德令哈市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

德令哈市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
2． 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB 的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C 到AB 的距离是（ ）
A ．2m
B ．2m
C ．4 m
D ．6 m
3． 设集合,,则( )
A B
C
D
4． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ）
（A ）
13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 89
5． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ） A ．{1，2，3，4，6} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，2，5} D ．{1，2}
6． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C D
8． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
9． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A ． =1.23x+4
B ． =1.23x ﹣0.08
C ． =1.23x+0.8
D ． =1.23x+0.08
10．若方程C ：x 2+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线
C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线 11．已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-
12．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24
C ．30
D ．36
二、填空题
13．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
14．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是．
15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单
位：小时）间的关系为
0e kt
P P-
=（
P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
16．下列命题：
①终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}；
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；
④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数
其中真命题的序号是．
17．若曲线f（x）=ae x+bsinx（a，b∈R）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b﹣a=．
18．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为．
三、解答题
19．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|．
20．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
21．已知△ABC的顶点A（3，1），B（﹣1，3）C（2，﹣1）求：
（1）AB边上的中线所在的直线方程；
（2）AC边上的高BH所在的直线方程．
22．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；
（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．
23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3
23
1312
f x x k x kx =-
+++，其中.k R ∈
（1）当3k =时，求函数()f x 在[]
0,5上的值域；
（2）若函数()f x 在[]
1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.
（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；
（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.
德令哈市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），
将点（4，﹣4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x2=﹣4y，
设C（x，y）（y＞﹣6），则
由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，
∴tan∠BCA===，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥
∴t=2时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan ∠BCA ，正确运用基本不等式是关键．
3． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,
,故选C 。

4． 【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
5． 【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}， ∴P ∩（C U Q ）={1，2} 故选D ．
6． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=y=2x 2
﹣e |x|
，
∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|
，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e 2
∈（0，1），故排除A ，B ；
当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x
， ∴f ′（x ）=4x ﹣e x
=0有解，
故函数y=2x 2﹣e |x|
在[0，2]不是单调的，故排除C ，
故选：D
7．【答案】B
【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

8．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
9．【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
11．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
12．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x 3
项的系数为
•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x 3
项的系数之和为20，
故选：A ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 10 cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A 关于茶杯口的对称点为A ′，
则A ′A=4cm ，BC=6cm ，∴A ′C=8cm ，
∴A ′B=
=10cm ．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
14．【答案】 （﹣3，0） ．
【解析】解：由题意，a ≥0时，
x ＜0，y=2x 3﹣ax 2﹣1，y ′=6x 2﹣2ax ＞0恒成立， f （x ）在（0，+∞）上至多一个零点； x ≥0，函数y=|x ﹣3|+a 无零点， ∴a ≥0，不符合题意；
﹣3＜a ＜0时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3
﹣ax 2
﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；
a=﹣3时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3
﹣ax 2
﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；
a ＜﹣3时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3
﹣ax 2
﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；
综上所述，a 的取值范围是（﹣3，0）． 故答案为（﹣3，0）．
15．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e
0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt
P P -=，∴315e
0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
16．【答案】 ③ ．
【解析】解：①、终边在y 轴上的角的集合是{a|a=，k ∈Z}，故①错误；
②、设f （x ）=sinx ﹣x ，其导函数y ′=cosx ﹣1≤0，
∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．
∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；
③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；
④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．
17．【答案】2．
【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，
由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，
解得a=﹣1，b=1，
则b﹣a=2．
故答案为：2．
18．【答案】4．
【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，…
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x …
（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为（t为参数）．…代入y2
=4x 得t2﹣6t﹣14=0…
设点A，B对应的参数分别t1，t2
∴t1t2=﹣14…
∴|PA|•|PB|=14．…
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．
故x1+x2=﹣，x1x2===
从而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣，
∴|x1﹣x2|．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵A（3，1），B（﹣1，3），C（2，﹣1），
∴AB的中点M（1，2），
∴直线CM的方程为=
∴AB边上的中线所在的直线方程为3x+y﹣5=0；
（2）∵直线AC的斜率为=2，
∴直线BH的斜率为：﹣，
∴AC边上的高BH所在的直线方程为y﹣3=﹣（x+1），
化为一般式可得x+2y﹣5=0
22．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m 的方程为y=kx+（2k ﹣1）．…
由方程组
（1）
可得ky 2
﹣2y+4k ﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y 2
=2x ，得
．
这时．直线m 与抛物线只有一个公共点．…
当k ≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k （4k ﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k （4k ﹣2）＞0，亦即4k 2
﹣2k ﹣1＜0．
解得．
于是，当
且k ≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这
时，直线m 与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m 的取值范围是
．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】（1）[]
1,21;（2）2k ≥.
【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；
试题解析：（1）解：3k = 时，()32
691f x x x x =-++ 则()()()2
3129313f x x x x x =-+=--'
令()0f x '=得1,3x x ==列表
由上表知函数()f x 的值域为[]
1,21
（2）方法一：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即5
3
k =
（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减
所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减
当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增
所以()()()3
22min 3
13132
f x f k k k k k ==-
+++= 化简得：32
340k k -+=
即()()2
120k k +-=
所以1k =-或2k =（舍）
注：也可令()3
2
34g k k k =-+
则()()2
3632g k k k k k =='--
对()()1,2,0k g k ∀∈'≤
()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减
所以()02g k <<不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥
方法二：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当2k ≥时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]
1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=
符合题意 …………8分
②当1k ≤时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()min 23f x f <=不符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减
当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥
24．【答案】（1）{}
11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-. 【解析】
试
题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，
当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；
当
1
12x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当1
2
x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；
综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.
（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，
所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--
记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -⊆，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.
考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.。