不动点定理及其应用(高考)

摘要
本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.
关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.
Abstract
This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.
Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.
目录
第1章绪论 (3)
1.1导论 (3)
1.1.1 选题背景 (3)
1.1.2 选题意义 (2)
1.1.3 课题研究内容 (4)
1.2 研究现状 (2)
1.3本章小结 (3)
第2章不动点定理 (4)
2.1 有关概念 (4)
2.2 不动点定理和几种推广形式 (4)
2.3 本章小结 (7)
第3章不动点定理在数列中的应用 (8)
3.1 求数列的通项公式 (8)
3.2 数列的有界性 (9)
3.3 数列的单调性及收敛性 (11)
3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)
3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)
3.4 本章小结 (17)
第6章结束语 (18)
参考文献 (19)
第1章绪论
1.1导论
不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．
不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．
1.1.1 选题背景
不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.
1.1.2 选题意义
利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.
1.1.3 课题研究内容
本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：
①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.
②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.
③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
1.2研究现状
不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.
不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach ）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.
许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()f x ()f x 把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x ∈，使
00()f x x =.波利亚曾经说过：
“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.
近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.
1.3 本章小结
本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.
第2章 不动点定理
2.1 有关概念
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ,使0()f x x =.就称0x 为()f x 的一个不动点．
对此定义，有两方面的理解：
⑴代数意义：若方程00()f x x =有实数根0x ，则00)(x x f =有不动点0x ．
⑵几何意义：若函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ，则0x 为()y f x =的不动点． 为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.
定义1[7] 度量空间: 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ.如果对于任何X z y x ∈,,，有
⑴（正定性）(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当y x =；
⑵（对称性）(,)(,)x y y x ρρ=；
⑶（三角不等式）(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+，
则称ρ是集合X 的一个度量,偶对()ρ,X 是一个度量空间.
定义2[7] 压缩映射：给定()ρ,X 如果对于映射T :X X →存在常数K ,10<<K 使得(,)(,)Tx Ty K x y ρρ≤，(,)x y X ∀∈则称T 是一个压缩映射.
定义3[7] Cauchy 列 ：给定(,)X ρ,{}n x X ⊂,若对任取的0>ε,有自然数N 使对εN n m >∀,,都成立(,)m n x x ρε<则称序列{}n x 是Cauchy 列.
定义4[7] 完备度量空间：给定(,)X ρ，若X 中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.
定义5[8] 不动点：给定度量空间(,)T ρ及X X → 的映射T 如果存在X x ∈*使**x Tx = 则称
*x 为映射T 的不动点.
定义6[9] 凸集：设X 是维欧式空间的一点集，若任意的两点X x X x ∈∈21,的连线上的所有的点)10(,)1(21≤∂≤∈∂-+∂X x x ;则称X 为凸集.
2.2 不动点定理和几种推广形式
不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函
数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成()f x x =的形状这里的x 是某个适当的空间X 中的点，f 是X 到X 的一个映射，把每个x 移到()f x .方程()f x x =的解恰好就是在f 这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.
首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明
定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设(,)X ρ是一个完备的度量空间T 是(,)X ρ到其自身的一个压缩映射,则T 在X 中存在惟一的不动点.
证明 首先,证明T 存在不动点
取定X x ∈0以递推形式n n Tx x =+1 确定一序列{}n x 是Cauchy 列.事实上，由
1111221210(,)(,)(,)(,)
(,)(,)m m m m m m m m m m m x x Tx Tx K x x K Tx Tx K x x K x x ρρρρρρ+------=≤=≤≤≤
任取自然数n m ,,不妨设n m <那么 1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11m m n m n m m n n n m m
m x x x x x x K K K x x K K K x x x x K K
ρρρρρρ-----≤+
+≤+++-=≤-- 从而知{}n x 是一Canchy 列,故存在X x ∈*使*x x n →且*x 是T 的不动点,因为
******1(,)(,)(,)(,)(,)()n n n n x Tx x x x Tx x x K x x n ρρρρρ-≤+=+→→∞
故**(,)0x Tx ρ=,即**x Tx =,所以*x 是T 的不动点.
其次,下证不动点的惟一性
设T 有两个不动点*1*,x x ,那么由**x Tx =及*1*1x Tx =有
******111(,)(,)(,)x x Tx Tx K x x ρρρ=≤
设*1*x x ≠,则**1(,)0x x ρ>,得到矛盾，从而*
1*x x =，唯一性证毕. 作为Brouwer 不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder 不动点定理I ：
定理2 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空紧凸集，X X f →:是连续
自映射，则f 在X 中必有不动点.
Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意X x ∈，()x f 是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder 不动点定理II ：
定理3 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空凸集，X X f →:是紧的连续自映射，则f 在X 中必有不动点.
定义6 设E 是线性拓扑空间，如果E 中存在由凸集组成的零邻域基，则称E 是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.
1935年，Tyehonoff 进一步将Sehauder 不动点定理I 推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff 不动点定理：
定理4 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.
1950年，Hukuhara 将Schauder 不动点定理II 与Tyehonoff 不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff 不动点定理：
定理5 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空凸集，X X f →:是紧连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.
从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，
定义如下：
定义7 设X 是拓扑空间，X
X T 2:→是集值映射，其中X 2表示X 的所有非空子集的集合.若存在X x ∈0，使00()x T x ∈，则称0x 是T 的不动点.
1941年，kllcIltani 把Bmuwer 不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani 不动点定理：
定理6 设m R X →是凸紧集，且X X T 2:→是具闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.
1950年，Botmenblust ，Karlin 把Sehauder 不动点定理I 推广到集值映射的情形：
定理7 设E 是Banach 空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.
1952年，Fan ，Glicksberg 分别把Tyehonoff 不动点定理推广到集值映射的情形，成为
Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理或K-F —G 不动点定理.即：
定理8 设E 是局部凸的Hausdorff 线性拓扑空间，X 是E 中的非空紧凸集，X
X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.
1968年，Browder 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder 不动点定理：
定理9 设X 是Hausdorff 线性拓扑空间E 中的非空凸紧子集，集值映射X X S 2:→满足：
(1)对任意X x ∈，()S x 是X 中的非空凸集
(2)对任意{}1,():()y X S y x X y S x -∈=∈∈是Z 中的开集
则存在X x ∈0，使00()x S x ∈.
本章小结
本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式. 第3章 不动点定理在数列中的应用
在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I 为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．
用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.
3.1求数列的通项公式
定理10 已知数列{}n x 满足()()d
cx b ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列.
证明 因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d
cx b ax x ++=，亦即p 是一元二次方程
()02=--+b x a d cx 的唯一解.得 ap cp pd b c
d a p -=--=
2,2 所以 ()()()()d cx p x pc a d
cx ap cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111
()()()()p x cp a cp d pc a c p
x cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++-=-++--=--+=------11111111
把 c
d a p 2-=代入上式，得: p
x d a c p x n n -++=--1121 令 d a c k +=2，可得数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.
例1 若1
121,1--=-=n n a a a （*N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式. 解 根据迭代数列121--=
n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点1=p ， 根据定理 可知2,1,1,0=-===d c b a ，
则
1
11111-+-=--n n a a 即数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项21-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为 ()()n n a n -=--+-=-2
1112111 解得n
n a n 2123--= 又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为n
n a n 2123--=. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()d cx b ax x f x f x n n ++=
=-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项1a ，公差为d
a c +2的等差数列. 推论 已知数列{}n x 满足()()
b ax x f x f x n n +==-,1 ,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列
例2 若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.
解 根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，
根据推论 可知3,2==b a ，
则
()()()3231--=---n n a a
所以()3231+=+-n n a a
所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列， 则当2≥n 时，有n
n a 23=+，
故32-=n n a 又11-=a 也满足上式.
所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .
在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列
()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.
3.2 数列的有界性
在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.
例3(2008年全国II )函数()x x x x f ln -=.数列{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证明:11<<+n n a a ．
分析 函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛
证明 当()1,0∈x 时，()0ln '
>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又101<<a ，
所以
()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ；
假设k n =时有11<<+k k a a ，因为()x f 是增函数()1,0∈x ，所以()()()111=<<+f a f a f k k ，即121<<++k k a a ，当1+=k n 时结论也成立．故原不等式成立
这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.
例4（2010年全国I )已知数列{}n a 中，n
n a c a a 1
,111-==+，求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围.
解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为0x ，则有310≤<x ，即方程()x x f =在(]3,1有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.
因为31<<+n n a a 对任意自然数都成立，所以首先应有321<<a a ，可得42<<c ．
设()x
c x f 1
-
=，则()x f 是增函数，()+∞∈,0x . 令()x x f =，即01,1
2=+-=-
cx x x x
c .当2>c 时，该方程有2个不等的实数根．设为2121,,x x x x <，由韦达定理121=x x ，可知211x x <<只要让32≤x 即可.
令()()3
1003,12
≤
⇒≥+-=c g cx x x g . 即当310≤
c 时，()x f 在(]3,1上存在不动点0x (0x 就是2x )所以c 的取取范围是⎥⎦
⎤
⎝⎛310,2.再用数学归纳法证明结论的正确性：
因为310≤<x 且()x
c x f 1
-
=在()+∞,0是增函数，所以当3102≤<c 时，
有()()002111x f x f a a =<=<=.
假设k n =时，有301≤<<+x a a k k ．因为()x f 是增函数，故()()()01x f a f a f k k <<+，即
021x a a k k <<++，当1+=k n 时结论也成立，所以当c 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎝⎛310,2时，
()x
c x f 1
-
=有在区间(]3,1内的不动点0x ，数列{}n a 单调递增向该不动点收敛. 3.3 数列的单调性及收敛性
近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论
定义8 设R I f →:，其中I 是R 的一个区间，数列{}n x 由a a =1和递推关系()n n x f x =+1来定义.则数列{}n x 称为递推数列.()x f 称为数列{}n x 的特征函数，()x f x =称为数列{}n x 的特征方程，a x =1称为初始值.
若设f 是连续的，若{}n x 收敛而且有极限0x ，()()010lim lim x f x f x x n n ===+.因此问题就变为寻找方程 ()x f x =解(即f 的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 0x ．
定理 11设f 是定义在I 上的一个压缩映射，则由任何初始值[]b a x ,1∈和递推数列
()n n x f x =+1，*N n ∈生成的数列{}n x 收敛．
证明：由于f 是[]b a ,上的一个压缩映射，故[]()[]b a b a f ,,⊂，则[]b a x n ,∈，且()1,0∈∃k ，使得*
,N p n ∈∀，有
()().
1112221
111b a k x x k x x k x x k x f x f x x n p n p n n p n n p n n p n n -≤-≤≤-≤-≤-=-+--+--+--+-+ 于是，0>∀ε（不妨设 a b -<ε)，只要取*,,ln /ln N p n k a
b N ∈∀⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=ε
，都有
ε<-+p n n x x 根据Cauchy 收敛准则，{}n x 收敛．[证毕]
定义9 在不动点0x 处，若()10'<x f ，则称0x 为()x f y =的吸引不动点；若()10'>x f ，则称0x 为()x f y =的排斥不动点．
定理12 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，0x 是吸引不动点，则存在0x 的邻域区间
U ，对一切 U x ∈，都有()1'<x f 且0lim ()n n f x x →∞
=．这里的记号1`()(())n n f x f f x -=.
证明：因为()x f 连续可导，又()10'<x f ，则这样的区间 显然存在． 对任意一点U x ∈，在0,x x 为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得
()()()()00'00x x x x f x f x f x x f -<-=-=-ξ
所以，()U x f ∈ 由定理1可得数列(){}x f
n
收敛，且0lim ()n
n f
x x →∞
=．[证毕]
定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列{}n x 将以何种方式收敛于0x .
定理13 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，只有一个不动点 0x ，且为吸引不动点，
初始值01x x ≠,递推数列()*
1,N n x f x n n ∈=+，则(1)当f 在I 上递增时，则数列{}n x 单调且收敛
于0x ；(2)当f 在I 上递减时，则{}n x 的两个子列的{}12-k x 和{}k x 2一递增一递减，且收敛于0x ．
证明：(1)当f 在I 上递增时，若()121x x x f >=，则由数学归纳法可证明
()()n n n n x x f x f x =>=-+11，{}n x 递增；若()121x x x f <=，则由数学归纳法可证明
()()n n n n x x f x f x =<=-+11，{}n x 递减．
(2)当f 在I 上递减时，此时复合函数()[]x f f 递增，而子数列{}12-k x 和{}k x 2中有一个递增，另一个递减．若13x x >，用数学归纳法可证明{}12-k x 单调递增．事实上，若 1212+-<k k x x ，则
()()2212122++-=>=k k k k x x f x f x ，()()3222212+++=<=k k k k x x f x f x ，由此可得{}k x 2单调递减；
若13x x <，证明类似．[证毕]
定理14 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，有且只有两个不动点()βαβα<,且()()1,1''≠≠βαf f ，异于βα,的初始值1x ，递推数列()*1,N n x f x n n ∈=+．则两个不动点βα,至多只有一个吸引不动点．
证明：设函数()()x x f x g -=，则()()1'
'
-=x f x g .假设两个不动点βα,同为吸引不动点，则
()()1,1''<<βαf f 从而()()0,0''<<βαg g .又()()0==βαg g ，
可得()εαε,,00
+∃>∀U ,使得()0'<x g ，则()()()0,,0
=<∈∃+αεαg a g U a ，同理 ()βεβ,-∈∃b ，使得()0>b g ．由()x g 连
续及零点存在定理，得()x g 在区间()b a ,上必有一个零点．这与()x g 仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点βα, ，至多一个为吸引不动点．[证毕]
定理15 若()x f y =是定义在I 上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点()βαβα<,，且βα,，中有一个吸引不动点，()()1,1''
≠≠βαf f
．异于β
α,的初始值1x ，递推数列
()*1,N n x f x n n ∈=+，则α为吸引不动点，β为排斥不动点，且当α<1x <O 时，{}n x 单调递增且
收敛于α；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当 β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；
证明：由()x f y =为凸函数，可得()x f '
为增函数．由βα<且中有一个吸引不动点及定理4
得()()βα''
1f f
<<，即α为吸引不动点，β为排斥不动点．构造函数()()x x f x g -=，则()()1''-=x f x g 为增函数且()()0,0''><βαg g ．于是()βα,∈∃x ，使得()0'=x g ，于是()x g 在()x ,∞-上递减，在()β,x 上递增．下面分四种情况进行说明：
(1)当α<1x 时，()()01=>αg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且收敛于α；
(2)当x x <<1α时，()()01=≤αg x g 即()11x x f <，所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；
(3)当β<<1x x 时，()()01=<βg x g 即()11x x f <所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；
(4)当β>1x 时，()()01=>βg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且不收敛．
综上，当β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当α<1x 时，{}n x 单调递增且收敛于α [证毕]
定理表明初始值也将影响数列{}n x 收敛与否、以何种方式收敛于α. 3.3.2 数列的单调性、收敛性的证明
当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决．
例 5 (2007广东理)已知函数()12
-+=x x x f ,βα,是方程()0=x f 的两个根
(βα>) ,()x f '
是()x f 的导数．设()()
),2,1(,1'
11 =-
==+n a f a f a a a n n n n .(1)求βα,的值；(2)证明：对任意的正整数n ,都有α>n a ；(3)略．
解：(1)易得.2
5
1,251--=
+-=
βα (2)()12'
+=x x f ，则1
21
1212
21++=
+-+-=+n n n n n n n a a a a a a a ，特征函数()1212++=x x x g ，特征方程 1212++=x x x ， 即012
=-+x x ，于是不动点2
51,251--=
+-=βα，
()()
()()()
2
22'
1221222+=+-+=x x f x x x x g ，()()()()()()0122,01222'2'
=+==+=βββαααf g f g ,可得βα, 均为吸引不动点．
又()13
2
,1121<==>=a g a a α,当 ()()0,,'>+∞∈x g x α,由定理13可得数列{}n a 单调递减，且α>=+∞
→n n n a a a ,lim .
本题的背景是牛顿切线法求方程()0=x f 的近似解.本题特征函数()1
21
2++=x x x g 在定义域上不
连续，有两个吸引不动点．由于初始值α>=11a 且不动点的导数值恰为0，使得()+∞∈,αx 时恒有()0'
>x g ，使问题简单化．
例6(2009陕西22)已知数列{}n x 满足，*11,11,21N n x x x n
n ∈+==
+. ⑴猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(2)略．
解：由 n n x x +=
+111得特征函数()x
x f +=11
,在()1,-∞-、()+∞-,1上分别单调递减．由特征方程x x +=
11得不动点251,251--=+-=βα .由于()()
2
'11x x f +-=，则()()
1514
2
'
>-=
αf ，
()()
1514
2
'<+=
βf ，可得 α为排斥不动点，β为吸引不动点．
由()x
x f +=
11
在()+∞-,1上单调递减，又211=x 且
21
221211111111
12
112
1111
1
1
111213>++--=+--+=-++=-++
=-+=
-x x x x x x x x x x x x x x x x
由定理13得数列{}n x 的两个子列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减． 由于特征函数()x
x f +=
11
在()+∞-,1上单调递减，结合定理13，可得如下结论： 当()α,11-∈x 时，可得13x x >，数列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减；当α=1x 时，数列{}n x 为常数列；当()+∞∈,1αx 时，可得13x x <，数列{}12-k x 单调递减，{}k x 2单调递增．
当初始值或特征函数中出现未知量或参数时，难度有所增加，考虑降低难度要求的需要，高考题给出的特征函数一般为凹或凸函数，此时主要结合定理15进行判断即可．
例7(2009安徽21)首项为正数的数列{}n a 满足()
*2
1,34
1N n a a n n ∈+=
+ ． (I )略；(II )若对一切n ∈N ，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围.
解：（II ）记()()
3412+=
x x f ，
则()x x f 21'=，()21''=x f ，于是()x f 为凸函数.令()
34
1
2+=x x 得不动点3,1==βα.由对一切*
N n ∈，都有n n a a >+1，得数列{}n a 为递增，根据定理15得，
α<1a 或β>1a ，又01>a ，所以1a 的取值范围101<<a 或31>a
本题已知数列的单调性，求首项的取值范围，利用不动点定理可以证明数列的单调性及收敛性，所以此题是对数列单调性及收敛性的逆向考查，是高考中的难题，继续采用不动点定理的思想，根据定理15可以很简单快捷地求出首项的取值范围，有别出心裁的效果.
3.4 本章小结
本章详细研究了利用不动点定理解决求数列通项，数列有界性，数列的单调性及收敛性问题，对这类问题的解决方法做了简单的概括.
第6章 结束语
本次的毕业论文创作过程是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里，我通过到图书馆翻阅资料，上网，质询指导老师，收集了足够的质料，按照指导老师提供的要求按时完成了我的论文.
通过撰写毕业论文，对不动点定理有了自己的认识和进一步的理解.不动点定理虽然是拓扑学中的一个著名的定理，但它在初等数学中也有极其广泛的运用，运用不动点定理可以简单快捷地解决初等数学中的一些问题，例如本文中提到的求数列通项、数列的有界性问题，数列的单调性及收敛性方面的问题；当然本文所涉及的不动点定理的应用不是很全面,还有很多方面的内容没有涉及.
本次毕业论文，我按照老师的要求完成了大部分论文的内容.不动点定理，我论文中有了详细的说明，不动点定理在数列中的应用文中也作了详细的分析.
这次毕业论文让我在数学理论知识应用上成熟了很多，是大学四年学习的总结，也是今后工作的宝贵经验和财富.
随着全国教育体系的逐步完善，我相信数学的学习深度将进一步提高，我希望本论文对读者了解不动点定理及其在数列中的应用有所帮助.
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