2025届福建省莆田市仙游县第三片区九上数学期末检测模拟试题含解析

2025届福建省莆田市仙游县第三片区九上数学期末检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
2．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)．以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小后得到线段CD ，且D (4，1)，则端点C 的坐标为（ ）
A ．(3，1)
B ．(4，1)
C ．(3，3)
D ．(3，4)
3．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为9m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A ．3
B ．3
C ．3332⎛
⎫ ⎪⎝⎭
m D ．332⎛⎫ ⎪⎝⎭
m 4．抛物线2
12
y x =
向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ） A ．2
1(1)12y x =++ B ．21(1)12y x =+-
C ．21(1)12
y x =-+ D ．2
1(1)12y x =--
5．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A ．210x +=
B ．21y x +=
C ．210x +=
D ．
21
1x x
+= 6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）
A ．3cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm
7．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ） A ．2.8×103
B ．28×103
C ．2.8×104
D ．0.28×105
8．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角为（ ） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
9．如图所示，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论:
①0abc <； ②40a c +>；
③方程23ax bx c ++=的两个根是120,2x x ==； ④方程20ax bx c ++=有一个实根大于2； ⑤当0x <时，y 随x 增大而增大. 其中结论正确的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）
A ．
AD BC
DF CE
= B ．
BC DF
CE AD
= C ．
CD BC
EF BE
= D ．
CD AD
EF AF
= 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知△ABC ∽△A'B'C'，S △ABC ：S △A'B'C '＝1：4，若AB ＝2，则A'B'的长为_____． 12．若2是一元二次方程x 2+mx ﹣4m ＝0的一个根，则另一个根是_________．
13．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是
1
3
，则黄球个数为__________． 14．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．
15．已知△ABC ∽△DEF ，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果∠A =40°，∠E =60°，那么∠C =_______度.
16．如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C 1 ,它与x 轴交于两点O ，A ；将C 1绕点A 旋转180°得到C 2 ， 交x 轴于A 1；将C 2绕点A 1旋转180°得到C 3 ， 交x 轴于点A 2 ． ．．．．．如此进行下去，直至得到C 2018 ， 若点P （4035，m ）在第2018段抛物线上，则m 的值为________．
17．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，点D 在边BC 上，6CD =，10BD =．点P 是线段AD 上一动点，当半径为4的
P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为____________．
18．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于 海里.
三、解答题(共66分)
19．（10分）甲、乙两人都握有分别标记为A 、B 、C 的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果； （2）求出现平局的概率． 20．（6分）如图，
O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD = ，连接AD BC 、．求证: AE CE =．
21．（6分）赵化鑫城某超市购进了一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更多的利润，商场决定提高销售的价格，经试验发现，若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件；若每月的销售件数y （件）与价格x （元/件）满足y ＝kx+b ． （1）求出k 与b 的值，并指出x 的取值范围？
（2）为了使每月获得价格利润1920元，商品价格应定为多少元？ （3）要使每月利润最大，商品价格又应定为多少？最大利润是多少？ 22．（8分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔
斜靠在垂直于水平桌面
的
直尺
的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．
活动一 如图3，将铅笔
绕端点顺时针旋转，
与
交于点，当旋转至水平位置时，铅笔
的中点与点重合．
数学思考 （1）设
，点到
的距离． ①用含的代数式表示：
的长是_________
，
的长是________
；
②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全
．．表格．
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
0 0.55 1.2 1.58 1.0 2.47 3 4.29 5.08
②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
23．（8分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－1
2
＝
1
2
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－1
2
－(
1
2
)2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－1
2
－(
1
2
)2－(
1
2
)3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－1
2
－(
1
2
)2－(
1
2
)3－(
1
2
)4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－1
2
－(
1
2
)2－(
1
2
)3－…－(
1
2
)n ＝_________．
于是归纳得到：1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n =_________．
（理论推导）
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，① 将①×
2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，② 由②-①得：2S —S=22017—1，即=22017-1． 即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1 根据上述材料，试求出12+(12)2+(12)3+…+(1
2
)n 的表达式，写出推导过程． （规律应用） （3）比较
1
2＋212
＋312＋…… __________1（填“>”、“<”或“=”） 24．（8分）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，
求此时m 的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经过点()5,9B -与y 轴
交于点C ，连接AB ，AC ，BC .
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.
①若1
5
PAB ABC S S ∆∆=
，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP 延长交AD 于点N .试说明
()DN DM DB +为定值.
26．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP,求ABP ∆的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点
Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、B
【解析】∵△ADE 是由△ABC 绕点A 旋转100°得到的， ∴∠BAD=100°，AD=AB ， ∵点D 在BC 的延长线上， ∴∠B=∠ADB=180
100
402
.
故选B.
点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD 及点D 在BC 的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B 的度数了. 2、C
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，即可得出C 点坐标．
【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小后得到线段CD ，且D （4，1）， ∴在第一象限内将线段AB 缩小为原来的
1
2
后得到线段CD ， ∴点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴点C 的坐标为：（3，3）． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ． 3、C
【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE =CD +DE 即可得出结论．
【详解】∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，AD ∥BE ， ∴四边形ABED 是矩形， ∵BE =9m ，AB =1.5m ， ∴AD =BE =9m ，DE =AB =1.5m ， 在Rt ACD 中，
∵∠CAD =30°，AD =9m ，
∴309CD AD tan =︒==
∴ 1.5CE CD DE =+=(m ) ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 4、B
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.
【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知， 把抛物线2
1y=
x 2
向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
则平移后的抛物线的表达式为y ＝()2
1-x+1-12
. 故选B . 【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 5、C
【分析】根据一元二次方程的定义依次判断后即可解答.
【详解】选项A ，210x +=是一元一次方程，不是一元二次方程； 选项B ，2
1y x +=是二元二次方程，不是一元二次方程； 选项C ，210x +=是一元二次方程； 选项D ， 21
1x x
+=是分式方程，不是一元二次方程. 故选C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程是解决问题的关键. 6、B
【分析】先过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，由垂径定理可知AD ＝1
2
AB ，设OA ＝r ，则OD ＝r ﹣2，在Rt △AOD 中，利用勾股定理即可求出r 的值．
【详解】解：如图所示：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ， ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝
1
2
AB ＝4cm ， 设OA ＝r ，则OD ＝r ﹣2，
在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，即r 2＝（r ﹣2）2+42， 解得r ＝5cm ．
∴该输水管的半径为5cm ； 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用. 7、C
【解析】试题分析：28000=1.1×1．故选C ． 考点：科学记数法—表示较大的数． 8、A
【分析】将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的长度与矩形相等的一条边上的高为矩形的一半，即AB ＝2AE ．
【详解】解：将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半， 平行四边形ABCD 是原矩形变化而成， ∴FG ＝BC ，FH ＝2AE ． 又∵HF ＝AB ， ∴AB ＝2AE ，
在Rt △ABE 中，AB ＝2AE ， ∠B ＝30°． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形各内角为90︒的性质，平行四边形面积的计算方法，特殊角的三角函数，本题中利用特殊角的正弦函数是解题的关键． 9、A
【解析】根据二次函数的图象与性质进行解答即可. 【详解】解：∵抛物线开口方向向下 ∴a ＜0 又∵对称轴x=1 ∴12b
a
-
= ∴b=-2a ＞0
又∵当x=0时，可得c=3
∴abc ＜0，故①正确；
∵b=-2a ＞0，
∴y=ax 2-2ax+c
当x=-1，y ＜0
∴a+2a+c ＜0，即3a+c ＜0
又∵a ＜0
∴4a+c ＜0，故②错误；
∵23ax bx c ++=，c=3
∴20ax bx +=
∴x （ax-b ）=0
又∵b=-2a
∴120,2x x ==，即③正确；
∵对称轴x=1，与x 轴的左交点的横坐标小于0
∴函数图像与x 轴的右交点的横坐标大于2
∴20ax bx c ++=的另一解大于2，故④正确；
由函数图像可得，当0x <时，y 随x 增大而增大，故⑤正确；
故答案为A.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识和正确运用数形结合思想是解答本题的关键. 10、A
【分析】已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BC DF CE
=． 故选A ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB 即可求得A'B'的长.
【详解】解：∵△ABC ∽△A'B'C'，且S △ABC ：S △A'B''C '＝1：1，
∴AB ：A′B′＝1：2，
∵AB ＝2，
∴A′B′＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
12、-4
【分析】将x=2代入方程求出m 的值，再解一元二次方程求出方程的另一个根．
【详解】解：将x=2代入方程得，4240m m +-=，解得，2m =
∴一元二次方程为2280x x +-=
解方程得：122,4x x ==-
∴方程得另一个根为-4
故答案为：-4 ．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，属于基础题目，比较容易掌握．
13、24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷13
=36（个）， 36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
【点睛】
本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
14、1；
【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：
150180
x π =5π，解得：x =1，故答案为1． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180
n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．
15、80
【解析】因为△ABC ∽△DEF ,所以∠A =∠D , ∠B =∠E , ∠C =∠F ,因为∠A =40°
,∠E =60°, 所以∠B =60°
,所以∠C =180°―40°―60°=80°,故答案为: 80. 16、-1
【解析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则 ，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x 轴的交点在
变化，可发现规律抛物线C n 与x 轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n ，0），由两点式
求得解析式，把x=4035代入解析式，即可求得m 的值.
【详解】由抛物线C 1：y=-x(x-2)，
令y=0，∴-x(x-2)=0，解得
∴与x 轴的交点为O （0,0），A （2,0）.
抛物线C 2的开口向上，且与x 轴的交点为∴A （2,0）和A 1（4，0），
则抛物线C 2：y= （x-2）（x-4）；
抛物线C 3的开口向下，且与x 轴的交点为∴A 1（4，0）和A 2（6，0），
则抛物线C 3：y= -（x-4）（x-6）；
抛物线C 4的开口向上，且与x 轴的交点为∴A 2（6，0）和A 3（8，0），
则抛物线C 4：y=（x-6）（x-8）；
同理：
抛物线C 2018的开口向上，且与x 轴的交点为∴A 2016（4034，0）和A 2017（4036，0），
则抛物线C 2018：y=（x-4034）（x-4036）；
当x=4035时，y= 1×
（-1）-1. 故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出第2018段抛物线的解析式．
17、5或203或5【分析】根据勾股定理得到AB 、AD 的值，再分3种情况根据相似三角形性质来求AP 的值．
【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6CD =，
∴226810+=
在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，8AC =，6CD =，10BD =
∴CB=6+10=16
∵AB ²
=AC ²+BC ²
AB=2281685+= ①当⊙P 与BC 相切时,设切点为E,连结PE, 则PE=4，∠AEP=90°
∵AD=BD=10
∴∠EAP=∠CBA, ∠C=∠AEP=90°
∴△APE ∽△ACB
485458AP PE AB AC PE AP AB AC ∴
=∴=⋅=⨯= ②当⊙P 与AC 相切时，设切点为F ，连结PF,则PF=4，∠AFP=90°
∵∠C=∠AFP=90°
∠CAD=∠FAP
∴△CAD ∽△FAP
61044102063DC AD FP AP
AP
AP ∴
=∴=⨯∴== ③当⊙P 与BC 相切时，设切点为G ，连结PG ,则PG=4，∠AGP=90°
∵∠C=∠PGD=90°
∠ADC=∠PDG
∴△CAD ∽△GPD
81045AC AD PG PD
PD
PD ∴
=∴=∴= 故答案为：45或
203
或5 【点睛】
本题考查了利用相似三角形的性质对应边成比例来证明三角形边的长.注意分清对应边，不要错位．
18、 【详解】试题分析：BD 设为x ，因为C 位于北偏东30°，所以∠BCD ＝30°
在RT△BCD中，BD＝x，CD＝，
又∵∠CAD＝30°，在RT△ADC中，AB＝20，AD＝20＋x，又∵△ADC∽△CDB，所以，
即：，求出x＝10，故CD＝.
考点：1、等腰三角形；2、三角函数
三、解答题(共66分)
19、(1) 共有9种等可能的结果；(2) 1 3 .
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：31 93 =．
考点：列表法与树状图法．
20、见解析
【分析】由AB=CD知AB CD
=，得到AD AC BC AC
+=+，再由AD BC
=知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】解：AB CD
=，
∴AB CD
=，即AD AC BC AC
+=+，
∴AD BC
=；
AD BC
∴=，
在△ADE和△CBE中，
===DAE BCE AD BC
ADE CBE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
， ∴△ADE ≌△CBE （ASA ），
AE CE ∴=.
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
21、（1）k ＝﹣30，b ＝960，x 取值范围为16≤x≤32；（2）商品的定价为24元；（3）商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；根据单价不低于进价（16元）和销售件数y ≥0可得关于x 的不等式组，解不等式组即得x 的取值范围；
（2）根据每件的利润×销售量=1，可得关于x 的方程，解方程即可求出结果；
（3）设每月利润为W 元，根据W =每件的利润×销售量可得W 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）由题意，得：3602021025k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：30960k b =-⎧⎨=⎩
，∴y ＝﹣30x +960， ∵y ≥0，∴﹣30x +960≥0，解得：x ≤32，
又∵x ≥16，∴x 的取值范围是：16≤x ≤32；
答：k ＝﹣30，b ＝960，x 取值范围为：16≤x ≤32；
（2）由题意，得：（﹣30x +960）（x ﹣16）＝1，解得：x 1=x 2=24，
答：商品的定价为24元；
（3）设每月利润为W 元，由题意，得：W ＝（﹣30x +960）（x ﹣16）＝﹣30（x ﹣24）2+1．
∵﹣30＜0，∴当x ＝24时，W 最大＝1．
答：商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【点睛】
本题是方程和函数的应用题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的解法和二次函数的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键.
22、 (1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是． 【解析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点，即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【详解】解：（1）①如图3中，由题意，
，
，，
故答案为：，．
②作于．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①当时，，当时，，
故答案为2，1．
②点，点如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值的取值范围为．
性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23、（1）14；18；116
；(12)n ；1 - (12)n ；（2）12+(12)2+(12)3+…+(12)n = 1-(12)n ，推导过程见解析；（3）= 【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解
（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】解：（1）S 阴影2＝1－12－(12)2=1-34=14=21()2
， S 阴影3＝1－
12－(12)2－(12)3=1-78=18=31()2
， S 阴影4＝1－12－(12)2－(12)3－(12)4=116=41()2， ⋯
S 阴影n ＝1－
12－(12)2－(12)3－…－(12)n =(12
)n ， 于是归纳得到：12+(12)2+(12)3+…+(12)n =1 - (12
)n 故答案为：21()2；31()2；41()2
；(12)n ；1 - (12)n （2）解：设S = 12+(12)2+(12)3+…+(12
)n ， ① 将①×12得：12S = (12)2+(12)3 +12)4 …+(12)n + (12
)n+1 ，② ①－②得：12S = 12- (12
)n+1 ，③ 将③×2得：S = 1-(12)n
即得12+(12)2+(12)3+…+(12)n = 1-(12
)n （3）=，理由如下： ∵
12＋212＋312＋……=1-(12)n ，当n 越来越大时，(12)n 越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n 趋于无穷时，(12)n 就等于0，故1-(12)n 就等于1， 故答案为：=
【点睛】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
24、（1）94k ≤；（2）m 的值为32
． 【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2
130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠． 【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94
k ≤； （2）k 的最大整数为2，
方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，
∵一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32
m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，
而10m -≠，
∴m 的值为
32
． 【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．
25、（1）244y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值.
【分析】（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解；
（2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解；
②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t --，故2PE t =，根据//PE BD ，得APE AMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23
t DM t =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t
=+，可得()DN DM DB +的值即为定值. 【详解】（1）解：设()
()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入，
得()2952a =-+，解得1a =， ∴该抛物线对应的函数表达式为()2
2244y x x x =+=++. （2）①设直线AB 的函数表达式为y kx b =+， 把()2,0A -，()5,9B -代入，得0295k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得36k b =-⎧⎨=-⎩
. ∴直线AB 的函数表达式为36AB y x =--.
设直线AB 与y 轴交于点'C ，则点()'0,6C -，∴'10CC =.
()15210152ABC S ∆=⨯-⨯=，1115355
PAB ABC S S ∆∆==⨯=. 设点()
2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，则()',36P x x --， ∴()()213644332
x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦， 13x =-，24x =-，
所以点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -.
②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，则()22,P t t --，2PE t =， 由//PE BD ，得APE AMD ∆∆，PE DM AE DA =，即23t DM t =，故3DM t =. 过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，
由//PF ND ，得BPF BND ∆∆，BF DB PF DN =，即2993t t DN -=-，故93DN t =+.
所以()()939273DN DM DB t t +=+=+，是定值.
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质.
26、（1）21233y x x =-
++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析
【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛
⎫
-++ ⎪⎝⎭
求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
,过D 做DG 垂直于AC 于G ,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.
【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6
∴可设抛物线解析式为()2
36y a x =-+
将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+
13
a ∴=-
∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，
PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+- 设P 点坐标为21,233n n n ⎛
⎫
-++ ⎪⎝⎭
1133222BPO x S BO P n n ∆=
== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭
11933222
ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 2
223199191981322
2222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818
()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,
则21
3,6233DG t CG t t ⎛⎫
=-=--++ ⎪⎝⎭
30ACD ∠=
2DG DC ∴=
在Rt CGD ∆中有
222243CG CD DG DG DG DG =+=-=
()21336233t t t ⎛⎫∴-=--++ ⎪⎝⎭
化简得()
1
133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+
∴点D(333+,-3)
3,33AG GD ∴==
连接AD ，在Rt ADG ∆中
229276AD AG GD =+=+=
6,120AD AC CAD ∴==∠=
Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上
此时1602
CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径
则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²
即2936m +=
∴1233,33m m ==-
综上所述，Q 点坐标为()()
0,330,33-或
故存在点Q ，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；
(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.。