延平区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

延平区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（）
A．11？ B．12？ C．13？ D．14？
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4
3．设函数的集合，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
A4
B6
C8
D10
4． =（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
5． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．
D ．
6． 在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{}的前20项和为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交 C ．直线与平面平行
D ．直线与平面最多只有一个公共点
9． 设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
10．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2）
11．已知集合{| lg 0}A x x =≤，1
={|
3}2
B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]
C ．(1,3]
D ．1
[,1]2
【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．
12．（+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
二、填空题
13．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；
②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
14．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
15．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）
16．函数f （x ）=log
（x 2
﹣2x ﹣3）的单调递增区间为 ．
17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
18．
的展开式中
的系数为 （用数字作答)．
三、解答题
19．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
20．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
21．已知
，数列{a n }的首项
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n ＞2012的最小正整数n ．
22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x xe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
23．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并
按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用
该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中
．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
24．已知复数z的共轭复数是，且复数z满足：|z﹣1|=1，z≠0，且z在复平面上对应的点在直线y=x上．求z及z的值．
延平区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，
若输出的结果是，
则最后一次执行累加的k值为12，
则退出循环时的k值为13，
故退出循环的条件应为：k≥13？，
故选：C
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
2．【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
=2，AB=2，高为，
1
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；
a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时
b ＝0，b ＝1符合；
a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时
b ＝－1，b ＝1符合；共6个 4． 【答案】 B
【解析】解： =
=
=i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．
6． 【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 4+a 8=22，得2a 6=22，a 6=11．
又a 3=5，得d=，∴a 1=a 3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
=
=
．
故选：B ．
7． 【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}， P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
8．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
9．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．
平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=．
故选：B．
10．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】由已知得{}
=01
A x x
<?，故A B
1
[,1]
2
，故选D．
12．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．二、填空题
13．【答案】①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
14．【答案】．
【解析】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件．
∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，
∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种
∵（a，b）的取值共36种情况
∴所求概率为=．
故答案为：．
15．【答案】（0，2）
【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2
∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点
16．【答案】（﹣∞，﹣1）．
【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}
令t=x2﹣2x﹣3，则y=
因为y=在（0，+∞）单调递减
t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增
由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）
故答案为：（﹣∞，﹣1）
17．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
18．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质
【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M﹣1=
从而由=得═=
故A（2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．
20．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2211x x
f x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()(
)2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m
m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。

21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
，
，
．
数列
是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{a n }的通项公式为．…
（Ⅱ）
．…①
．…②
②﹣①并化简得
．…
易见S n 为n 的增函数，S n ＞2012， 即（4n ﹣7）•2
n+1
＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．
22．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
12）上无零点，只需要对x ∈（0，1
2
）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，
由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增； 当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减． 又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0， 所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即
①
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2）， 使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；
当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的
x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．
23．【答案】
【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型
【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有
人．
（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件
，
记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，
，，，，，，，．
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
因此事件的概率．
（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．
24．【答案】
【解析】解：∵z在复平面上对应的点在直线y=x上且z≠0，
∴设z=a+ai，（a≠0），
∵|z﹣1|=1，
∴|a﹣1+ai|=1，
即=1，
则2a2﹣2a+1=1，
即a2﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1，
即z=1+i，=1﹣i，
则z=（1+i）（1﹣i）=2．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．。