径是长方体对角线的长，
∴（2R）2=122+82+62=244，
即R2=61，
∴半径为R=．
故答案为：．
14. 已知，集合,，
如果,则的取值范围是.
参考答案：
．
试题分析：把转化为线性规划问题，作出可行域，由直线x-y+t=0与可行域有交点求得t的范围．
由作出可行域如图，要使，则直线x-y+t=0与可行域有公共点，联立
，得B（1，3），又A（4，0），把A，B的坐标分别代入直线x-y+t=0，得t=-4，t=2．∴-4≤t≤2．故答案为：．
考点：简单的线性规划
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且8
sinAsinC=sin2B，则的取值范围为。

参考答案：
16. 关于x的方程k?4x﹣k?2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．
参考答案：
[5，6]
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】换元：令t=2x，则t∈[1，2]，原方程化为k?t2﹣2k?t+6（k﹣5）=0，根据题意，问题转化为此方程在[1，2]上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论．【解答】解：令t=2x，则t∈[1，2]，
∴方程k?4x﹣k?2x+1+6（k﹣5）=0，化为：k?t2﹣2k?t+6（k﹣5）=0，
根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，
整理，得：方程k（t2﹣2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解
∴，当t∈[1，2]时存在实数解
∵t2﹣2t+6=（t﹣1）2+5∈[5，6]
∴
故答案为[5，6]
17. 已知程序框图如右，则输出的= .
参考答案：
9
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14 分）
设，分别为椭圆：的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，
点为椭圆的上顶点，且．
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为
直径的圆经过点，证明：
参考答案：
（1）；（2）详见解析.
∴椭圆的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程
，则，，，设，由题意知，则直线的斜率，直线的方程为，当时，，即点，直线的斜率为，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，化简得
，又∵为椭圆上一点，且在第一象限内，∴，，，由①②，解得，，
∴，∵，
∴，∴.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.
19. 为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
参考答案：
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；函数思想；函数的性质及应用．
分析：（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则
，利用三角变换求解．
（2）总费用，即
，求导判断极值点，令
，再转换为三角变换求值解决．解答：解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得，
且，由，
若三条道路建设的费用相同，则
所以，所以．
由二倍角的正切公式得，
即，
答：该文化中心离N村的距离为．
（2）总费用
即，
令
当，
所以当有最小值，
这时，
答：该文化中心离N村的距离为．
点评：本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．20. （本小题满分12分）已知是等差数列，公差为，首项，前项和为.令,的前项和.数列满足
，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围.
参考答案：
21. (本小题满分12分）
已知各项均为正数的等差数列{a n}，且a2 +b2=20,a1 +a2=64.
(I)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)设b n= ,求数列的前n项和.
参考答案：
（1）依题意，可设等差数列的公差为，
则有，…………………2分
解得或者（舍去）…………………4分
故所求．……………6分
（2）由（1）知所以
………………8分
两式相减，得
………………10分
所以．……………12分
22. （本小题满分12分）
已知命题p：x1、x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-
3≥对任意实数m∈[-1,1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x-1>0有解。

若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围。

参考答案：
解：∵，是方程x2-mx-2=0的两个实根，∴＋=m，=－2，∴｜－|=
=，又m∈[-1,1]，∴｜－|的最大值等于3。

………… 3分
由题意得到：a2-5a-3≥3 a≥6，a≤－1；命题p是真命题时，a≥6，a≤－1………5分。

命题q：（1）a>1时，ax2+2x-1>0显然有解；（2）a=0时，2x-1>0有解；（3）a<0时，△=4＋4a>0，
－1<a<0………9分；从而命题q为真命题时：a>－1………10分
∴命题p是真命题，命题q为假命题时实数a的取值范围是a≤－1………12分。