(湖南专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(二十二)配套作业理

专题限时集训(二十二)
[第22讲 分类与整合和化归与转化思想]
(时间：45分钟)
1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－x ＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4
5
2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则tan α的值为( )
A.12 B ．－12 C.14 D ．－1
4
3．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)
B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)
C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32<f (－1) 4．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 图象的一条对称轴是( )
A ．x ＝π8
B ．x ＝π4
C ．x ＝π
2
D ．x ＝π
6．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差小于1，则
a 的取值范围是( )
A ．(0，1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪(2，＋∞) D ．(1，＋∞)
7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2 012项的和等于( )
A ．1 340
B ．1 341
C ．1 342
D ．1 343
8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x
－3a x
＋3)，则使f (x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(log a 2，0) D ．(log a 2，＋∞)
9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，
则2y －3x ＋1
的最大值为________．
图22－1
10．如图22－1，圆台上底面半径为1，下底面半径为4，母线AB ＝18；从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，则绳子的最短长度为________．
11．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x
(0<a <1)，讨论f (x )的单调性．
12．某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小
时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，1
2；一小
时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，1
4
；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.
13．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交
a (3≤a ≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件．
(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．
专题限时集训(二十二)
【基础演练】 1．C [解析] cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－x ＝cos π2＋π3－x ＝－sin π3－x ＝－35，选C.
2．A [解析] 方法1：tan α＝tan α＋π4－π4＝tan α＋π4－tan
π
41＋tan α＋π4·tan
π4＝3－11＋3＝1
2
.
方法2：由tan α＋π4＝3，得1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝1
2
，选A.
3．D [解析] 由于函数f (x )是偶函数，所以f (2)＝f (－2)，因为－2<－3
2
<－1且函数
f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)<f －32<f (－1)，即f (2)<f －32
<f (－1)．
4．D [解析] 若S n 是关于n 的二次函数，则设为S n ＝an 2
＋bn ＋c (a ≠0)，则当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，当n ＝1时，S 1＝a ＋b ＋c ，只有当c ＝0时，数列才是等差数列，若数列为等差数列，则S n ＝na 1＋
n （n －1）d 2
＝d 2
n 2＋a 1－d
2
n ，当d ≠0时为二次函数，当d ＝0
时，为一次函数，所以“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的既不充分也不必要条件，选D.
【提升训练】
5．B [解析] 因y ＝2sin x ＋π4cos π4－x ＝2sin 2
x ＋π4＝1－cos2x ＋π2
＝1＋sin2x ，易知
x ＝π
4
是其一条对称轴，选B.
6．B [解析] 当a >1时，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ＝log a 2＋1，log a a ＝1，它们的差为log a 2<1，即log 2a >1，故a >2；当0<a <1时，函数
f (x )＝lo
g a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为log a a ＝1，log a 2a ＝log a 2＋1，它们的
差为－log a 2<1，即log a 2>－1，即log 2a <－1，即a <1
2
.正确选项为B.
7．C [解析] 因为a 1＝1，a 2＝1，所以根据a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，得a 3＝|a 2－a 1|＝0，
a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，…，故数列{a n }是周期为3的数列．又2 012＝670×3＋2，所以该数列
前2 012项和等于670×2＋2＝1 342.故选C.
8．C [解析] 根据对数函数的性质可得不等式0<a 2x
－3a x
＋3<1，换元后转化为一元二次不等式求解．令t ＝a x ，即0<t 2－3t ＋3<1，因为Δ＝(－3)2－4×3＝－3<0，故t 2
－3t ＋3>0恒成立，只要解不等式t 2
－3t ＋3<1即可，即解不等式t 2－3t ＋2<0，解得1<t <2，故1<a x
<2，取以a 为底的对数，根据对数函数性质得log a 2<x <0.正确选项为C.
9．5 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12
对应的平面区域如右图所示：
2y －3x ＋1表示平面上一定点－1，3
2与可行域内任一点连线斜率的2倍，由图易得当该点为(0，4)时，2y －3x ＋1
的最大值是5.
10．21 [解析] 沿母线AB 把圆台侧面展开为扇环AMBB ′M ′A ′，化为平面上的距离求
解．设截得圆台的圆锥的母线长度为l ，则l －18l ＝1
4
，解得l ＝24，圆锥展开后扇形的中心角为
2π×424＝π
3
，此时在三角形SAA ′中，AS ＝24(S 为圆锥的顶点)，SM ′＝15，根据余弦定理AM ′＝
242＋152
－2×24×15×12
＝441＝21.
11．解：f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2
－x ＋1－a
x
2
，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0， 即ax 2
－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a
－1.
(1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或者x >1a －1时，f ′(x )<0；当1<x <1
a －1时，f ′(x )>0.
故此时函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，1a －1，＋∞，单调递增区间是1，1
a
－1.
(2)若a ＝1
2，则x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，且仅在x ＝1处等于零，故此时函数f (x )
在(0，＋∞)上单调递减．
(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1.当0<x <1a －1或者x >1时，f ′(x )<0；当1
a －1<x <1时，f ′(x )>0.
故此时函数f (x )的单调递减区间是0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是1
a
－1，1.
综上所述：当0<a <12时，函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，1
a －1，＋∞，单调递增区
间是1，1a －1；当a ＝12时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当1
2<a <1时，函数f (x )
的单调递减区间是0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是1
a
－1，1.
12．解：(1)甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元． 都付2元的概率为P 1＝14×12＝1
8；
都付4元的概率为P 2＝12×14＝1
8；
都付6元的概率为P 3＝14×14＝1
16
，
故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝5
16.
(2)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.
P (ξ＝4)＝18
；
P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516
； P (ξ＝8)＝14×14
＋12×14
＋12×14
＝516
； P (ξ＝10)＝14×14＋12
×14＝316
； P (ξ＝12)＝14×14＝116.
故ξ的分布列为
所求数学期望E ξ＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.
13．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：
L ＝(x －a －3)(12－x )2(9≤x ≤11)，
(2)L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )． 令L ′(x )＝0得x ＝6＋2
3a 或x ＝12(舍)，
①当3≤a ≤92时，6＋2
3a ≤9，
此时L (x )在[9，11]上单调递减，
L (x )max ＝L (9)＝54－9a ；
②当92<a ≤5时，9<6＋2
3
a <11，此时L (x )max ＝
L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－a 33
. 所以，当3≤a ≤92时，每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，当9
2<a ≤5时，每
件售价为6＋2
3
a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值为
Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧54－9a ，3≤a ≤9
2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92<a ≤5.。