高三数学精选平面向量多选题 期末复习测试提优卷试题

高三数学精选平面向量多选题 期末复习测试提优卷试题
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥
C ．()a b a -⊥
D ．a 与b 的夹角为
4
π 【答案】CD 【分析】
根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，
(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则
()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；
对于C ，又()
()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2
cos ,2
22
a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为
π
4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，
2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
【答案】BD 【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得2
22333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且1
2
GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,
2O ⎛ ⎝⎭
， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C，
3
1,
OA
⎛⎫
=--
⎪
⎪
⎝⎭
，
3
1,
OB
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
3
0,
OC
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
13
,
3
OD
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以
13
,
33
OA OB OC OD
⎛⎫
+++=--
⎪
⎪
⎝⎭
，所以
2
3
OA OB OC OD
+++=，故C错误；对于D，()
1,3
BC=-，
123
,
3
ED
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以ED在BC方向上的投影为
1
27
3
26
BC ED
BC
+
⋅
==，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
4．已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边AC上的点，且2
AD DC
=，E是AB的中点，BD与CE交于点O，那么（）
A．0
OE OC
+=B．1
AB CE
⋅=-
C．
3
2
OA OB OC
++=D．
13
2
DE=
【答案】AC
【分析】
建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取BD中点M，连接ME，
因为,
M E为,
BD BA中点，所以
1
//,
2
ME AD ME AD
=，又因为
1
2
CD AD
=，
所以//,
ME CD ME CD
=，所以易知EOM COD
≅，所以O为CE中点，
A．因为O为CE中点，所以0
OE OC
+=成立，故正确；
B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；
C ．因为()()()
30,
,1,0,1,0,0,3O A B C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以33331,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以3
2
OA OB OC ++=，故正确； D ．因为()123,,0,033D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,33DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以133DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．21
33
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =
【答案】BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确；
因为11
22 2
3
13
2
APQ
ABC
AB h
S
S AB h
⨯⨯
==
⋅
△
△
，所以，2
APQ
S=
△
，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
6．如图所示，设Ox ，Oy是平面内相交成
2
π
θθ⎛⎫
≠
⎪
⎝⎭
角的两条数轴，
1
e，
2
e分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系中，若12
OM xe ye
=+，则把有序数对(),x y叫做向量OM的反射坐标，记为(),
OM x y
=.在2
3
π
θ=的反射坐标系中，()
1,2
a =，()
2,1
b=-.则下列结论中，正确的是（）A．()
1,3
a b
-=-B ．5
a=
C．a b
⊥D．a在b上的投影为
37
【答案】AD
【分析】
12
3
a b e e
-=-+，则()
1,3
a b
-=-，故A正确；3
a=，故B错误；
3
2
a b⋅=-，故C错误；由于a在b上的投影为
3
37
2
14
7
a b
b
-
⋅
==-，故D正确.
【详解】
()()
121212
223
a b e e e e e e
-=+--=-+，则()
1,3
a b
-=-，故A正确；
()2
12
2
254cos3
3
a e e
π
=+=+=B错误；
()()
22
121211223
222322
a b e e e e e e e
e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于(
)
2
22
27b e e =-=，故a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==-
，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14n
n n a a +-=
【答案】BD 【分析】 证明12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321a =，选项C 不正确.
【详解】
因为2AE EC =，所以2
3
AE AC =， 所以2
()3
AB BE AB BC +=+, 所以12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；
设BD tBE =（0t >），
则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以
()()111
1
23n n n n BE a a BA a a BC t t
-+=
-+-， 所以
()11123n n a a t --=，()11233
n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，
显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，
11
4n n
n n a a a a +--=-，
所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，
易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）
A ．22a -
B ．232
a -
C ．243
a -
D ．2a -
【答案】BCD 【分析】
通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系.
设(),P x y ，又()
3A a ，(),0B a -，
()
,0C a ，则()
PA x y =--，
(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.
则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以
()(
)
()
2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+
则()PA PB PC ⋅+2
222x
y =+-
即(
)
PA PB PC ⋅+2
2
232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝
⎭. 所以()
PA PB PC ⋅+2
32
a ≥- 故选：BCD. 【点睛】
本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.
二、立体几何多选题
9．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）
A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°
B ．1BD ⊥平面11A
C B C ．球O 的表面积为36π
D ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】
连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】
对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为
异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a ，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为
a ，则11A D a =，12A B a =，1BD 3a =，由勾股定理知111A D B A
⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a ，则112AC a =，内切球半径为
2
a
，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则
111623332332O A AC a a =⨯'=⨯=，又1
3
2
OA a =，∴球心O 到面11A C B 的距离为1212
2232633a a a OA O A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-='-，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴截面圆的半径为2
2
36626a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-=，又截面圆的面积2
624S a ππ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积
214644S ππ==⨯，故C 错误；
对于D ，由等体积法知111111111
1
11212122812
383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.
10．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 35
B ．DP 5
C ．1AP PC +6
D ．1AP PC +的最小值为1705
【答案】AD
【分析】 DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355
h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10
AA AC AAC ''==∠=-， 所以217042222()105
AC '=
+-⨯⨯⨯-=. 故选：AD.
【点睛】 本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．。