数学第八章 二元一次方程组单元测试附解析

数学第八章二元一次方程组单元测试附解析
一、选择题
1．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要x 万元，新建 1 个地下停车位需y 万元，列二元一次方程组得（）
A．
6
32 1.3
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
6
23 1.3
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
0.6
32 1.3
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
6
3213
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
2．已知方程组
21
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，则x＋2y的值为（）
A．2 B．1 C．－2 D．3
3．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）
A．
4.5
0.51
y x
y x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
B．
4.5
21
y x
y x
=+
⎧
⎨
=-
⎩
C．
4.5
0.51
y x
y x
=+
⎧
⎨
=+
⎩
D．
4.5
21
y x
y x
=-
⎧
⎨
=-
⎩
4．《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程
组就是
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）
A．
211
4322
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
211
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
26
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
5．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律， A2019的坐标为（）
A ．（﹣1008，0）
B ．（﹣1006，0）
C ．（2，﹣504）
D ．（2，-506）
6．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
7．已知方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）
A ．1
2x y =⎧⎨=⎩
B ．3
4x y =⎧⎨=⎩
C ．10
103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．5
10x y =⎧⎨=⎩
8．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为3
4x y =⎧⎨=⎩，则方程组
2()3()18
()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨
+--=-⎩
的解为（ ） A ．3
4x y =⎧⎨
=⎩
B ．7
1x y =⎧⎨
=-⎩
C ． 3.5
0.5x y =⎧⎨
=-⎩
D ． 3.5
0.5x y =⎧⎨
=⎩
9．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2个长方形的周长之和为9
4
l ，则标号为①正方形的边长为（ ）
A ．
112
l B ．
116
l C ．
516
l D ．
118
l 10．下列四组数值中，方程组02534a b c a b c a b c ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪--=-⎩的解是( )
A ．011a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
B ．121a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
C ．112a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
D ．123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
二、填空题
11．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x m
y m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
12．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____． 13．已知关于x 、y 的方程组135
x y a
x y a +=-⎧⎨
-=+⎩，给出下列结论：①当1a =时，方程组的解
也是方程3x y -=的解；②当x 与y 互为相反数时，1a =③不论a 取什么实数，2x y +的值始终不变；④若1
2
z xy =，则z 的最大值为1.正确的是________（把正确答案的序号全部都填上）
14．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.
15．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．
16．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未解出的普通题要扣去1分．某人解出了10道题，共得了14分，则该次数学竞赛中一共有____道普通题.
17．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 18．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后
面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的____倍．
19．若关于x 、y 的二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是7
3x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一
次方程组3()()16
2()()15x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩
的解是__．
20．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3
{ 1.2,
a b ==则方程组
的解
为________
三、解答题
21．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组253(1)
4115(2)x y x y +=⎧⎨
+=⎩
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程(2)变形：4105x y y ++=， 即()2255(3)x y y ++=，
把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=， 所以1y =-，
将1y =-代入(1)得4x =，
所以原方程组的解为4
1x y =⎧⎨=-⎩
．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组325
9419x y x y -=⎧⎨
-=⎩
，
（2）已知x ，y 满足方程组2222
321250425
x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求22
4x y +的值． 22．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A 和B 两种款式的瓷砖，且A 款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长相等, B 款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B 款瓷砖的价格和为140元; 3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等.请回答以下问题:
(1)分别求出每款瓷砖的单价.
(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块?
(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).
23．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于10人)和抽调的熟练工合作,刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
24．已知
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程2x y a
+=的一个解．
(1)a=__________；
(2)完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点(x，y)，如果过其中任意两点作直线，你有什么发现？
x013
y620
25．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组
4354
{
336
x y
x y
+=
+=
，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数
表
4354
()
1336
，求得的一次方程组的解{
x a
y b
=
=
，用数表可表示为
10
)
01
a
b
（．用数表可
以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组
236
{
2
x y
x y
+=
+=
的过程．
26．“一带一路”是对古丝绸之路的传承和提升，让中国和世界的联系更紧密，电气设备是“一带一路”沿线国家受青睐的商品。

某企业计划生产甲、乙两种电气设备出口，甲种设备售价50千元/件，乙种设备售价30千元/件，生产这两种设备需要A、B两种原料，生产甲设备需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙设备需要A种原料3吨/件，B 种原料1吨/件，已知A种原料有120吨，B种原料有50吨．
（1）如何安排生产，才能恰好使A、B两种原料全部用完？此时总产值是多少千元？（2）若使甲种设备售价上涨10%，而乙种设备售价下降10%，并且要求甲种设备比乙种设备多生产25件，问如何安排甲、乙两种设备的生产，使销售总产值能达到1375千元，此时A、B两种原料还剩下多少吨？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】
由题意得：新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元， ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元， ∴0.6x
y
，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元， ∴32 1.3x y +=， ∴可列方程组为：0.6
32 1.3
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.
2．A
解析：A 【分析】
方程组中两方程相减即可求出x+2y 的值． 【详解】
211x y x y +=⎧⎨
-=-⎩
①
② ①-②得：x+2y=2， 故选A ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．C
解析：C 【分析】
根据题中的等量关系即可列得方程组. 【详解】
设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，
∵用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺， ∴y=x+4.5，
∵将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， ∴0.5y=x+1， 故选：C .
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到题目中绳子和木头之间的等量关系是解题的关键.
4．B
解析：B 【分析】
类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】
解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
211
4327x y x y +=⎧⎨
+=⎩； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
5．A
解析：A 【分析】
用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】
依题意列出前面几个n A 的坐标如下表
对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标3
2
n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为
n
2
，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标3
2
n --； 当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为
2
n
，横坐标2． 运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为
20193
10082
--
=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ．
【点睛】
本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．
6．B
解析：B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，
依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第
8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到
(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．
202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
7．D
解析：D 【分析】 将方程组变形，设32,55
x y m n ==，结合题意得出m=3，n=4，即可求出x ，y 的值． 【详解】
解：方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可以变形为：方程组11122232··55
32··5
5x
y a b c x y a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
设
32,55
x y
m n ==， 则方程组可变为1112
22····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，
∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩的解是3
4
x y =⎧⎨=⎩，
∴方程组1112
22····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4m n =⎧⎨=⎩，
∴
323,455x y ==，解得：x=5，y=10， 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
8．C
解析：C 【解析】
分析：由原方程组的解及两方程组的特点知，x +y 、x ﹣y 分别相当于原方程组中的x 、y ，据此列出方程组，解之可得． 详解：由题意知：3{
4x y x y +=-=①②
，①+②，得：2x =7，x =3.5，①﹣②，得：2y =﹣1，y =
﹣0.5，所以方程组的解为 3.5
0.5x y =⎧⎨=-⎩
．
故选C ．
点睛：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x 、y 的方程组．
9．B
解析：B 【分析】
设两个大正方形边长为x ，小正方形的边长为y ，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可． 【详解】 解：
长方形ABCD 被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设小正方形边长为x ，大正方形的边长为y ，
∴小长方形的边长分别为()y x -、()x y +，大长方形边长为()2y z -、()2y x +．
长方形周长l =，即：()()222y x y x l -++⎤⎣⎦=⎡， 8y l ∴=，
1
8
y l ∴=．
3个正方形和2个长方形的周长和为
9
4
l ，
()()9
244224y x x y y x l ∴⨯++⨯⨯+⎤⎣⎦=⎡+-， 9
1644y x l ∴+=，
1
16
x l ∴=．
∴标号为①的正方形的边长
1
16
l ． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．
10．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用②－①和②+③得出关于a 和b 的二元一次方程组，从而求出a 和b 的值，然后将a 和b 代入任何一个式子得出c 的值，从而得出方程组的解．
详解：0?
25?
34? a b c a b c a b c ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪--=-⎩
①②③，②－①可得：a －2b=－5 ④， ②+③可得：5a －2b=－9 ⑤，
④－⑤可得：－4a=4，解得：a=－1， 将a=－1代入④可得：b=2，
将a=－1，b=2代入①可得：c=－1，∴方程组的解为：1
21a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，故选B ．
点睛：本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．
二、填空题
11．【分析】
将方程整理成关于m 的一元一次方程，若无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m 无关，从而令m 的系数为0，从而得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【详解】 将（m+1）
解析：1
1x y =-⎧⎨=⎩
【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以
210
20
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
故答案为：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
【点睛】
考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
12．536
【分析】
由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1
解析：536
【分析】
由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c ﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10，求出a、b、c的值，即可得出最大三位数.
【详解】
∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，
∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.
∵a、b、c是整数，(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，
∴有三种情况：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；
②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c﹣1|+|c﹣6|=5；
③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10.
∴要使三位数最大，首先要保证a尽可能大.
当|a﹣2|+|a﹣4|=4时，解得：a=1或a=5；
当|a﹣2|+|a﹣4|=2时，解得：2≤a≤4；
∴a=5.
当a=5时，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5.
解得：0≤b ≤3，1≤c ≤6，
∴由a 、b 、c 组成的最大三位数为536. 故答案为：536. 【点睛】
本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.
13．①③④ 【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】 解：当a=1时， ，解得： ， 则， ∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，，得， ∴②正确；
解析：①③④ 【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】 解：当a=1时，
08x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：4
4x y =⎧⎨
=-⎩
， 则()448x y -=--=， ∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，01a =-，得1a =， ∴②正确；
∵135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，解得：322x a
y a
=+⎧⎨
=--⎩ ， 则()()223224x y a a +=++--=， ∴③正确； ∴()()()2
1132221122
z xy a a a =
=+--=-++≤， 即若1
2
z xy =
则z 的最大值为1， ∴④正确，
综上说述，正确的有：①③④， 故答案为： ①③④. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．
14．【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档
解析：【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道． 【详解】
设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

10023180x y x x y z ++=⎧⎨
++=⎩
①
② ①×2−②，得x−z =20， ∴难题比容易题多20道. 故填20. 【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，本题中列方程组时有三个未知数，但只能列两个方程，所以不能把所有的未知数都解出来，只需要解出x-z 即可.
15．26、24或22 【解析】 【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答． 【详解】
解：假设购买小纪念册
解析：26、24或22 【解析】 【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答． 【详解】
解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，
解得：x，y有4组整数解即：
27
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
20
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
13
11
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
6
16
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．
故答案为28、26、24或22本．
【点睛】
本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．
16．16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：
3b+2a-(x-a)=1
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：
（2）×3-（1）得x=16,
∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 17．【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x
解析：32 15
【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放2个进口和3
个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：
82375%23275%x y a x y a （
）（）-=⎧⎨
-=⎩
解得：316
332x a y a ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（
316a ×2332-a ）＝32
15
（小时）． 故答案为
32
15
． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
18．5 【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ）， 解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的
解析：5 【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ）， 解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍， 故答案为：5.
【点睛】本题考查了一次方程组的应用，找准等量关系是做本题的关键，借助图例可以帮助我们理解题意．题中虽然有三个未知数，但在计算过程中可以抵消一个．
19．【解析】
分析：令x+y=a ，x-y=b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x+y=a ，x-y=b ，则关于x 、y 的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是，
解析：52x y =⎧⎨=⎩
【解析】
分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩（
）（）（）（）变为：
316215a mb a nb +=⎧⎨
+=⎩．∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩，∴7
3a b =⎧⎨=⎩，∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩
．
点睛：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．
20．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： . 三、解答题
21．（1）原方程组的解为32
x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y +=
【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】
解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩
①②
将方程②变形得:()332219x y y -+=③ 把方程①代入③得:35219y ⨯+=， 所以2,y =
将2y =代入①得3x =，
所以原方程组的解为3
2x y =⎧⎨=⎩
；
()22222
321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①
②
， 把方程①变形，得到2
2
3(4)550x xy y xy ++-=③， 然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，
∴5xy =，
∴2
2
425520x y +=-=； 【点睛】
本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
22．（1）A 款瓷砖单价为80元，B 款单价为60元.（2）买了11块A 款瓷砖，2块B 款;或8块A 款瓷砖，6块B 款.（3）B 款瓷砖的长和宽分别为1，34
或1，15.
【解析】 【分析】
（1）设A 款瓷砖单价x 元，B 款单价y 元，根据“一块A 款瓷砖和一块B 款瓷砖的价格和为140元；3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设A 款买了m 块，B 款买了n 块，且m>n ，根据共花1000 元列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可；
（3）设A 款正方形瓷砖边长为a 米，B 款长为a 米，宽b 米，根据图形以及“A 款瓷砖的用量比B 款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a 的值，然后由92b
b
-+是正整教分情况求出b 的值. 【详解】
解: (1)设A 款瓷砖单价x 元，B 款单价y 元， 则有140
34x y x y
+=⎧⎨
=⎩，
解得80
60
x y =⎧⎨
=⎩，
答: A 款瓷砖单价为80元，B 款单价为60元； (2)设A 款买了m 块，B 款买了n 块，且m>n ， 则80m+60n=1000，即4m+3n=50 ∵m ，n 为正整数，且m>n ∴m=11时n=2；m=8时，n=6，
答：买了11块A 款瓷砖，2块B 款瓷砖或8块A 款瓷砖，6块B 款瓷砖； (3)设A 款正方形瓷砖边长为a 米，B 款长为a 米，宽b 米.
由题意得：79972211422b b a a b a b a
--⎛⎫⨯⨯=+⨯- ⎪++⎝⎭， 解得a=1. 由题可知，
92b
b
-+是正整教.
设
92b
k b
-=+ (k 为正整数)， 变形得到921
k
b k -=
+， 当k=1时，77
(122
b =>,故合去)， 当k=2时，55
(133b =>， 故舍去)， 当k=3时，34b =， 当k=4时，15
b =
， 答: B 款瓷砖的长和宽分别为1，34
或1，15.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，（1）（2）较为简单，（3）中利用数形结合的思想，找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.
23．（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车. （2） ①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人． 【分析】
（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m 人，招聘新工人n 名,根据一年的安装任务列出方程整理用m 表示出n ，然后根据人数m 是整数讨论求解即可． 【详解】
（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车， 根据题意得:
28
2314
x y x y +=⎧⎨
+=⎩， 解之得4
2
x y =⎧⎨
=⎩． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车； （2）设抽调熟练工m 人，招聘新工人n 名，由题意得： 12（4m+2n ）=240， 整理得，n=10-2m ， ∵0＜n ＜10，
∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新
工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．
24．（1）4；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据代入法，把已知的二元一次方程的解代入方程即可求解a的值；
（2）利用（1）中的a值，得到二元一次方程组，代入求解完成表格，然后描点即可.【详解】
（1）将
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入2x+y=a，解得a=4.
（2）完成表格如下：
x-10123
y6420-2
由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．
【点睛】
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
25．(1)6，10；(2)
2 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩。

【解析】
【分析】
（1）下行-上行后将下行除以3将y的系数化为1即可得方程组的解；（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1可得.
【详解】
解：（1）下行﹣上行，，
故答案为：6，10；
（2）
所以方程组的解为
．
【点睛】
本题主要考查矩阵法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.
26．(1)生产甲种产品15件,生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完,此时总产值是135万元 (2)安排生产甲种产品25件,使总产值是1375千元,A 种原料还剩下20吨
【解析】
分析：（1）可设生产甲种产品x 件，生产乙种产品y 件，根据等量关系：①生产甲种产品需要的A 种原料的吨数+生产乙种产品需要的A 种原料的吨数=A 种原料120吨，②生产甲种产品需要的B 种原料的吨数+生产乙种产品需要的B 种原料的吨数=B 种原料50吨；依此列出方程求解即可；
（2）可设乙种产品生产z 件，则生产甲种产品（z +25）件，根据等量关系：甲种产品的产值+乙种产品的产值=总产值1375千元，列出方程求解即可．
详解：（1）设生产甲种产品x 件，生产乙种产品y 件，根据题意得： 43120250x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1520x y =⎧⎨=⎩
， 15×50+30×20 =750+600=1350（千元），1350千元=135万元．
答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；
（2）设乙种产品生产z 件，则生产甲种产品（z +25）件，根据题意得：
（1+10%）×50（z +25）+（1﹣10%）×30z =1375，解得：z =0
∴z +25=25，
A 原料剩余：120-25×4=120-100=20 （吨），
B 原料剩余：50-25×2=50-50=0（吨）．
答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A 种原料还剩下20吨，B 种原料正好用完，还剩下0吨．
点睛：考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．。