考点03 集合(新高考地区专用)(解析版)

考点03 集合
知识理解
一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∈表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
二．集合间的基本关系
A B
易错点：子集包括集合相等和真子集
n n n n n22-12-12-2集合中有个元素，子集个数为个，真子集、非空子集、非空真子集三．集合的基本运算
提示：一般集合为不等式时，一般采用数轴，有等号画实心，没有等号画空心
考向一 元素的特征
【例1】（2017·河北高考模拟）已知{}32,,1a a ∈-，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．3或 4
D ．无解
【答案】B
【解析】因为{}32,,1a a ∈-，当3a =时，那么12a -=，违反集合元素的互异性，不满足题意，当13a -=时，4a =，集合为{}2,4,3满足题意，∴实数a 的值为4，故选B. 【举一反三】
1．（2019·安徽）已知{
}
2
32,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1 C ．1- D ．1-或0
【答案】C
【解析】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；
当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则
21a +=，满足{}2
32,2a a ∈++.故选：C
2．（多选）（2020·广东中山一中）已知x ∈{1，2，x 2
}，则有（ ） A ．1x = B ．2x =
C ．0x =
D ．x =
【答案】BC
【解析】由x ∈{1，2，x 2}，
考向分析
当2
1,1x x ==，不满足集合中元素的互异性；
当2
2,4x x ==，满足集合中元素的互异性，符合题意； 当20x x x =⇒=或1x =（舍），
当0x =满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC.
3．（2017·江西高三一模（文））已知集合2
{|3100}A x N x x =∈+-≤，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C
【解析】由23100x x +-≤,得52x -≤≤,故{}0,1,2A =.集合A 中元素的个数为3,选C.
4．（2020·全国高三其他模拟（理））已知集合{
}
22
1,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2020m =__________． 【答案】1
【解析】依题意，分别令11m +=，()2
11m -=，2331m m -+=， 由集合的互异性，解得1m =，则20201m =.故答案为：1
考向二 子集的个数
【例2】（2021·河南鹤壁高中高二月考）已知集合{
}
2
|,20A x x Z x x =∈-++>，则集合A 的子集个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8
【答案】A
【解析】由220-++>x x ，得220x x --<，得(2)(1)0x x -+<，所以12x -<<， 因为x ∈Z ，所以0x =或1x =，所以{0,1}A =，所以集合A 的子集个数为224=.故选：A
【举一反三】
1．（2020·湖南高三其他模拟（理））集合{
}13,x x x N *
-<<∈的非空子集个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
【答案】A 【解析】{}{}13,1,2x x x N *
-<<∈=,∴集合共有2
2
4=个子集，∴非空子集个数为4-1=3个，
故选：A
2．（2020·宁夏银川二中高三月考（文））已知集合{
}
2
230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}
0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】D
【解析】∵{}
{}2
230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}
0B x x =>，
∴{}1,2,3A
B =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.
3．（2020·天津一中高一期中）已知集合{
}
2
20A x Z x x =∈-++>，则集合A 的真子集个数为（ ） A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】A 【解析】
{}
{}{}220120,1A x Z x x x Z x =∈-++>=∈-<<=，
所以，集合A 的真子集个数为2213-=.故选：A.
4．（2020·江苏淮阴中学高三月考）设集合={1,2,3}A ，B={45}，
，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】B
【解析】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B.
考向三 集合间的关系
【例3】（1）（2020·辽宁高二开学考试）已知集合
2
{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}
B ．{1,1}-
C ．{1,0}
D ．{1,1,0}-
（2）（2020·河南焦作·高三一模（理））设集合{}
13A x x =-≤，{}
,0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】（1）D （2）B
【解析】（1）∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a ≠0时，N={
1a }，∵N ⊆M ，∴11a =-或1
a
=1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D ．
（2）由题[]
2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2.故选：B ．
【举一反三】
1．（2018·重庆市中山外国语学校高三其他模拟（理））已知集合{}{}
0,0M =，则下列关系中：①0M ∈；②{}0M ⊆；③{}0M ∈；④{}{}0M ⊆；表述正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】集合{}{}
0,0M =，则 0M ∈；{}0M ⊆；{}0M ∈；
{}{}0M ⊆表述均正确.故选：D .
2．（2019·辽宁高考模拟（理））已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．1
{1,}2
B ．1{1,}2
-
C ．1{0,1,}2
D ．1{0,1,}2
-
【答案】D
【解析】当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，
当0a ≠时, 1
{}B a
=，由B ⊆A 得
11a =-或12a =，所以1a =-或12
a =， 因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1
{0,1,}2
-故选：D
3．（2020·定远县育才学校高三月考（文））已知集合{
}
2
230A x x x =--<，非空集合
{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.
A ．(],2-∞
B ．1,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．(),2-∞
D ．1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】{
}{
}
2
23013A x x x x x =--<=-<<，由B A ⊆且B 为非空集合可知，
应满足211312a a a a
-≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩
，解得1,22a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦故选：B
考向四 集合间运算
【例4】（1）（2020·浙江高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ）
A ．{|12}x x <≤
B ．{|23}x x <<
C ．{|34}x x ≤<
D ．{|14}<<x x
（2）（2020·山东高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4}
D ．{x |1<x <4}
（3）（2020·天津高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，
则(
)U
A
B =（ ）
A ．{3,3}-
B ．{0,2}
C ．{1,1}-
D ．{3,2,1,1,3}---
【答案】（1）B （2）C （3）C 【解析】（1）(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B
（2）[1,3](2,4)[1,4)A
B ==故选：C
（3）由题意结合补集的定义可知：{}U
2,1,1B =--，则(
){}U
1,1A
B =-.故选：C.
【举一反三】
1.（2020·河南焦作·高三一模（文））设集合{
}
2
230A x x x =--<，{}
2B x x =<，则A B =（ ）
A ．()2,1-
B ．()1,2-
C ．()2,3-
D ．()1,3-
【答案】B
【解析】先解不等式2230x x --<得()13A ,=-，解绝对值不等式2x <得()2,2B =-， 所以()1,2A
B =-.故选：B.
2．已知集合{}|22A x x =-≤≤
，|B x y ⎧⎫==⎨⎩
，那么A B =（ ） A ．{}|21x x -≤< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|11x x -<< D ．{}|22x x -≤≤
【答案】C
【解析】根据函数的定义域可知集合{}||11B x y x x ⎧⎫
===-<<⎨⎩
， 所以{}|11A
B x x =-<<.故选：C
3．已知集合(){}
ln 1A x y x ==-，{}
2
20B x x x =-≤，则(
)R
A B ⋃
=（ ）
A ．{}
1x x < B ．{}
2x x <
C ．{}
12x x <<
D ．{}
01x x <<
【答案】B
【解析】由题意得集合{}
1A x x =<，{
}
2
20{2B x x x x x =-≥=≥或0}x ≤， 所以
{}R
02B x x =<<，(
)
{}R
2A B x x ⋃
=<.故选：B 4．已知集合{}2
3180A x x x =--≤，(){}
ln 2B x y x ==-，则A
B =（ ）
A ．(]2,6
B ．(]2,3
C ．[)3,2-
D ．(]2,18
【答案】
A
【解析】不等式23180x x --≤，即()()630x x -+≤，解得36x -≤≤，所以集合[]
3,6A =-， 由对数函数的定义域可得集合()2,B =+∞，所以(]2,6A B ⋂=.故选：A.
1．（2020·甘肃月考）已知集合{
}
2
12,4,2A a a a =+-，且3A -∈，则a =（ ） A ．-1 B ．-3或-1
C ．3
D ．-3
【答案】D
【解析】因为3A -∈，故：令243a a +=-，解得1a =-或3a =-； 当1a =-时，2423a a a +=-=-不满足集合的互异性，故舍去； 当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足集合互异性，故3a =-； 令23a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去； 综上所述：3a =-，故选：D.
2．（2020·北京高考真题）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．
A ．{1,0,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,1,2}-
D ．{1,2}
【答案】D 【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A
B =-=，故选：D.
3．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元
素的个数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C
【解析】由题意，A B 中的元素满足8
y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，
所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A
B 中元素的个数为4.故选：C.
4（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，
强化练习
求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭
. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12
a
-
=，解得：2a =-.故选：B. 5．已知集合()(){}
122A x x x =--<，{}
10B x x a =++>，且()2,3A B ⋂=，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．1
C ．3-
D ．3
【答案】C
【解析】因为()(){}{}
12203A x x x x x =--<=<<，
{}{}101B x x a x x a =++>=>--，()2,3A B ⋂=，所以12a --=，得3a =-故选：C
6．已知全集U =R ，集合{
}
2
40A x x =->，{}210B x x =->，则(
)U
A B =（ ）
A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1
,22
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】因为{}
()()2
40,22,A x x =->=-∞-⋃+∞，
所以
[]2,2U A =-，又集合{}210B x x =->=1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
， 所以()1,22U A B ⎛⎤
⋂= ⎥⎝⎦
，故选：B ．
7．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知集合{}2,1,0,1,2,3,4A =--，{}|213B x x =-<，则A B =
（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}2,1,0-
C ．{}2,1,0,1--
D ．{}2,1,0,1,2-
【答案】C
【解析】解不等式213x -<得，2x <，即{}|2B x x =<，所以{}2,1,0,1A B ⋂=--. 故选：C ．
8．（2020·陕西高新一中高三期末（理））已知集合{
}
2
|280,A x Z x x =∈+-<{
}
2
|B x x A =∈，则B 中元素个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A
【解析】{}
{}2
|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---，
{}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.
9．（2020·陕西高三三模（文））设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（ ） A ．25m << B ．25m ≤<
C ．25<≤m
D ．25m ≤≤
【答案】C
【解析】因为集合{|31}A x x m =-<，而1A ∈且2A ∉，
311m ∴⨯-<且321m ⨯-≥，解得25<≤m ．故选：C ．
10．（2019·四川高考模拟（文））若集合{
}
2
1A x x =≤，则下列结论正确的是（ ） A ．2A -∉ B ．2A -∈
C ．{}2A -∈
D ．{}2A -⊆
【答案】A
【解析】集合{}
[]2
11,1A x x =≤=-，显然2A -∉，故选：A
11．（2020·江西高三零模（理））已知集合{
}
2
|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，则M N ⋂的子集
个数为（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
【答案】C
【解析】因为{}}{
2
|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤， {1,0,1,2}N =-所以{}1,0,1M N ⋂=-
所以M N ⋂的子集个数为328=故选：C
12．（2020·江西高一其他模拟）已知集合{0A =，1，2，3}，2{|1B y y x ==+，}x R ∈，P A B =⋂，则P 的子集个数( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．16
【答案】C 【解析】
{|1}B y y =，{0A =，1，2，3}；{1P A
B ∴==，2，3}；P ∴的子集个数为：328=． 故选
C ．
13．（2020·全国高三三模（文））若集合{
}
2
0A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】因为集合{}0,1A =,则A 的真子集个数为2213-=,故选:B 14．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧
⎫
=∈≤⎨⎬+⎩
⎭
，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】由|03x A x Z x ⎧⎫
=∈≤⎨
⎬+⎩⎭
，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个.故选：C 15．（2019·四川高三三模（理））已知集合(){}*
,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个
数是（ ） A ．2 B ．3
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个． 故选：C ．
16．（2019·湖北黄冈中学高三二模（理））设集合{
}
22
(,)|2A x y x y =+=，{
}(,)|3x
B x y y ==，则A
B
的子集的个数是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】 【解析】{}2
2
(,)|2A x y x y =+=，0x ∃222(,)|3x
x y A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪
∴⋂=⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭
， 如图：
由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有224=个．
故选：A ．
17．（2019·浙江衢州二中高三一模）集合{
}
2
5,M y N y x x Z =∈=-+∈的真子集个数是( ) A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】依题意{}5,4,1M =共有3个元素，故真子集个数为3217-=.故选C. 18．（2019·安徽马鞍山二中高三一模（文））已知集合1
{|24}{|0}3x A x N x B x x
+=∈-≤=≥-＜，，则集合A ∩B 中子集的个数是（ ） A ．4 B ．8
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】根据题意，A={x ∈N|-2≤x ＜4}={0，1，2，3}，B={x|
1
3x x
+-≥0}={x|-1≤x ＜3}， 则A ∩B={0，1，2}，则集合A ∩B 中子集的个数是23=8；故选B ． 19．（2020·吉林高三其他模拟（文））设集合{|1}A x x =<，{|2}B x x ，C A B =，则（ ）
A C
B ．
C B ⊆
C C
D 2C ∈
【答案】D 【解析】
集合{|1}A x x =<，{|2}B
x x ，C A B =，
{|1C x x ∴=<
或2}x >，∴C ，C B ⊇C 2C ∈，故A ，B ，C 均错误，D 正确，
故选：D ．
20．（2020·云南高三其他模拟（理））已知集合{
}
2
(1)1A x N x =∈-≤，{
}
2
10B x x =-≥，则（ ） A ．{}
12A B x x ⋂=≤≤ B ．{1,2}A B =
C ．A B ⊆
D ．(
)R
A B ⊆
【答案】B
【解析】由已知得{}{}
{}2
(1)1020,1,2A x N x x N x =∈-≤=∈≤≤=，
{1B x x =≥或1}x ≤-，所以{1,2}A B =，故选：B
21．（2020·全国高三其他模拟（理））已知(){}
ln A x y a x ==-，{}
2
540B x x x =-+<，若R
A B ⊆
，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．(],4-∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞
【答案】C
【解析】由题意可得{}
A x x a =<，{}
14B x x =<<，∴{|1R
B x x =≤或}4x ≥，
∵R
A B ⊆
，∴1a ≤.故选：C .
22．（2020·平潭县新世纪学校高一月考）已知集合{}2,3A =-，{}
1B x mx ==，若B A ⊆，则由实数m 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【答案】A
【解析】因为B A ⊆，
当0m =时，B =∅，符合题意； 当0m ≠时，1B m ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
， 因为B A ⊆，所以
12m =-或13m =，解得12
m =-或13m =.
故实数m 的所有可能的取值组成的集合为1
1,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 故选：A
23．（2020·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.
【答案】{}0,2
【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A
B =故答案为：{}0,2.
24．（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =_____.
【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}A
B =.
25．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））已知集合{}{}
1,0,,|122x
A a
B x =-=<<，若A B ⋂≠Φ，
则实数a 的取值范围是________ 【答案】()0,1
【解析】由122x <<，根据指数函数2x
y =是单调增函数，可得01,{|01}x B x x <<∴=<< 又∵集合{}1,0,A a =-，A B ⋂≠Φ，则,A B 有公共元素，所以()0,1a ∈故答案为：()0,1.。