2019-2020学年市安岳县岳城责任区八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年市安岳县岳城责任区八年级(下)期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.下列各式2
x ，x2
x3
，1
2
x2y，a2b2
4
，1
a+5
，m+a
π
中，是分式的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.新型冠状病毒的直径平均为100纳米，也就是0.0000001米，是依靠飞沫和直接接触传播，直接
接触我们可以通过及时清洗和杀毒避免，飞沫的直径一般是在0.000003米左右．将0.000003用科学记数法表示为()
A. 30×10−7
B. 3×10−6
C. 3×10−5
D. 0.3×10−6
3.在一次函数y=kx−2中，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第()象限．
A. 四
B. 三
C. 二
D. 一
4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=3
4
，且经过点(4,10)，点A(n,1)(n>0)在此抛物线上，点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m(0<m<n)，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，则当m=()时，△ACD的周长最小．
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
5.若分式x−2y
x+y
中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值()
A. 是原来的3倍
B. 不变
C. 是原来的1
3
D. 不能确定
6.在平面直角坐标系中，点M(2,−5)在()
A. 第一象限
B. 第二象限第
C. 第三象限
D. 第四象限
7.在平面直角坐标系中，反比例函数y=k
x
(k≠0)图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，那么它的图象的两个分支分别在()
A. 第一、三象限
B. 第二、四象限
C. 第一、二象限
D. 第三、四象限
8.已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的
图象大致是()
A. B.
C. D.
9.如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、
H，连接AC.若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是()
A. 12
B. 13
C. 6√5
D. 8√3
10.当k>0，x<0时，反比例函数的图象在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.在函数y=x
1+2x
中，自变量x的取值范围是______．
12.要使代数式√2x−1
x−1
有意义，则x的取值范围是______．
13.若关于x的分式方程2
x−5+a
5−x
=1有增根，则a的值为______．
14.如图，▱ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD=9，AB=6，
则BE=______ ．
15.如图，A、B两点在双曲线y=4
x
上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影部分=m，则S1+S2=______．
16.点P(m,m+3)在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标是________．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
17.(1)计算：√27+(1
2
)−2−|1−√3|；
(2)化简：(3
x−1−x−1)÷x−2
x2−2x+1
．
18.计算：3tan60°−√27−(√3−2)0+(1
3
)−1．
四、解答题（本大题共6小题，共66.0分）
19.解方程：
(1)x
x−2−8
x2−4
=1
(2)2x2−4x+1=0．
20.如图，四边形ABCD是平行四边形，EB⊥BC于B，ED⊥CD于D，BE、
DE相交于点E，若∠E=62°，求∠A的度数．
21.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花
费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程完成后每月将产生
不少于1250吨的污水．
(1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少万元？
(2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
(3)若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在(2)的所有方案中，哪种购买方案的总费用最
少？(总费用=设备购买费+各种维护费和电费)
22.小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果.经了解，一次性批发这种水果不得少
于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg.图中折线表示批发单价y(元/kg)与质量x(kg)的函数关系．
(1)求图中线段AB所在直线的函数表达式；
(2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
23.如图，已知直线l：y=−x+5．
(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内
(1)当反比例函数y=k
x
至少有一个交点时，求k的取值范围．
(k>0,x>0)的图象与直线l在第一象限内
(2)若反比例函数y=k
x
相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，当x2−x1=3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等的解集．
式−x+5<k
x
(k>0)与直线y2=k′x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下24.如图1，已知双曲线y1=k
x
列问题：
(1)若点A的坐标为(4,2)，则点B的坐标为______ ；当x满足：______ 时，y1>y2；
(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限，如图2
(2)过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k
x
所示．
①四边形APBQ一定是______ ；
②若点A的坐标为(3,1)，点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
【答案与解析】1.答案：C
解析：解：在2
x ，x2
x3
，1
a+5
的分母中含有字母，属于分式，
故选：C．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
2.答案：B
解析：解：0.000003用科学记数法表示为3×10−6，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.答案：D
解析：
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据一次函数的性质可以判断k的正负和经过定点(0,−2)，从而可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决．
解：∵在一次函数y=kx−2中，若y随x的增大而减小，
∴k<0，该函数经过定点(0,−2)，
∴该函数经过第二、三、四象限，
∴该函数不经过第一象限，
故选：D．
4.答案：A
解析：解：∵y =ax 2+bx 的对称轴为x =34，且经过点(4,10)，
∴{−b 2a =3410=16a +4b
解得：{a =1b =−32
∴抛物线的解析式为：y =x 2−3
2x
∴点A(n,1)在此抛物线上
∴1=n 2−32n 解得：n =−12或n =2
∵n >0
∴n =2
∴A(2,1)
如图，过点A 作AE ⊥x 轴
∵点O 关于直线PB 的对称点为D
∴CO =CD
∵△ACD 的周长=AC +CD +AD
=AC +CO +AD
=AO +AD
而AO =√OE 2+AE 2=√5
∴当AD 最小时，△ACD 的周长最小
∴此时点D 与点E 重合
∴m =1
故选：A ．
先求出抛物线的解析式，再解出点A 的横坐标n 的值；然后根据点O 关于直线PB 的对称点为D ，
得出△ACD 的周长=AO +AD =√5+AD ，则点D 与点E 垂直时，可得AD 的最小值，从而可得m 的值．
本题考查了二次函数的对称性、线段的垂直平分线的性质、垂线的性质等知识点，明确相关定理及性质，是解题的关键．
5.答案：B
解析：解：若分式x−2y x+y 中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值不变，
故选：B ．
根据分式的基本性质，可得答案．
本题考查了分式基本性质，分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 6.答案：D
解析：解：∵2>0，−5<0，
∴点M(2,−5)在第四象限．
故选：D ．
根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．
7.答案：B
解析：解：∵反比例函数y =k x (k ≠0)图象在每个象限内y 随着x 的增大而增大，
∴k <0，
∴它的图象的两个分支分别在第二、四象限．
故选：B ．
直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象的分布是解题关键． 8.答案：B
解析：本题考查一次函数图像和性质：y=kx时，当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小；
y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限；
当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一，三，四象限；
当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，四象限；
当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二，三，四象限．
先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∵b=−k<0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过一、三、四象限．
故选B．
9.答案：B
解析：解：如图，作AP⊥CH交CH的延长线于P．
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，
∴易证四边形EFGH是矩形，四边形AEHP是矩形，△ABE≌△CDG，
可得PA=FG=5，AE=PH=CG=5，CP=CG+PH+GH=2+10=12，
在Rt△APC中，AC=√PA2+PC2=√122+52=13．
故选：B．
如图，作AP⊥CH交CH的延长线于P，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10.答案：C
解析：
此题考查的是反比例函数的图象和性质.熟记反比例函数的性质是关键.当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一、三象限，当k<0时，反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，据此再结合x的取值范围可得出结论．
解：∵k>0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∵x<0，
∴反比例函数的图象在第三象限，
故选C．
11.答案：x≠−1
2
解析：解：由题意，得
1+2x≠0，
解得x≠−1
．
2
故答案为：x≠−1
．
2
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了函数值变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
12.答案：x≥1
且x≠1
2
解析：
此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，属于基础题．
直接利用二次根式的定义、分式的有意义的条件分析得出答案．
解：由题意可得：2x−1≥0，x−1≠0，
且x≠1．
解得：x≥1
2
且x≠1．
故答案为：x≥1
2
13.答案：2
解析：解：方程两边都乘(x−5)，得
2−a=x−5
∵原方程增根为x=5，
∴把x=5代入整式方程，得2−a=0，解得a=2．
故答案为：2．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.答案：3
解析：解：∵▱ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，
∴∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴EC=DC，
∵▱ABCD中，AD=9，AB=6，
∴BC=9，CD=6，
则BE=BC−EC=9−6=3．
故答案为：3．
利用角平分线的定义以及平行线的性质得出EC=DC，再利用平行四边形的性质得出BE的长．
此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质、平行四边形的性质等知识，得出EC=DC是解题关键．
15.答案：8−2m
解析：解：如图，
∵A、B两点在双曲线y=4
x
上，
∴S
四边形AEOF
=4，S四边形BDOC=4，
∴S1+S2=S
四边形AEOF +S
四边形BDOC
−2×S
阴影
，
∴S1+S2=8−2m
故答案为8−2m．
根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF=4，S四边形BDOC=4，根据S1+S2=
S
四边形AEOF +S
四边形BDOC
−2×S
阴影
，可求S1+S2的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16.答案：(0,3)
解析：【详解】：∵点P(m,m+3)在平面直角坐标系的y轴上，
∴m=0，，
∴m+3=3，
则点P的坐标为(0,3)．
点在y 轴上时的横坐标是0，即可求得m 的值，进而求得点P 的坐标．解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：点在y 轴上时点的横坐标为0．
17.答案：解：(1)原式=3√3+4−(√3−1)
=2√3+5；
(2)原式=4−x 2x−1⋅(x−1)2x−2
=−(x +2)(x −1)
=−x 2−x +2
解析：本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
(1)根据二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值的性质即可求出答案．
(2)根据分式的运算法则即可求出答案．
18.答案：解：原式=3√3−3√3−1+3=2．
解析：原式利用特殊角三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.答案：解：(1)去分母得，x(x +2)−8=x 2−4，
整理得，2x −8=−4，
解得x =2，
检验把x =2代入x 2−4=0，x =2不是原方程的解，
∴原方程无解；
(2)∵a =2，b =−4，c =1，
∴△=b 2−4ac =(−4)2−4×2×1=16−8=8>0，
∴原方程有两个不等的实数根，
∴x =
−b±√b 2−4ac 2a =4±√84=2±√22， x 1=2+√22，x 2=2−√22．
解析：(1)先去分母，再解一元一次方程即可；
(2)用公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程、分式方程，解分式方程一定要验根，熟记求根公式是解题的关键．20.答案：解：∵EB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠EBC=90°，∠EDC=90°，
∵在四边形EBCD中，∠E=62°，
∴∠C=360°−∠E−∠EBC−∠EDC=118°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C=118°．
解析：根据EB⊥BC，ED⊥CD，可得∠EBC=90°，∠EDC=90°，然后根据四边形的内角和为360°，∠E=62°，求得∠C的度数，然后根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，继而求得∠A的度数．
本题考查了平行四边形的性质及多边形的内角和等知识，熟练掌握四边形的内角和为360°与平行四边形对角相等是解题的关键．
21.答案：解：(1)设一台甲型设备的价格为x万元，
由题意有3x+2×80%x=46，
解得：x=10(万元)，
∵10×80%=8(万元)，
∴一台甲型设备的价格为10万元，一台乙型设备的价格是8万元．
(2)设二期工程中，购买甲型设备a台，
由题意有{10a+8(8−a)≤74 ①
180a+150(8−a)≥1250 ②
，
解得：5
3
≤a≤5．
由题意a为正整数，则a=2，3，4，5．
故所有购买方案有四种，分别为：
方案一：甲型2台，乙型6台；方案二：甲型3台，乙型5台；方案三：甲型4台，乙型4台；方案四：甲型5台，乙型3台．(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元．
则w =10a +8(8−a)+1×10a +1.5×10(8−a)．
化简得：w =−3a +184，
∵W 随a 的增大而减少，∴当a =5时，W 最小．
(对四种方案逐一验算也可)
故按方案四甲型购买5台，乙型购买3台的总费用最少．
解析：(1)由题中提炼出的1个等量关系，购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%，即可列方程求出；
(2)根据题意列出不等方程组，再解出未知量的取值范围；
(3)首先根据已知得出W 与x 的函数关系，再利用一次函数的增减性进行分析的得出答案即可． 此题主要考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，以及列出不等方程组是解题关键． 22.答案：解：(1)设线段AB 所在直线的函数表达式为y =kx +b ，根据题意得
{100k +b =5300k +b =3，解得{k =−0.01b =6
， ∴线段AB 所在直线的函数表达式为y =−0.01x +6(100≤x ≤300)；
(2)设小李共批发水果m 吨，则单价为−0.01m +6，
根据题意得：−0.01m +6=
800m ，
解得m =200或400，
经检验，x =200，x =400(不合题意，舍去)都是原方程的根．
答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
解析：本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
(1)设线段AB 所在直线的函数表达式为y =kx +b ，运用待定系数法即可求解；
(2)设小李共批发水果m 吨，则单价为−0.01m +6，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．
23.答案：解：(1)将直线l 的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x 2−5x +k =0， 由题意得：△=25−4k ≥0，解得：k ≤
254， 故k 的取值范围0<k ≤254；
(2)设点A(m,−m+5)，而x2−x1=3，则点B(m+3,−m+2)，
点A、B都在反比例函数上，故m(−m+5)=(m+3)(−m+2)，解得：m=1，
故点A、B的坐标分别为(1,4)、(4,1)；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k=4×1=4，
时，0<x<1或x>4．
观察函数图象知，当−x+5<k
x
解析：(1)由题意得：△=25−4k≥0，即可求解；
(2)设点A(m,−m+5)，而x2−x1=3，则点B(m+3,−m+2)，点A、B都在反比例函数上，故m(−m+ 5)=(m+3)(−m+2)，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
24.答案：(−3,−1)；−3≤x<0或x≥3；平行四边形
解析：解：(1)由A和B为反比例函数与一次函数的交点，
得到A和B关于原点对称，
∵A(3,1)，
∴B(−3,−1)．
由图象可得：当−3≤x<0或x≥3时，y1≤y2．
故答案为：(−3,−1)，−3≤x<0或x≥3；
(2)①∵OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ为平行四边形；
②过A作AM⊥x轴，过P作PN⊥x轴，如图所示：
，
由A(3,1)在反比例函数图象上，得到反比例解析式为y=3
x
∵P的横坐标为1，P在反比例函数图象上，
∴将x=1代入反比例解析式得：y=3，即P(1,3)，
∴AM=1，OM=3，PN=3，ON=1，MN=OM−ON=2，
则S△AOP=S四边形OPAM−S△AOM=S△PON+S梯形AMNP−S△AOM
=1
2PN⋅ON+1
2
(AM+PN)⋅MN−1
2
AM⋅OM
=1
2×3×1+1
2
×(1+3)×2−1
2
×1×3
=4，
在△APB中，O为AB的中点，即AO=BO，
∴S△AOP=S△BOP，
同理S△BOQ=S△AOQ=S△AOP=S△BOP，
又∵S平行四边形APBQ=S△BOQ+S△AOQ+S△AOP+S△BOP，
∴S
平行四边形APBQ
=4S△AOP=16．
故答案为：平行四边形．
(1)由A和B为正比例函数与反比例函数的交点，得到A和B关于原点对称，由A的坐标即可求出B 的坐标；由A和B的横坐标及原点的横坐标0，将x轴分为四个范围，分别为：x<−3，−3<x<0，0<x<3，x>3，找出一次函数在反比例函数上方的范围即可；
(2)①由OP=OQ，OA=OB，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形APBQ一定是平行四边形；
②由A得坐标确定出反比例函数解析式，将P得横坐标x=1代入反比例解析式中，求出P的纵坐标，确定出P的坐标，过P作PN垂直于x轴，过A作AM垂直于x轴，可得出PN，AM，ON，OM 的长，进而求出MN的长，根据四边形OPAM的面积−三角形AOM的面积表示出三角形AOP的面积，而四边形OPAM的面积=三角形OPN的面积+梯形AMNP的面积，可求出三角形AOP的面积，在三角形ABP中，由O为AB的中点，根据等底同高得到三角形AOP的面积与三角形BOP的面积相等，同理得到三角形BOQ的面积=三角形AOQ的面积=三角形AOP的面积=三角形BOP的面积，而这四个三角形的面积之和为平行四边形APBQ的面积，即可求出四边形APBQ的面积．
此题考查了反比例函数的综合题，涉及的知识有：对称的性质，反比例函数的性质，正比例函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形、梯形面积的求法，利用了转化及数形结合的思想，其中当正比例函数与反比例函数要有交点，必然有两个，且两点关于原点对称，灵活运用此性质是解本题的关键．。