2020-2021成都市第二十中学校九年级数学上期中一模试题(及答案)

2020-2021成都市第二十中学校九年级数学上期中一模试题(及答案)
一、选择题
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．随时打开电视机，正在播新闻 B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心 C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形
2．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （
3
2
，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）
A ．（6048，0）
B ．（6054，0）
C ．（6048，2）
D ．（6054，2）
3．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A ．55°
B ．110°
C ．120°
D ．125°
4．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k 16≤
B ．1
k 16
≤
C ．k 16≤且k 0≠
D ．1
k 16
≤
且k 0≠ 6．如图，已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x ＞3时，y ＜0； ②3a+b ＜0； ③213
a -≤≤-
； ④248ac b a ->； 其中正确的结论是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
7．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
8．求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()2
1a b am bm m ->+≠-；⑤1
3
a >
；其中，正确的结论有（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
10．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．（x+1）（x+2）=18
B ．x 2﹣3x+16=0
C ．（x ﹣1）（x ﹣2）
=18
D ．x 2+3x+16=0
12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）
A ．30º
B ．35º
C ．25º
D ．60º
二、填空题
13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 14．圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．
15．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．
16．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o
，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.
17．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．
18．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm
19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．
20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．
三、解答题
21．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．
（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．
22．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．
（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=3
4
，AD=6，求线段AE 的长．
23．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.
（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线()2
313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试
确定此抛物线的解析式．
24．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．
25．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
详解：A．是随机事件，故A不符合题意；
B．是随机事件，故B不符合题意；
C．是随机事件，故C不符合题意；
D．是必然事件，故D符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【详解】
∵A（3
2
，0），B（0，2），
∴OA＝3
2
，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB
5
2 =，
∴OA+AB1+B1C2＝3
2
+2+
5
2
＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=1
2
（360°-∠AOB）=
1
2
×250°=125°．
故选D．
点睛：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．4．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=1
lr
2
，
计算即可．
【详解】
解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=11
lr=
22
×6×3=9．
故选D．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算．5．B
解析：B
【解析】
【分析】
当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决. 【详解】
解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；
当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2
(1)440k =--⨯⨯…
，解得：116k „
，此时1
16
k „且0k ≠； 综上，1
16
k „．故选B. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b
x a
=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则2
23y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：
2
13
a -≤≤-，故③正确；
④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：
2
48ac a b ->，∵a ＜0，∴2
24b c a
-<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】
解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0）， 当x ＞3时，y ＜0， 故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0，
∵12b
x a
=-
=， ∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a ＜0， 故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--， 令x=0得：y=﹣3a ．
∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间， ∴233a ≤-≤． 解得：213
a -≤≤-， 故③正确；
④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间， ∴2≤c≤3，
由248ac b a ->得：248ac a b ->， ∵a ＜0，
∴2
24b c a
-<，
∴c ﹣2＜0，
∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾， 故④错误． 故选B ． 【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，
是偶数只有2个，
所以组成的三位数是偶数的概率是13
； 故选A ．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点
（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，
y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，
∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b
x a =-
=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13
a c >-,然后利用1c <-得到13
a >-. 【详解】
∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；
∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为
1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称
轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2
y ax bx c =++得：2
y am bm c =++，
∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12b
x a
=-
=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13
a c >-, 根据图象得1c <-，∴1
3
a >-
，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，
y a b c =-+.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
求出b 2-4ac 的值，根据b 2-4ac 的正负即可得出答案． 【详解】 x 2+2x+2=0， 这里a=1，b=2，c=2， ∵b 2−4ac=22−4×1×2=−4<0， ∴方程无实数根， 故选D. 【点睛】
此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键
10．B
解析：B 【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选B ．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18． 故选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】
连OA ，OB ，如图，
∵OA=OB=AB ，
∴△OAB 为等边三角形，
60AOB ∴∠=o ，
又12
C AOB ∠=∠Q ， 16030.2
C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．
二、填空题
13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l 根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π
解析：15π
【解析】
【分析】设圆锥母线长为l ，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.
【详解】设圆锥母线长为l ，∵r=3，h=4，
∴母线225r h +=，
∴S 侧=
12×2πr×5=12
×2π×3×5=15π， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.
14．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm 圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm 扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×
解析：240
【解析】
【分析】
根据弧长=圆锥底面周长=28πcm，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.
【详解】
解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，
扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．
故答案为：240．
【点睛】
此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．
15．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB
解析：70°
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】
因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°
因为∠D＝20°
所以∠A=∠D＝20°
所以∠CBA=90°-20°=70°
故答案为：70°
【点睛】
考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．
16．15°或60°【解析】【分析】分情况讨论：①DE⊥BC②AD⊥BC然后分别计算的度数即可解答【详解】解：①如下图当DE⊥BC时如下图∠CFD＝60°旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2
解析：15°或60°.
【解析】
【分析】
分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算α的度数即可解答.
【详解】
解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为：α＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
（2）当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为：α＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【点睛】
本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.
17．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算
解析：15π
【解析】
试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形
的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=1
2
•2π•3•5=15π．
故答案为15π．
考点：圆锥的计算．
18．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用
解析：1
【解析】
通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．
解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；
所以r=1．故填1．
会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．19．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环
解析：（6053，2）．
【解析】
【分析】
根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.
【详解】
第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第
五次P 5（17，2），…
发现点P 的位置4次一个循环，
∵2017÷
4=504余1， P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，
∴P 2017（6053，2），
故答案为（6053，2）．
考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm 母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm 所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算
解析：15π．
【解析】
【分析】
【详解】
解：由图可知，圆锥的高是4cm ，母线长5cm ，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm ，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm ²．
故答案为：15π．
【点睛】
本题考查圆锥的计算．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）BF
＝2．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；
（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．
【详解】
解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，
∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，
在△AEC 和△ADB 中，
AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝22，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝22﹣2．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
22．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2
【解析】
试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
，由BE∥PD，AE=AB•sin
∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．
试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=3
4
，∴PD=8，AP=10，设半
径为r．∵OC∥AD，∴OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
．∵AB是直径，∴∠
AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=15
2
×
3
5
=
9
2
．
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）证明见解析；（2）y=x2+4x+3．
【解析】
【分析】
（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
（2）令y=0，则 mx 2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx 2+（3m+1）x+3与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，求出m 的值.
【详解】
解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．
当m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵△=（3m+1）2-12m=9m 2-6m+1=（3m-1）2≥0．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m 为任何实数时，方程mx 2+（3m+1）x+3=0总有实数根．
（2）∵令y=0，则mx 2+（3m+1）x+3=0
解得x 1=-3，x 2=-1m
． ∵抛物线y=mx 2+（3m+1）x+3与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x 2+4x+3．
考点：二次函数综合题．
24．该公司有50人参加旅游．
【解析】
【分析】
设该公司有x 人参加旅游，由308002400030000⨯=<，可得出x 30>，分
30x 55<≤及x 55>两种情况考虑，由总价=单价⨯数量，可得出关于x 的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．
【详解】
设该公司有x 人参加旅游．
308002400030000⨯=<Q ，
x 30∴>．
()308005501055(+-÷=人)．
根据题意得：当30x 55<≤时，有()x 80010x 3030000⎡⎤--=⎣⎦，
化简得：2x 110x 30000-+=，
解得：1x 50=，2x 60(=舍去)；
当x 55>时，有550x 30000=， 解得：600x (11
=舍去)． 答：该公司有50人参加旅游．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分30x 55<≤及x 55>两种
情况，列出关于x 的方程是解题的关键．
25．（1）98
m £
且0m ≠；（2）10x =，21x =-． 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且()()2
2341m m m =----⎡⎤⎣⎦V ≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m 的范围可确定m=1，则原方程化为x 2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆---- =89m -+． 解得98
m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数，
∴1m =．
∴原方程为20x x +=．
解得10x =，21x =-．
【点睛】
考查一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.
当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.。