2018年福建省莆田市初中初三市质检数学试卷及答案

2018年福建省莆田市初中初三市质检数学试卷及答案
2018年莆田市初中毕业班质量检查数学试卷
(满分:150分；考试时间:120分钟)
注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置。

一、选择题(每小题4分，共40分)
(1)2018的相反数为（）
(A)2018(B)1
2018(C) 2018
-(D) 12018
-
(2)下列式子运算结果为2a的是（）
(A)2a a⋅(B) a+2(C) a
a+(D) a
a÷
3
(3)若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（）
(A)圆柱(B)球(C) 正方体(D)圆锥
(4)下列说法中，正确的是（）
(A)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四
边形
(B)对角线相等的四边形是矩形
(C)对角线互相垂直的四边形是菱形
(D)有一组邻边相等的矩形是正方形
(5)若x =1是关于x 的方程x 2-2x +c =0的一个根，则c 的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C) 1 (D)2
(6)如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连接OB 交⊙O 于点C ．若OA=3，
tan ∠AOB=34，则BC 的长为（ ）
(A)2 (B)３ (C)４ (D)５
(7)一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（ ）
(A)平均数 (B)中位数 (C)众数
B O
C
(D)方差
(8)已知一次函数y=kx+1的图象经过点A，且函数值y 随x的增大而减小，则点A的坐标可能是（）(A)(2，4) (B)(-1，2) (C )(-1，-4)
(D)(5，1)
(9)如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°将△BMN 沿养MN翻折，得到△FMN．若
MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）
(A) 70°(B) 80°(C) 90°(D) 100°
C
y
D
N
B
F A
O x
(14)如图，△ABC 中，AB=35，AC=45．点F 在AC 上，
AE 平分∠BAC ，AE ⊥BF 于点E ．若点D 为 BC
中点，则DE 的长为________．
(15)小峰抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“至少出现一次正面朝上”的概率为________．
(16)2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的
海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖．
根据蔡勒公式可以得出2010年8月19日是星期________．
(注：蔡勒(德国数学家)公式：W=110)1(26424-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡d m y y c c 其中：W ——所求的日期的星期数(如大于7，就需减
去7的整数倍)，c ——所求年份的前两位，y 所求年份的后两位，m —月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即3≤m ≤14)，d ——日期数，[a ]—表示取数a 的整数部分．)
三、解答题(86分)
(17)先化筒，再求值：
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷++111122a a a a ，其中a =3．
(18)( 8分)如图，等边△ABC ． (1)求作一点D ，连接AD 、CD ，使得四边形ABCD 为菱形；
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接BD 交AC 于点O ，若OA=1，求菱形ABCD 的面积．
(19)( 8分)保险公司车保险种的基本保费为a (单位：元)，B
继续购买该险种的投保人称为续保
人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：
上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥
5
保费0.8
5a a 1.2
5a
1.
5
a
1.7
5a
2
a
该公司随机调查了该险种的300名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计图：
(1)样本中，保费高于基本保费的人数为________名；
(2)已知该险种的基本保费a为6000元，估计一名
续保人本年度的平均保费．
(20)( 8分)如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．分
A
D
别以AB、AC
为边在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE，连接DE．
(1)判断△ADE的形状，并加以证明；
(2)过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由．
(21)( 8分)水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg根据以往的销售经验可知：
日销量y(单位：kg)随售价x(单位：元/kg)的变化规律符合某种函数关系．
该水果店以往的销售记录如下表：(售价不低于进价)
售价x(单位：元/kg) 10 15 20 2
5
3
日销量y(单位：kg) 30 20 15 1
2
1
若y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种．
(1)判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；
(2)水果店销售该种水果的日利润能否达到200元?说明理由．
(22)( 10分)如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为N，连接AC．
(1)若ON=1，BN=3，求BC 长；
(2)若点E 在AB 上，且AC 2=AE ·AB ，求证：∠CEB=2
∠CAB ．
(23)( 10分)规定：在平面直角坐标系内，某直线l 1与绕原点O 顺时针旋转90°，得到的直线l 2称
为l 1的“旋转垂线．
(1)求出直线2+-=x y 的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线)
0(11
1
≠+=k
x k y 的“旋转垂线”为直线
b
x k y +=2，求证：k 1·k 2=1-．
A B
C
D
O
N
E
(24)( 12分)如图，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为点D ．点P 是AD 上一点，PQ ⊥AC 于点Q ，
连接BP 、DQ ．
(1) 求证：AP AQ =AB
AD
； (2)求证：∠DBP=∠DQP ；
(3)若BD=1，点P 在线段AD 上运动(不与A 、D 重合
)，设DP=t ，
点P 到AB 的距离为d 1，点P 到DQ 的距离为d 2．记
S=2
1d d ，
求S 与t 之间的函数关系式．
Q A B C
D
P
(25)( 14分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴
交于A、B两点，顶点为C，且△ABC为等腰
直角三角形．
(1)当A(1-，0)，B(3，0)时，求a的值；
(2)当a
=，0<a时，
b2-
(i)求该二次函数的解析式(用只含a的式子表示)；
(ii)在1-≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3，所对应的的三个函数值分别为y1、y2、y3，
若以y1、y2、y3为长度的三条线段能围成三角形，
求a的取值范围．
参考答案与评分标准
(1) C(2) C(3) B(4) D(5) C(6) A(7) D (8) B(9) B(10) A
(11) 2 (12) 8.27⨯105 (13) 1 (14) 2
5
(15) 43 (16) 四 三、解答题
(17) (本小题满分8分) 解
：
原
式
=
1
1
1)1(2+-+÷
+a a a a
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 =
a
a a a 1
)1(2+⨯
+
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 =1
1+a ┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ∵a ＝1
3-.
∴
原式
=
33
3
11131=
=+-.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (18) (本小题满分8分) (I)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
如图所示，点
D
就是所求作的点.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II) 在菱形ABCD 中，∠BAC =60°，OB ⊥OA ， ┄┄┄5分
∴在Rt △OAB 中，tan ∠OAB =tan60°=OA OB . ∵OA=1 ∴
3
=BO ，BD =
3
2. ┄┄┄┄┄┄┄┄
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 又∵AC =2OA =2 ∴菱形
ABCD
的面积
322
1
=⋅=
AC BD S .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (19) (本小题满分8分) (I)
120
┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 解：平均保费为
300
)
21075.1305.14025.14018085.0100(6000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ =6950(
元)
┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(20) (本小题满分8分) (I)
△ADE
是等腰直角三角形.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 理由：在等边△ABD 和等边△ACE 中，
∵BA=DA，CA=EA，∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD -∠CAD=∠CAE -∠CAD.
即∠BAC=∠EAD.
∴△ABC≌△ADE.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
∴AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴AD=DE，∠ADE=90°
即△ADE是等腰直角三角形.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II) 连接CD，则直线CD垂直平分线段AE.
(或连接BE，则直线BE垂直平分线段AC)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
理由：由(I)得DA=DE.
又∵CA=CE.
∴直线CD垂直平分线段AE.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(21) (本小题满分8分)
(I) 解：观察可知，售价x与日销量y的乘积为定值300.
y与x之间的关系为反比例函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
设函数解析式为)0( ≠=k x k y . 当
30
,10==y x 时，
300
=k .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
∴函数解析式为 300x y =. ┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II)解： 能达到200元. 理由：依题意：200300)10(=⋅-x x . 解
得
：
30
=x .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 经检验，30=x 是原方程的解，并且符合题意.
┄┄┄┄┄┄┄7分
答：当售价30元/kg 时，水果店销售该种水果的日利润为200元. ┄┄┄┄8分 (22) (本小题满分10分)
(I)解：∵AB ⊥CD ，垂足为N ∴∠BNO =90°
在Rt △ABC 中，∵ON =1，BN =3 ∴2
22=+=ON BN BO ，3tan ==∠ON
BN
BON ┄┄┄3分 ∴
∠
BON =60°
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
2
1
N
E
A
B
D
O
C
∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分
(II)证明：如图，连接BC
∵CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
∴∠1=∠CAB
∵AB
AE AC ⋅=2
，且∠A =∠A
∴
△ACE
∽
△ABC
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
∴∠1=∠2 ∴∠CAB =∠2 ∴
∠
CEB =
∠
CAB +
∠
2=2
∠
CAB .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 (23) (本小题满分10分)
(I)解：直线2+-=x y 经过点（2，0）与（0，2）， 则这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为
（0，-2）与（2，0）┄┄┄2分 设直线2+-=x y 的“旋转垂线”的解析式为)0( ≠+=k m kx y
┄┄3分
把（0，-2）与（2，0）代入 m kx y +=
得：⎩
⎨⎧=+-=022m k b .解得⎩
⎨
⎧-==2
1
m k .
即直线
2
+-=x y 的“旋转垂线”为
2
-=x y ；
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
(II) 证明：直线)
0( 111
≠+=k
x k y 经过点（1
1k -，0）与
（0，1）， ┄┄┄┄6分
则这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为
（0，1
1k ）与（1，0）， ┄┄8分
把（0，1
1
k ）与（1，0）代入b x k y +=2
，得
⎪⎩⎪
⎨
⎧=+=012
1b k k b ∴
011
2=+
k k ，∴
1
21-=⋅k k .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 (24) (本小题满分12分)
(I)证明∵AD 平分∠BAC ， ∴∠PAQ =∠BAD ∵PQ ⊥AC ，BD ⊥AD ∴∠PQA =∠BDA =90° ∴△PQA ∽△BDA
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
2分
∴
AB
AD
AP AQ =
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
3分
(II)证法一：由(I)得AB
AD
AP AQ =
又∵∠PAB =∠QAD ∴△PAB ∽△QAD
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5
分
∴∠APB =∠AQD ∵∠APB =∠PDB +∠DBP ∠AQD =∠AQP +∠DQP ∴∠PDB =∠AQP =90° ∴∠DBP =∠DQP
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7
分
证法二：如图，延长AC ，交BD 的延长线于点E ，
连接PE ，取PE 的中点O ，连接OD,OQ. ∵∠PDE =∠PQE =90° 在Rt △PDE 与Rt △PQE 中， ∵O 是PE 的中点，
∴PE DO 21=，PE QO 2
1
= 即PO EO QO DO ===
∴P 、D 、E 、Q 四点都在以O 为圆心，OP 为半径的
1
O
Q D
B
C P
⊙O 上，┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴∠1=∠DQP ∵AD 垂直平分BE ∴PB =PE ∴∠1=∠DBP ∴
∠
DBP =
∠
DQP
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
(III)解：过点P 分别作PG ⊥AB 于点G ，PH ⊥DQ 于点H . 则PG =d 1，PH =d 2.
∵AD 平分∠BAC ，PQ ⊥AC.
∴d 1=PG =PQ . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
∴PH
PQ d
d S =
=2
1.
由(II)得∠DBP =∠DQP ， ∵∠BDP =∠QHP =90°. ∴
△
DBP
∽
△
HQP
；
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
∴PD
PB
PH PQ =. 在Rt △BDP 中，BD =1，DP =t. ∴1
2+=t PB .
∴
t
t S 1
2+=
.
H G
Q D
B
A
P
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 25．(本小题满分14分)
(I) 解：∵A (-1，0)，B (3，0)，∴该二次函数图象的对称轴为1=x ，且AB =4.
过点C 作CH ⊥AB 于点H.
∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CH =2
1
AB =2. ┄┄1分
∴C (1，-2)或C (1，2)
①如图1，当C (1，-2)时，可设2
)
1(2
--=x a y .
把点B (3，0)代入可得：2
1=a . ┄┄┄┄3分 ②如图2，当C (1，2)时，可设2
)1(2
+-=x a y .
把点B (3，0)代入可得：
2
1
-
=a .
综上所述，21=a 或2
1
-. ┄┄┄┄┄┄┄4分 (II)
解：
(i ) 当
a
b 2-=时，
c
ax ax y +-=22=a
c x a -+-2
)
1(.┄┄┄┄┄┄┄┄5分
∴C (1，c -a ) ∴B (1+c -a
，
0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
┄┄┄┄6分 ∴0
)
(2
=-+-a c a c a .
O y
x
H
B A C
图1
O
y x
H C
B
A
图2
∴0
)1)((2
=+--a ac a c .
∵0≠-a c ，
∴a
a c 1-=. ∴
()a
x a y 1
12
-
-=.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(ii ) 法一：∵31≤≤-x ，a <0，
∴当x =-1或3时，y 取得最小值a
a 14-，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
当
x =1
时，y
取得最大值
a
1
-.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
若以3
2
1
, , y y y 为长度的三条线段能围成三角形.
则
a
a a 1)14(2-
>-.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
整理得：0
182
<-a .
∴
04
2
<<-
a .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分
法二：依题意得：a
x a y
1)1(2
11-
-=，a
x a y
1)1(222
-
-=，
a
x a y 1)1(233-
-=.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
以3
2
1
, , y y y 为长度的三条线段能围成三角形.不
妨设3
21
y y y
≤≤. 则3
2
1
y y
y >+在31≤≤-x 范围内恒成立.
∴a
x a a x a a x a 1)1(1)1(1)
1(23222
1
-->--+-
-
整理得：
2
2322211
)1()1()1(a x x x <
---+-.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
等价于2
3222
1
)1()1()
1(---+-x x x 最大值小于2
1a .
当121
-==x x 时，2
22
1
)1()
1(-+-x x 取最大值为8；
当1
3
=x 时，2
3
)1(-x
取最小值为0.
此时2
3222
1
)1()1()
1(---+-x x x 取最大值为8.
∴
2
18a <
.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
整理得：0
182
<-a .
∵0<a . ∴
04
2
<<-
a .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分。