弹性力学_第四章 本构关系ppt课件

(3) 正交各向异性线弹性体 ：
9
11 c11 c12 c13 0 0 0 11
22
c22 c23 0
0
0
22
1323
对
c33 0 0 c44 0
0 0
1323
23
31
称
c55
0
23
c66 31
e3
e’1
c
例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、 木材等)
61 x
62 y
63 z 最新课6件4 xy
65 yzChapte6r65.1zx 27
§4-2 广义胡克定律
其中 c 1 1 C 1 1 ,c 1 2 C 1 1 2 2 ,c 1 4 C 1 1 1 2 ,c 5 6 C 2 3 3 1 …
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指 标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的 cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1 26
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
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35
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后
物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部
释放出来。
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Chapter 5.2 36
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
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Chapter 5.1 8
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy G
同理
yz
yz G
zx
zx G
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Chapter 5.1 9
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
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xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1 10
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
x xxx
其中 x 是由于x的作用所产生的相对伸长
x
x E
x 是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
x
ν
z
E
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Chapter 5.1 7
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
d A 1 0 1 1 1 1 d x 2 d x 3d1 1 d x 1 0 1 11 1 d1 1 d V
其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上
做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得
d A
dV
ij
ij
0
d ij
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Chapter 5.2 39
§4-3 应变能和应变余能
2
0
(c110000c12)113223213231
2
金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增
强复合材料
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Chapter 5.1 33
§4-2 广义胡克定律
小结
一般情况
独立的弹 性常数
c ij
21个
6×6对称
例 三斜晶体
有一个弹 性对称面
正交各向 异性
横观各向 同性
各向同性
13个 9个 5个 2个
e1
b
e2 a
互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹
性对称面
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Chapter 5.1 31
§4-2 广义胡克定律
(4) 横观各向同性线弹性体 ：
5
11 22 1323
c11 对
c12 c11
2331
c13
0
c13
0
c33
0
c44
(c11c12) 2
称
0 0 0 0 c55
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx
yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx
c c c c c c zx
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
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Chapter 5.1 5
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
由三部分组成，即
z
z x
o
y
y
xxxx x x z
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Chapter 5.1 6
§4-1 本构关系概念
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3
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x Ex
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
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Chapter 5.1 4
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
c22 c23 c24 0
0 11
0
22
1323
对
c33 c34 0 c44 0
0 0
1323
e3
23
称
c55
c56
23
31
c66 31
c
例：单斜晶体(正长石和云母等)
e1,e2平面为弹性对称面
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e1 b
e2 a
Cheap‘t3er 5.1 30
§4-2 广义胡克定律
对
c3 3
c3 4 c4 4
c3 5 c4 5
c3 c4
6613
3 2
2
3
31
称
c5 5
c5
6
2
3
c66 31
c
例： 三斜晶体
b
a
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29
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13
11 c11 c12 c13 c14 0
22
第一不变量 表示三个正应力之和，则
x y z1 E 2 x y z
12
E 3K
E
其中 K
称为体积模量。
3(1 2 )
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Chapter 5.1 13
§4-1 本构关系概念
∵
ij 1 Eij Ek kij;
1 2 E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2Gij
E
1 12
ij
令
E
112
则 ij 2Gijkkij
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Chapter 5.1 14
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
x 2Gx ; xy Gxy y 2Gy ; yz Gyz x 2Gz ; zx Gzx
其中 G 和 称为拉梅常数。
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Chapter 5.1 15
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
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Chapter 5.2 23
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
广义胡克定律的一般形式是：
C ij
§4-3 应变能和应变余能
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
y
x
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Chapter 5.2 37
§4-3 应变能和应变余能
11
y
o
x
z
非线性的应力应变关系
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11
Chapter 5.2 38
§4-3 应变能和应变余能
正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为：
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
的范围内。
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Chapter 5.1 21
第四章 §4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
最新课件
22
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性
材料，独立的弹性常数共有21个。
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Chapter 5.1 28
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
21
11 c11 c12 c13 c14 c15 c1611
2
2
c2 2
c2 3
c2 4
c2 5
c2
6
2
2
1323
E0 ; G 0 ; K 0
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Chapter 5.1 19
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 +
ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
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Chapter 5.1 20
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
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Chapter 5.1 17
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
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Chapter 5.1 18
§4-1 本构关系概念
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正 功），所以
ij 1Eij Ekkij
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Chapter 5.1 11
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν
x
z
z
1 E
z ν
x y
xyz E 1xyz2xyz
12 E
xyz
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Chapter 5.1 12
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力
C ijkl C jikl C ijlkC klij
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Chapter 5.1 25
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明
Cijkl Cklij 最新课件
ijkl kl C 是四阶刚度（弹性）张量。
ij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
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Chapter 5.2 24
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
ij0ij 2G ij2 3Gij
K23G31E2
由于偏量和球量相互独立 ，所以有
0K ; ij 2G ij
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Chapter 5.1 16
§4-1 本构关系概念 0K ; ij 2G ij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
弹性力学
最新课件
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
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2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，
得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
单斜晶体
拉压与剪切不耦合 剪切为对角阵
正交晶体
拉压：4个 剪切：2个
地壳、
c4 4c 1 1c22 /2 六方晶体
拉压：2个 剪切：1个
c4 4最c 1 新课 1件c22 /2
金属
Chapter 5.1
34
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
引进应变能密度函数W(ij)，使
W ij
ij
格林(Green,G.)公式
i j
即
W(ij) ij(ij)dij
0
则
dA ij dV 0
ij
dij
ij
0
W ij dij
ij
0
dW
W(ij )W(0)
其中，W(0)和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。
0 0
1212
0 0
1323
c0552331
例：六方晶体
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c Chaaptera5.1 a 32
§4-2 广义胡克定律
(5) 各向同性线弹性体 ：
2
c11 c12 c12
0
11
2
2
1323
2
3
31
对
c11
c12 c11
称
0
0 (c11c12)
2
0 0 0
0 (c11c12)