工程测试技术基础

第一章 测试技术基础知识
用量程为150V 的级电压表和量程为30V 的级电压表分别测量25V 电压，请问哪一个测量
准确度高为什么使用电压表时应尽可能在电压表量程上限的三分之二以上使用 解：
1）量程为150V 的级电压表，其最大引用误差为%,所以其最大绝对误差为
0.5%1500.75()m m x V δγ==⨯=
量程为30V 的级电压表，其最大引用误差为%,所以其最大绝对误差为
1.5%300.45()m m x V δγ==⨯=
所以测量25V 电压时，量程为30V 的级电压表的准确度高。

2）测量同一个电压量时，通常量程与被测量越接近的电压表，其测量准确度越高。

常用的测量结果的表达方式有哪3种对某量进行了8次测量，测得值分别为：、、、、、、、。

试
用第3种表达方式表示其测量结果。

解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和
基于不确定度的表达方式等3种
2）基于不确定度的表达方式可以表示为
0x x x x σ∧
=±=±
均值为
8
1
18i i x x ===∑
标准偏差为
s =
=
样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为
ˆx σ
== 所以
082.440.014
x =±
第二章 信号描述与分析
2-2 一个周期信号的傅立叶级数展开为
12ππ120ππ
()4(
cos sin )104304
n n n n n y t t t ∞
==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。

解：基波分量为
12ππ120ππ
()|cos sin 104304
n y t t t ==
+ 所以：1）基频0π
(/)4
rad s ω=
2）信号的周期0
2π
8()T s ω==
3）信号的均值
42a = 4）已知 2π120π
,1030
n n n n a b ==
，所以
4.0050n A n π=== 120π30arctan arctan arctan 202π10
n n n
n b
n a ϕ=-=-=-
所以有
0011
π
()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞
===++=+-∑∑
即
1π()4 4.0050sin(
arctan 20)42
n n y t n t π
π∞
==+-+∑
2-3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。

将位移信号表示成傅立叶级数，并绘制信号的时域波形和频谱图。

解：设该振荡器的位移表达式为
()sin()s t A t B ωϕ=++
由题意知100f Hz =振荡频率，所以有
2200f ωππ==
信号的幅值
52
1.52
A -=
= 信号的均值
25
3.52
B +=
= 信号的初相角
0ϕ=
所以有
() 3.5 1.5sin(200)s t t π=+
即该信号为只含有直流分量和基波分量的周期信号。

2-4周期性三角波信号如图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

图 周期三角波信号（习题2-4图）
解：()f t 在一个周期,22T T
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
内的表达式为 202
()202
E
T
t E t T
f t E T t E t T
⎧+-
≤<⎪⎪=⎨
⎪-+≤≤
⎪⎩ （1）由图像可知,该信号的直流分量
022
a E = （2）求该信号傅立叶级数
000200/20000/2/20
0002/2
/20020024()cos d ()cos d ()42(()cos )42(cos cos )84cos cos 81
1[
(sin cos )]T n T T T T T T T a f t n t t f t n t t T
T E
t E n tdt T T
E
t n tdt E n tdt T T
E E t n tdt n tdt T T E t n t n t T n n ωωωωωωωωωωω-------=
==+=+=+
=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 被积函数是偶函数0000002
200002
2
0041sin /2/200081
81141sin +cos sin /2/2/22+(1cos )+()
4, 1,3,5,() 0, 2,4,6,E n t T T T n E E E t n t n t n t T T T T T n T n n T n E
n n E
n n n ωωωωωωπωωωωπππ+--=+----⎧=⋅⋅⋅⎪
=⎨⎪=⋅⋅⋅⎩
（注意：＝２）＝０
０
2
022()sin d 0T n T b f t n t t T
ω-=
=⎰（被积函数是奇函数）
24, 1,3,5,()
0, 2,4,6,n n E
n n A a n π⎧=⋅⋅⋅⎪===⎨⎪=⋅⋅⋅⎩
arctan
0n
n n
b a ϕ=-= 0000
0222
1444()cos()cos()cos(3)cos(5)22()(3)(3)n n n a E E E E f t A n t t t t ωϕωωωπππ∞==++=++++•••∑
３）基波有效值rms
122
1422()()
n E x A ππ==
==
４）信号有效值rms
222
1444[]2222()(3)(3)
n n E E E E E x A πππ∞==+=++++•••∑
５）信号的平均功率
222rms 222
444{[]}
22()(3)(3)x E
E E E x ψπππ==+
+++•••
2-5 求指数函数()e (00)at
x t A a t -=>≥，的频谱。

√
解：
()()j t at j t X n x t e dt Ae e dt ωωω+∞
+∞
----∞
==⎰
⎰
()22
)
j a t
A
A A a j e a j a j a ωωω
ωω
+∞-+-=-
=
=+++（（到此完成，题目未要求，可不必画频谱）
鉴于有的同学画出了频谱图，在此附答案：
22
|()||
|()arctan
A X j ωαωαωω
φωα
==
++=-
2-6求被截断的余弦函数0cos t ω
0cos ||()0 ||t t T x t t T ω<⎧=⎨≥⎩
(题图3-4 )的傅里叶变换。

√
()()j t
X x t e
dt ωω+∞
--∞
=
⎰
题图3-4
ω
|x(ω)|
A/α
-π/4
-α π/4
a
ω
φ(ω)
000000000000T
T
T
()()T
()()00()()()()00()()0012121[]
21[()()]211[()][2j t j t j t j t j t T T j t j t
T T
j T j T j T j T j T j T e e e dt e e dt j j
e e j j
e e e e j j
e e ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω----+---+----++----++=
==-+-=---+-=
-++-⎰⎰（+）（+）00()()000000()]2sin[()]sin[()]
[
]
({sin c[()]sin c[()]}
j T j T e e T T T T T ωωωωωωωωωωωω
ωωωω----+-=++-=++-到此式也可以）
2-9求()h t 的自相关函数。

√
e (00)
()0 (0)
at t a h t t -⎧≥>=⎨
<⎩， 解：
对能量有限信号()h t 的相关函数
()0
()()()d ()h at a t h R h t h t t
R e e dt
ττττ∞
-∞∞
--+=+=⋅⎰⎰
20
a at e e dt τ∞
--=⎰
201()2a at e e a
τ--+∞
=-
2a e a
τ-=
2-10求正弦波和方波的互相关函数。

√ 解法一：
()sin x t t ω=，1(/23/2)
()1(0/2,3/22)
t y t t t πππππ<≤⎧⎪=⎨-<≤<≤⎪⎩
1
()lim ()()T
xy T R x t y t dt T ττ→∞=+⎰
1()()T x t y t dt T τ=+⎰
/23/22/23/2[sin sin sin ]2tdt tdt tdt πτπτπτ
τπτπτ
ωωωωπ-----=-++-⎰⎰⎰ /23/22/23/2[cos |cos |cos |]2t t t πτπτπτ
τπτπτωωωωπ
-----=
-+ 2sin ωτ
π
=
解法二：
因为()()xy yx R R ττ-=
322
2
2
1
()lim ()()()
1
lim ()()sin ()sin ()2sin T
xy T yx T
T R x t y t dt
T R y t x t dt T t dt t dt
ππ
ππττττωτωτωτ
π
→∞→∞-
=+=-=-=--+-=
⎰⎰⎰⎰
2-12 已知信号的自相关函数为cos A ωτ，请确定该信号的均方值2
x ψ和均方根值rms x 。

√
解：2
(0)cos 0x x R A A ψ===
rms x ==
2-18 三个余弦信号1()cos 2x t t π=、2()cos 6x t t π=、3()cos10x t t π=进行采样，采样频率4Hz s f =，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出1()x t 、2()x t 、3()x t 的波形及采样点位置并解释频率混叠现象。

√ 解：
114
s s T f =
= 若信号为x (t),其采样输出序列为
()()()
()()()()44s s
n s
s
n n x t x t t nT x nT t nT n n x t δδδ∞
=-∞
∞
=-∞∞
=-∞
=⋅
-=-=
-∑∑∑
将三个余弦信号代入上式得三个采样输出序列
1()cos(2)()44cos(
)()24
s n n n n x t t n
n
t πδπδ∞
=-∞
∞
=-∞
=
-=
-∑∑
cos
2
n π
=（也可以写成这种形式） 2()cos(6)()443cos(
)()24
s n n n n
x t t n n
t πδπδ∞
=-∞
∞
=-∞
=
-=
-∑∑
3cos
2
n π= 3()cos(2)()
445cos(
)()24
s n n n n
x t t n n
t πδπδ∞
=-∞∞
=-∞
=
-=
-∑∑
5 cos
2n
π=
∵ 8s ωπ=，πω21=，πω62=，πω103=
∴12s ωω>， 1()x t 不产生混叠；
22s ωω<、32s ωω<，2()x t 、3()x t 产生混叠。

第三章 测试系统的基本特性
3-2已知某测试系统静态灵敏度为4V/kg 。

如果输入范围为1kg 到10kg ，确定输出的范围。

解：
4V /kg 1~104~40()
S x kg y Sx V ===已知＝，所以输出
3-6求周期信号()0.5cos100.2cos(10045)x t t t =+-o
通过传递函数为1()0.0051
H s s =+的装置后所得到的稳态响应。

√ 解：
由1
()0.0051
H s s =
+，可知0.005()s τ=
令1()0.5cos10x t t =，则110(/)rad s ω=
那么：1()0.9988A ω=
=
=
11()arctan()arctan(0.00510) 2.8624o
ϕωτω=-=-⨯=- 令2()0.2cos(10045)o
x t t =-，则2100(/)rad s ω=
那么：2()0.8944A ω=
=
=
22()arctan()arctan(0.005100)26.5650o
ϕωτω=-=-⨯=-
所以稳态响应为：
()0.50.9988cos(10 2.8624)0.20.8944cos(1004526.5650)o o o y t t t =⨯-+⨯-- 0.4994cos(10 2.8624)0.1789cos(10071.5650)o o t t =-+-。

3-10
频率函数为
2
3155072
(10.01j )(1577536176j )
ωωω++-的系统对正弦输入()10sin(62.8)x t t =的稳态响应的均值显示。

√
解：
22
22
2
1222
03155072
()(10.01)(1577536176)
11256210.011256212560.07()1
1256(),
()10.011256212560.07()2()10sin(62.8),10,62.8(/H j j j j j j H j H j j j j S x t t x rad ωωωωωωωωωω
ωωω=
++-=⨯⨯
++⨯⨯+∴==
++⨯⨯+∴===Q 系统为一阶系统和二阶系统串联，灵敏度由可知
=112
2222
)1
(
)0.01()
10.01()0.8469
1256()1256212560.07()0.07,1256
()n s H j s j A H j j j A ωτωωωωωζωω=
=+∴====
+⨯⨯+==∴=
=对于，有对于有001200.998
()()1020.84960.99816.9580
211.9893
rms y x SA A y y ωω∴==⨯⨯⨯=∴=⨯=稳态输出的幅值为：稳态输出的均值为：
3-11试求传递函数分别为 1.5
3.50.5s +和222
411.4n n n
s s ωωω++的两环节串联后组成的系统的总灵敏度。

√ 解： 由1 1.53
() 3.50.571
H s s s =
=
++，可知13K = 由2222
41() 1.4n
n n
H s s s ωωω=++，可知241K = 所以，两环节串联后组成的系统的总灵敏度12341123S K K =⨯=⨯=
3-12已知某力传感器的固有频率800Hz ，阻尼比0.14ζ=，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比()A ω和相角差()ϕω各为多少若该装置的阻尼比可改为
0.7ζ=，问()A ω和()ϕω又将如何变化√
解：
222
()()228001600(/)
()sin(2400)800(/)
n
n n
n H j j j rad s x t A t rad s ωωωζωωωωπππϕωπ=++=⨯==⨯+=由题意知，该力传感器为一个二阶系统：
其中，输入信号为：
，即其角频率为
22
(1)0.14() 1.31
800220.141600()arctan arctan
10.68001()1()
1600n n A ζωωπ
ζ
ωπϕωωπωπ=
=⨯⨯
=-=-=---当传感器的阻尼系数＝时，有
22
(2)0.7()0.975
800220.71600()arctan arctan
438001()1()
1600n n A ζωωπ
ζ
ωπϕωωπωπ
∴=
=⨯⨯
=-=-=---当传感器的阻尼系数＝时，有
3-13一阶变换器的输出端与二阶的显示设备相连。

变换器的时间常数为，静态灵敏度为2V/℃。

显示设备的灵敏度、阻尼比和固有频率分别为1V/V，和5000Hz。

确定测试系统对输入()1050sin628
x t t
=+（单位：℃）的稳态响应。

解：
12
1
12
3
2
1
()1050sin628()10()50sin628
()
()10211020
2(V/ 1.4100.0014()()
()
x t t x t x t t
x t
y t K K
K s x t
A
τ
ω
-
=+==
=⨯⨯=⨯⨯=
⨯
==
1
1
由题意知该测试系统由一个一阶系统和一个二阶系统串联组成。

由输入信号，可设，
1)系统对的稳态响应为：
2)对于一阶系统，有=℃)，＝＝，其对的稳态响应为：
11
22 2
0.7510
()arctan()arctan(0.0014628)41.3218
1(V/0.92500010000() ()
o
n
K x t
A
ϕωτω
ζωππ
ω
=
=-=-⨯=-
⨯
=
=
对于二阶系统，有=V)，＝，＝＝，其对的稳态响应为：
2
22
2
221212
1.0004
628
220.14
10000
()arctan arctan0.3266
628
1()1()
10000
()
()50()()sin(628()())
50210.7510 1.0004sin(62841.321840.3266)75.1
o
n
n
o o
x t
y t K K A A t
t
ω
ζ
ωπ
ϕω
ω
ωπ
ωωϕωϕω
⨯⨯
=-=-=-
--
=⨯⨯⨯⨯++
=⨯⨯⨯⨯--=
1
所以系统对的稳态响应为：
12
3sin(62841.6484)
3)()
()()()4075.13sin(62841.6484)
o
o
t
x t
y t y t y t t
-=+=+-
所以系统对输入的稳态响应为：
第四章 常用传感器与敏感元件
4-4有一电阻应变片(如图，其灵敏度S ＝2，R ＝120Ω，设工作时其应变为1000με，问∆R ＝设将此应变片接成如图所示的电路，试求：(1)无应变时电流表示值；(2)有应变时电流表示值；(3)电流表示值相对变化量(注：με为微应变)。

解：图示电路的总电阻为+R R R ∆总＝
(1)无应变时R ∆＝0，所以+120R R R ∆Ω总＝＝
，所以电流1 1.5
12.5()120
U I mA R 总＝＝＝ (2)有应变时6
12021000100.24R RS ε-∆==⨯⨯⨯=Ω，所以+120.24R R R ∆Ω总＝＝，所
以电流2 1.512.4750()120.24
U I mA R 总＝
＝＝ (3)电流表示值相对变化量为212112.475012.50.025()
12.475012.50.025
0.2%12.5
I I I mA I I I
I I I ∆=-=-∆====-＝- 图 题4-4图
4-7一电容测微仪，其传感器的圆形极板半径r ＝4mm ，工作初始间隙0δ＝0.03mm ，问： 1）工作时，如果传感器与工件的间隙变化量1μm δ∆=±时，电容变化量是多少
2）如果测量电路灵敏度S 1=100mv ／pF ，读数仪表的灵敏度S 2＝5格／mv ，在1μm δ∆=±时，表的指示值变化多少格 解：
1)根据变极距型电容式传感器工作原理有
1232602
32
1
1
8.85101 3.14(410)(10)0.4940()(0.0310)
C A
pF εεδδ----∆=-∆=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯±=⨯m 2）表的指示变化为
120.49401005247()Y C S S ∆=∆⨯⨯=⨯⨯=m 格
4-12 电式压力传感器的灵敏度S ＝pC/Pa(皮库仑／帕)，把它和一台灵敏度调到／pC 的电荷放大器连接，放大器的输出又接到一灵敏度已调到20mm/V 的光线示波器上记录，试给出这个测试系统的框图，并计算其总的灵敏度。

解：
1）测试系统的框图如下图所示：
2）已知S ＝1pC/Pa ，S 1＝／pC ，S 2＝20mm/V ，所以总的灵敏度为： S 总＝S ×S 1×S 2=1××20=(mm/Pa)
4-3电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别各有何优缺点应如何针对具体情况选用√
答：半导体式应变片的工作原理是给予电阻的应变效应，对于半导体敏感栅来说，由于形变效应影响甚微，其应变效应主要为压阻效应。

半导体材料的突出优点是灵敏系数高，最大的K 值是（1+2μ）的50-70倍，机械滞后小，横向效应小，体积小，缺点是温度稳定性差，大应变时非线性较严重，灵敏系数离散性大，随着半导体集成电路工艺的发展，上述缺点相应得到了克服，电阻丝应变片的工作原理给予电阻的应变效应，即导体材料产生机械变形时，它的阻值产生相应改变的现象。

其优点是灵敏系数高，电阻率高，稳定性好，机械强度高，抗氧化，耐腐蚀。

4-10光电传感器包含哪几种类型各有何特点用光电式传感器可以测量哪些物理量 √
答：光电传感包括模拟式光电传感器与开关式光电感器。

模拟式光电传感器将被测量转换成连续变化的光电流，要求光电元件的光照特性为单值线性，且光源的光照均匀恒定。

开关式光电传感器利用光电元件受光照或无光照“有“、”无“电信号输出的特性将测量信号转换成断续变化的开关信号。

用光电式传感器可以测量直径、表面粗糙度、应变、位移、振动速度、加速度以及物体的形状等物理量。

4-11何为霍尔效应其物理本质是什么用霍尔元件可测哪些物理量请举出三个例子说明。

√答：
当电流垂直于外磁场方向通过导体时，在垂直于磁场和电流方向的导体的两个端之间出现电势差的现象成为霍尔效应，该电势差成为霍尔电势差或霍尔电压。

物理本质是由于运动电荷受磁场中洛伦兹力作用形成的电场，产生电视，霍尔元件可测位移、微压、压差、高度、加速度和振动，如：霍尔效应位移传感器，利用霍尔效应测量位移，微压传感器是利用霍尔效应测量微压。

ps 用传感器的基本原则是什么√
答：
1.适当的灵敏度
2.足够的精确度
3.高度的可靠性
4.对被测对象的影响小
5.良好的稳定性
6.线性范围合适
7.频率相应特性
第5章 模拟信号的调理与转换
5-1如图所示的直流电桥。

在初始平衡条件下2127.5R =Ω；若将3R 与4R 交换，当
2157.9R =Ω时，电桥重新实现平衡，问未知电阻1R 的大小是多少 解：
由初始平衡条件：4231R R R R =，即4315.127R R R ⨯Ω=
若将3R 与4R 交换平衡条件为：3241R R R R =，即3419.157R R R ⨯Ω= 联立求解得：1141.9R ≈Ω
5-4 低通、高通、带通及带阻滤波器各什么特点，画出它们的理想幅频特性曲线。

√ 解：特点:
1） 低通滤波器：允许0c ω-频率的信号通过滤波器，阻止c ω-∞频率的信号通过； 2） 高通滤波器：允许c ω-∞频率的信号通过，阻止0c ω-频率的信号通过； 3） 带通滤波器：允许12c c ωω-之间频率的信号通过，阻止10c ω-、2c ω-∞频率
的信号通过；
4） 带阻滤波器：允许10c ω-、2c ω-∞频率的信号通过，阻止12c c ωω-之间频率的信号通过。

理想幅频特性：
5-5有人在使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵敏度。

试问，在半桥双臂上各串联一片的情况下，是否可以提高灵敏度为什么 答：否。

5-7图是实际滤波器的幅频特性曲线，指出它们各属于哪一种滤波器在图上标出截止频率的位置。

图滤波器幅频特性图
解：
a)高通 b)低通 c)带通
在图上找出幅值为707.0时对应的频率即为上下截止频率。

5-8图所示RC 低通滤波器中0.01μF C =，输入信号x e 的频率为10f =kHz ，输出信号滞后于输入30o ，求：R 值应为多少如果输入电压的幅值为100V ，则其输出电压幅值为多少
解：已知：相位差()arctan arctan 230f ϕωωτπτ=-=-=-o 得，69.1910τ-=⨯
由RC τ=，得R = Ω
幅值比：2()1(2)A f f πτ=+=
所以，输出电压U==
5-9RC 低通滤波器的10k ΩR =，1μF C =。

试求：1）滤波器的截止频率c ω；2）当输入为()10sin102sin1000x t t t =+时，求滤波器稳态输出。

解：(1)其时间常数01.010*******=⨯⨯⨯==-RC τ
1/1/0.01100(/)c rad s ωτ===
(2) 参见题3-6，得()9.95sin(10 5.71)0.20sin(100084.29)y t t t =-+-o o
图 习题5-8图
5-12如图所示，调制波为()f t ，载波0cos t ω √
1) 画出调幅波的时间波形。

2) 画出调幅波的频谱。

3) 如果采用偏置调幅（A=1），什么情况下将产生过调制
图 习题5-12图
解：
1) 采用抑制调幅时，调幅波的时间波形为:
0()()cos m f t f t t ω=⋅
2) 调幅波的频谱: 即求 ()m f t 的频谱F m (ω)
(a)设基带信号()f t 的频谱F(ω):
2021()d 0T T a x t t T
-==⎰ (1)/24(1),1,3,5,4sin 20,
2,4,6,n n n n a n n n πππ-⎧-=⋅⋅⋅⎪==⎨⎪=⋅⋅⋅⎩ 202()sin d 0T n T b x t n t t T
ω-==⎰ ()n F a ω=
(b) 调制之后信号的频谱
1()()()()2f t z t F Z ωωπ
⋅⇒* )]()([cos 000ωωδωωδπω-++↔t
000011()()()[()()]221[()()]2
F Z F F F ωωωπδωωδωωππωωωω*=*++-=++-
3）A 0>1
5-13设调制波111()(cos cos 2)f t A t t ωω=+，偏置A 后对载波0cos t ω进行调幅。

为避
免过调失真，A 与1A 的取值应满足什么条件
解：（说明：该题的含义是偏置调幅偏置大小为A ，偏置之后与0cos t ω相乘。

）
要避免过调失真（包络失真），则必须满足
()0f t A +>
即111(cos cos 2)0A t t A ωω++>
即只要()f t 取最小值时满足即可,即min 0f A +>
求()f t 的最小值：
1111111111111111()/(sin 2sin 2)0
(sin 2sin 2)0
sin 2sin 2sin 4sin cos cos 1/4
arccos(1/4)
df t dt A t t t t t t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω=--=+=+=+∴=-∴=-
也就是当1arccos(1/4)t ω=- 111()(cos cos 2)f t A t t ωω=+有最小值
22min 11111111min 1111(cos cos 2)(cos 2cos 1)[2()1] 1.12544
0 1.1250
10.8891.125
f A t t A t t A A f A A A A A A ωωωω=+=+-=-+--=-+>⇒-+>≤
=
5-15已知某角度调制信号00m ()cos(200cos )s t A t t ωω=+。

1)如果它是调频波，且FM 4K =，试求调制波()f t 。

2) 如果它是调相波，且
PM 4K =，试求调制波()f t 。

解：已知：[]00()cos 200cos m s t A t t ωω=+
1） 若为调频波，则：
()200cos FM m
K f t dt t ω=⎰，
又4FM K =，()50cos m f t dt t ω∴=⎰
()50sin m m f t t ωω∴=-
2）若为调相波，则：
()200cos PM m K f t t ω=，
又4PM K =， ()50cos m f t t ω∴=
5-17调幅过程中，载波频率为0f ，调制信号的最高频率m f ，它们之间应满足什么样的关系为什么√
解：
为了避免调幅波产生混叠失真，应满足：m f f >0。