2021-2022学年北京十四中高三(上)期中数学试卷(学生版+解析版)

2021-2022学年北京十四中高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）设集合A ＝{x |−1
2
＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}
B ．{x|−1
2＜x ≤1}
C ．{x |x ＜2}
D ．{x |1≤x ＜2}
2．（4分）已知平面向量a →
=（1，2），b →
=（﹣2，m ），且a →
∥b →
，则m 的值为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．4
D ．﹣4
3．（4分）若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝（ ） A ．10
B ．13
C ．20
D ．25
4．（4分）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1
x −
1y
＞0
B ．sin x ﹣sin y ＞0
C ．（12）x
﹣（12
）y ＜0
D ．lnx +lny ＞0
5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33
，−√6
3），则cos （π+α）＝（ ） A ．−√3
3
B ．
√33
C ．−√6
3
D ．
√63
6．（4分）有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin 2x
2
+cos 2x
2
=1
2
；
P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）＝sin x ﹣sin y ； P 3：∀x ∈[0，π]，√
1−cos2x
2
=sin x ； P 4：sin x ＝cos y ⇒x +y =π
2． 其中假命题的是（ ） A ．P 1，P 4
B ．P 2，P 4
C ．P 1，P 3
D ．P 2，P 3
7．（4分）设a →，b →
是非零向量，且a →，b →
不共线．则“|a →
|＝|b →
|”是“|a →
+2b →
|＝|2a →
+b →
|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（4分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x
关于x 轴对称，
则f （x ）＝（ ）
A．e x+1B．e x﹣1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1
9．（4分）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败），鱼被打上船后，要在最短时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为h＝m•a t．若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间后刚好失去50%的新鲜度（）（参考数据：lg2＝0.3）
A．33分钟B．43分钟C．50分钟D．56分钟
10．（4分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，满足f(π
2
−x)=f(π2+x)，且当x∈[0，π）
时，f(x)=
sinx
x2−πx+π
，给出下列四个结论：
①f（π）＝0；
②π是函数f（x）的周期；
③函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；
④函数g（x）＝f（x）﹣sin1（x∈[﹣10，10]）所有零点之和为3π．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为．
12．（5分）函数y＝x+
4
x−1（x＞1）的最小值是．
13．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝2，a4＝﹣4，则公差为；a1+a3+⋯+a2n+3＝．
14．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π
2
)，x=−π4为f（x）的零点，x=π4
为y＝f（x）图像的对称轴，且f（x）在(π
36，
5π
36
)单调，则ω的最大值是．
15．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：
①M＝{（x，y）|y=1
x}；②M＝{（x，y）|y＝e
x﹣2}；③M＝{（x，y）|y＝cos x}；④M＝
{（x，y）|y＝lnx}．其中为“好集合”的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，P A＝AD＝CD＝2，点E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面P AC；
（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．
17．（13分）在△ABC中，A=π
3，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知，求：
（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：c＝5；条件②：cos B=−1 7．
18．（14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，
从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P 20（k ）”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k ＝0，1，2，…，20．当P 20（k ）最大时，写出k 的值．（只需写出结论） 19．（15分）已知函数f （x ）＝（x +a ）e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）当a ＜1时，试确定函数g （x ）＝f （x ﹣a ）﹣x 2的零点个数，并说明理由． 20．（15分）已知椭圆C ：x 216
+
y 212
=1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P （m ，
0）（m ＞4）满足条件|FA|
|AP|
=e ．
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：
S 1S 2
=
|PM||PN|
．
21．（15分）对于实数数列{a n }，记m n =
a 1+a 2+⋯+a n
n
．
（Ⅰ）若m 1＝1，m 2＝2，m 3＝4，m 4＝8，写出a 1，a 2，a 3，a 4的值；
（Ⅱ）若数列{a n }是等差数列，求证：对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0；
（Ⅲ）若对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），存在常数c ，使得（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c ，求证：{a n }是等差数列．
2021-2022学年北京十四中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）设集合A ＝{x |−1
2
＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}
B ．{x|−1
2＜x ≤1}
C ．{x |x ＜2}
D ．{x |1≤x ＜2}
【解答】解：∵A ={x|−1
2＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}＝{x |﹣1≤x ≤1} ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ＜2}， 故选：A ．
2．（4分）已知平面向量a →
=（1，2），b →
=（﹣2，m ），且a →
∥b →
，则m 的值为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．4
D ．﹣4
【解答】解：∵a →
∥b →∴1×m ＝2×（﹣2）∴m ＝﹣4 故选：D ．
3．（4分）若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝（ ） A ．10
B ．13
C ．20
D ．25
【解答】解：由等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，∴a 3+a 5＝a 1q 2+a 3q 2＝q 2
（a 1+a 3）
＝20， 故选：C ．
4．（4分）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1
x −
1y
＞0
B ．sin x ﹣sin y ＞0
C ．（12）x ﹣（12
）y ＜0
D ．lnx +lny ＞0
【解答】解：∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则1
x
＜1y
，sin x 与sin y 的大小关系不确定，(12
)x ＜(1
2)y ，即(1
2)x −(1
2)y ＜0，lnx +lny 与0的大小关系不确定． 故选：C ．
5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33
，−√6
3），则cos （π+α）＝（ ）
A ．−√3
3
B ．
√33
C ．−√6
3
D ．
√63
【解答】解：∵平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33
，−√6
3）， ∴cos α=√3
3，
∴cos （π+α）＝﹣cos α=−√3
3． 故选：A ．
6．（4分）有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin 2x
2
+cos 2x
2
=1
2
；
P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）＝sin x ﹣sin y ； P 3：∀x ∈[0，π]，√
1−cos2x
2
=sin x ； P 4：sin x ＝cos y ⇒x +y =π2
． 其中假命题的是（ ） A ．P 1，P 4
B ．P 2，P 4
C ．P 1，P 3
D ．P 2，P 3
【解答】解：P 1：∀x ∈R 都有sin 2x
2
+cos 2x
2
=1，故P 1错误； P 2：x ＝y ＝0时满足式子，故P 2正确；
P 3：∀x ∈[0，π]，sin x ＞0，且1﹣cos2x ＝2sin 2x ，所以√1−cos2x
2
=sin x ，故P 3正确； P 4：x ＝0，y =3π
2，sin x ＝cos y ＝0，故P 4错误． 故选：A ．
7．（4分）设a →，b →
是非零向量，且a →，b →
不共线．则“|a →
|＝|b →
|”是“|a →
+2b →
|＝|2a →
+b →
|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“|a →
+2b →
|＝|2a →
+b →
|”平方得“|a →|2
+4a →•b →
+4|b →
|2
＝4|a →|2
+4a →•b →
+|b →
|2， 即“|a →|2
＝|b →
|2
”，即“|a →
|＝|b →
|”，反之也成立， 即“|a →
|＝|b →
|”是“|a →
+2b →
|＝|2a →
+b →
|”充要条件， 故选：C ．
8．（4分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x
关于x 轴对称，
则f （x ）＝（ ） A ．e x +1
B ．e x ﹣
1
C ．﹣e
﹣x ﹣1
D ．﹣e
﹣x +1
【解答】解：∵函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x
关于
x 轴对称． ∴y ＝e
﹣x
关于x 轴对称的函数﹣y ＝e ﹣
x ，即y ＝﹣e ﹣
x ，再将些函数的图象向左平移一个
单位长度就得到f （x ）的图象． ∴f （x ）＝﹣e ﹣（x +1）
＝﹣e
﹣x ﹣1
．
故选：C ．
9．（4分）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败），鱼被打上船后，要在最短时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h ＝m •a t ．若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间后刚好失去50%的新鲜度（ ）（参考数据：lg 2＝0.3） A ．33分钟
B ．43分钟
C ．50分钟
D ．56分钟
【解答】解：由题意可知{20%=ma 2040%=ma 30，解得{m =1
20a =√2
10， ∴ℎ=1
20(√210
)t ， ∴50%=
120
×(√210
)t ， ∴t ＝10×log 210≈33， 故选：A ．
10．（4分）函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，满足f(π2
−x)=f(π2
+x)，且当x ∈[0，π）时，f(x)=
sinx
x 2−πx+π
，给出下列四个结论：
①f （π）＝0；
②π是函数f （x ）的周期；
③函数f （x ）在区间（﹣1，1）上单调递增；
④函数g （x ）＝f （x ）﹣sin1（x ∈[﹣10，10]）所有零点之和为3π． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．①③④
D ．①②③④
【解答】解：对于①，因为f(π
2−x)=f(π
2+x)，且函数f （x ）是定义域为R 的奇函数， 则f （π）=f(π
2+π
2)=f(π
2−π
2)=f(0)=0， 故选项①正确；
对于②，假设π是函数f （x ）的周期， 则f （−π
2
）＝f （π2
），
又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 则f （−π
2
）＝﹣f （π
2
），
所以f （π
2
）＝0，
因为当x ∈[0，π）时，f(x)=sinx
x 2−πx+π
，
所以f （π
2）≠0，所以矛盾，
则假设不成立，
所以π不是函数f （x ）的周期， 故选项②错误；
对于③，因为当x ∈[0，π）时，f(x)=sinx
x 2−πx+π
，
所以f '（x ）=
cosx(x 2−πx+π)+sinx(π−2x)
(x 2−πx+π)
2
，
当x ∈[0，π2
)时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增， 又f （x ）是R 上的奇函数，
则函数f （x ）在区间（﹣1，1）上单调递增， 故选项③正确；
对于④，由③可知，f （x ）在x ∈[0，π
2)上单调递增， 又因为满足f(π2−x)=f(π
2+x)，
所以f（x）关于x=π
2对称，
则f（x+2π）=f[π
2
+(3π2+x)]=f[π2−(3π2+x)]=−f(π+x)=−f[π2+(π2+x)]=
−f[π2−(π2+x)]=−f(−x)=f(x)，
故函数f（x）的周期为2π，
在一个周期内函数g（x）＝f（x）﹣sin1两个零点之和为π，在[﹣10，10]内有三个周期，
所以所有零点之和为3π，
故选项④正确．
故正确的为①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1．【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其准线方程为：y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
12．（5分）函数y＝x+
4
x−1（x＞1）的最小值是5．
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．
∴函数y＝x+
4
x−1
=（x﹣1）+4x−1+1≥2√(x−1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x﹣1＝2，
即x＝3时取等号．
故答案为：5．
13．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝2，a4＝﹣4，则公差为﹣2；a1+a3+⋯+a2n+3＝﹣n2﹣n+2．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵数列{a n}是等差数列，a1＝2，a4＝﹣4，
∴a4＝a1+3d，即﹣4＝2+3d，解得d＝﹣2；
∴a1+a3+⋯+a2n+3＝（n+2）a1+1
2（n+2）（n+1）d＝（n+2）×2+
1
2（n+2）（n+1）×（﹣2）
＝﹣n2﹣n+2．
故答案为：﹣2；﹣n2﹣n+2．
14．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|≤π
2)，x =−π4为f （x ）的零点，x =π4
为y ＝f （x ）图像的对称轴，且f （x ）在(π
36，5π
36)单调，则ω的最大值是 9 ． 【解答】解：因为x =−π
4为f （x ）的零点，x =π
4为y ＝f （x ）图像的对称轴， 所以
2n+14
⋅T =
π2
，即
2n+14
⋅
2πω
=
π2
，n ∈Z ，
所以ω＝2n +1，n ∈Z ，又ω＞0， 故ω为正奇数， 因为f （x ）在(π36，5π36
)单调， ①若f （x ）在(
π36，5π36
)上单调递增， 则ω⋅π
36+φ≥2kπ−π
2且ω⋅5π
36+φ≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 解得
4ωπ36
≤π，即ω≤9，
故有奇数ω的最大值为9， 当ω＝9时，−9π
4
+φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π
2
， 所以φ=π4，
此时f （x ）＝sin （9x +π
4）在(π
36，5π
36)上单调递减，不符合题意； ②若f （x ）在(π
36，5π36)上单调递减， 则ω⋅π36+φ≥2kπ+π2且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 解得
4ωπ
36
≤π，即ω≤9，
故有奇数ω的最大值为9， 当ω＝9时，−9π
4+φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π
2， 所以φ=π
4，
此时f （x ）＝sin （9x +π4）在(π36，5π
36)上单调递减，符合题意；
故ω的最大值为9．
综上所述，ω的最大值为9．
故答案为：9．
15．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：
①M＝{（x，y）|y=1
x}；②M＝{（x，y）|y＝e
x﹣2}；③M＝{（x，y）|y＝cos x}；④M＝
{（x，y）|y＝lnx}．其中为“好集合”的序号是②③．
【解答】解：对于①，注意到x1x2+
1
x1x2
=0无实数解，因此①不是“好集合”；
对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y＝e x﹣2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y＝e x﹣2相交，因此②是“好集合”；
对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y＝cos x相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y＝cos x相交，因此③是“好集合”；
对于④，如下右图，注意到对于点（1，0），不存在（x2，y2）∈M，使得1×x2+0×lnx2＝0，因为x2＝0与真数的限制条件x2＞0矛盾，因此④不是“好集合”．
故答案为：②③
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，P A＝AD＝CD＝2，点E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面P AC；
（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接CF ，∴AF ＝CD 又∵AF ∥CD ，∴四边形AFCD 为平行四边形， ∵AB ⊥AD ，AD ＝CD ，∴四边形AFCD 是正方形， 则AB ⊥CF ，CF ＝AD ＝2，得AC ＝BC ＝2√2， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，得BC ⊥AC ，
∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）解：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB ， 则P A 、AD 、AB 两两相互垂直，
以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），P （0，0，2），B （0，4，0），C （2，2，0）， D （2，0，0），E （0，2，1），
∴DC →
=(0，2，0)，CE →
=(−2，0，1)， 设平面CDE 的一个法向量为n →
=(x ，y ，z)，
由{
n →
⋅DC →
=2y =0
n →⋅CE →
=−2x +z =0
，取x ＝1，得n →
=(1，0，2)； 又平面ACD 的一个法向量m →
=(0，0，1)．
∴cos ＜m →
，n →
＞=m →⋅n →
|m →|⋅|n →|=2√5×1
=2√5
5，
由图可知，二面角E ﹣CD ﹣A 为锐角， ∴二面角E ﹣CD ﹣A 的余弦值为
2√55
．
17．（13分）在△ABC中，A=π
3，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知，求：
（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：c＝5；条件②：cos B=−1 7．
【解答】解：选择条件①：
（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝（a+1）2+25﹣2×（a+1）
×5×1
2，解得a＝7，
由正弦定理a
sinA =
c
sinC
，
所以
√3
2=
5
sinC
，
因此sin C=5√3
14，在△ABC中，A+B+C＝π，有sin（A+B）＝sin C=
5√3
14．
（Ⅱ）当a＝7时，b＝8，则S△ABC=1
2bc sin A＝10√3．
选择条件②：
（Ⅰ）在△ABC中，0＜B＜π，
因为cos B=−1
7，则sin B=
4√3
7，
又因为A=π3，
所以sin（A+B）＝sin（π
3
+B）＝sin
π
3
cos B+cos
π
3
sin B=√
3
2
×(−17)+12×4√37=3√3
14，即
sin（A+B）=3√3 14．
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理a b
=
sinA sinB
=
√324√37
=7
8
，
又因为b ﹣a ＝1， 所以a ＝7，b ＝8， 则S △ABC =1
2
bc sin A ＝6√3．
18．（14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P 20（k ）”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k ＝0，1，2，…，20．当P 20（k ）最大时，写出k 的值．（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a +0.05+0.04+0.01）＝1， 解得a ＝0.10．
（Ⅱ）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：
500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在（14，16]内的学生中抽取：40
50+40+10
×10=4人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）=C63
C103
=20
120
=16，
P（X＝1）=C41C62
C103
=60
120
=12，
P（X＝2）=C42C61
C103
=36
120
=310，
P（X＝3）=C43
C103
=4120=130，
∴X的分布列为：
X0123
P1
61
2
3
10
1
30
（Ⅲ）当P20（k）最大时，k＝4．
19．（15分）已知函数f（x）＝（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）＝f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝（x+a）e x，x∈R，
所以f′（x）＝（x+a+1）e x．
令f′（x）＝0，得x＝﹣a﹣1．
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：
x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，+∞）
f′（x）﹣0+
f（x）↘极小值↗
故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．
理由如下：
由g （x ）＝f （x ﹣a ）﹣x 2，得方程xe x ﹣
a ＝x 2，
显然x ＝0为此方程的一个实数解． 所以x ＝0是函数g （x ）的一个零点． 当x ≠0时，方程可化简为e x ﹣
a ＝x ．
设函数F （x ）＝e x ﹣
a ﹣x ，则F ′（x ）＝e x ﹣
a ﹣1，
令F ′（x ）＝0，得x ＝a ．
当x 变化时，F （x ）和F ′（x ）的变化情况如下：
x （﹣∞，a ）
a （a ，+∞）
F ′（x ） ﹣ 0 + F （x ）
↘
极小值
↗
即F （x ）的单调增区间为（a ，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a ）． 所以F （x ）的最小值F （x ）min ＝F （a ）＝1﹣a ． 因为 a ＜1，
所以F （x ）min ＝F （a ）＝1﹣a ＞0， 所以对于任意x ∈R ，F （x ）＞0， 因此方程e x ﹣
a ＝x 无实数解．
所以当x ≠0时，函数g （x ）不存在零点． 综上，函数g （x ）有且仅有一个零点． 20．（15分）已知椭圆C ：x 216
+
y 212
=1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P （m ，
0）（m ＞4）满足条件|FA|
|AP|
=e ．
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：
S 1S 2
=
|PM||PN|
．
【解答】（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为x 216
+
y 212
=1，
所以a ＝4，b =2√3，c =√a 2−b 2=2，…（2分） 则e =c a =1
2，|F A |＝2，|AP |＝m ﹣4．…（3分）
因为
|FA|
|AP|
=
2m−4
=1
2
，
所以m ＝8．…（5分）
（Ⅱ）证明：若直线l 的斜率不存在，则有S 1＝S 2，|PM |＝|PN |，符合题意．…（6分） 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．
由{x 216+y 2
12=1y =k(x −2)
得（4k 2+3）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0，…（7分） 可知Δ＞0恒成立，且 x 1+x 2=16k
2
4k 2+3，x 1x 2=
16k 2
−48
4k 2
+3
．…（8分）
因为 k PM +k PN =y 1x 1−8+y 2x 2−8=k(x 1−2)x 1−8+k(x 2−2)x 2
−8⋯（10分）
=
k(x 1−2)(x 2−8)+k(x 2−2)(x 1−8)(x 1−8)(x 2−8)=2kx 1x 2−10k(x 1+x 2)+32k
(x 1−8)(x 2−8)
=2k⋅16k 2
−484k 2+3
−10k⋅16k 2
4k 2+3
+32k
(x 1−8)(x 2−8)
=0，
所以∠MPF ＝∠NPF ．…（12分）
因为△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1=1
2
|PF|⋅|PM|⋅sin∠MPF ， S 2=1
2|PF|⋅|PN|⋅sin∠NPF ，…（13分） 所以
S 1S 2=
|PM||PN|
．…（14分）
21．（15分）对于实数数列{a n }，记m n =
a 1+a 2+⋯+a n
n
．
（Ⅰ）若m 1＝1，m 2＝2，m 3＝4，m 4＝8，写出a 1，a 2，a 3，a 4的值；
（Ⅱ）若数列{a n }是等差数列，求证：对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0；
（Ⅲ）若对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），存在常数c ，使得（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c ，求证：{a n }是等差数列． 【解答】解：（Ⅰ）a 1＝m 1＝1，a 1+a 2＝2m 2＝4，则a 2＝3， a 1+a 2+a 3＝3m 3＝12，则a 3＝8， a 1+a 2+a 3+a 4＝4m 4＝32，则a 4＝20，
证明：（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得a p ﹣a q ＝（p ﹣q ）（a 2﹣a 1），可得p ﹣q =a p −a q
a 2−a 1
，
并注意到m s =
a 1+a 2+⋯+a s n =(a 1+a s )n 2n
=a 1+a s
2， 于是（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j =a i −a j a 2−a 1m k +a i −a k a 2−a 1m i +a k −a
i a 2−a 1
m j ， =
2
a 2−a 1[（a i ﹣a j ）（a 1+a k ）+（a i ﹣a k ）（a 1+a i ）+（a k ﹣a i ）（a 1+a j ）]， =2
a 2−a 1
[（a i ﹣a j ）a k +（a i ﹣a k ）a i +（a k ﹣a i ）a j ]＝0；
证明：（Ⅲ）首项交换（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c 中的i ，j 可得（j ﹣i ）m k +（i ﹣k ）m i +（k ﹣j ）m i ＝c ， 两式相加可得c ＝0，
于是对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等，总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0，
取i ＝n ，i ＝n +1，k ＝n +2， 得2m n +1＝m n +2+m n ，
即m n +2﹣m n +1＝m n +1﹣m n ＝…＝a 2﹣a 1，于是数列{m n }是等差数列， 故m n ＝m 1+（n ﹣1）•a 2−a 1
2
=a 1+（n ﹣1）•
a 2−a 1
2
，
另一方面m n =
a 1+a 2+⋯+a n
n
， 于是a 1+a 2+…+a n ＝n （a 1+（n ﹣1）•a 2−a 1
2
），
当n ≥2时，用n ﹣1替换n 得，
a 1+a 2+…+a n ﹣1＝（n ﹣1）（a 1+（n ﹣2）•
a 2−a 1
2
），
两式相减得a n ＝a 1+（n ﹣1）（a 2﹣a 1），n ≥2， a 1也满足上式，故{a n }是等差数列。