2022年江苏省南京市秦淮区八下期末数学试卷

2022年江苏省南京市秦淮区八下期末数学试卷
1.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A．B．
C．D．
2.下列二次根式中，与√2a是同类二次根式的是( )
A．√3a B．√6a C．√8a D．√12a
3.下列调查中，调查方式选择合理的是( )
A．调查秦淮河水质情况，采用抽样调查
B．调查飞机零件合格情况，采用抽样调查
C．检验一批罐装饮料的防腐及含量，采用普查
D．对企业应聘人员进行面试，采用抽样调查
4.已知点A(2,y1)，B(1,y2)都在反比例函数y=4
x
的图象上，则( )
A．y1<y2B．y2<y1
C．y1=y2D．以上答案都不对
5.随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，则两次进价相同．该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是( )
A．2000
x =3000
x−50
B．2000
x−50
=3000
x
C．2000
x =3000
x+50
D．2000
x+50
=3000
x
6.如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D，E，F分别是AC，AB，BC边上的
三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE=a，则△ABC的边长为( )
A．√2a B．√3a C．√3
2
a D．a
7.若分式1
2x−1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
8.一个不透明的袋子中装有10个白球，20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅
匀，从中任意摸出一个球，给出下列事件：①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球，这些事件按发生的可能性大小从小到大依次排序为：（填序号）．
9.已知反比例函数y=k
x
的图象经过A(−2,3)，则当x=−3时，y的值是．
10.比较大小：√5√2+1．（填“>”“<”或“=”）
11.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的长度比是4:3，则这个菱形的面积是cm2．
12.如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，
如果DE=2.5，那么△ACD的周长是．
13. 如图，在 △ABC 中，∠CAB =70∘，在同一平面内，将 △ABC 绕点 A 旋转到 △ABʹCʹ 的位置，
使得 CCʹ∥AB ，则 ∠BABʹ 的度数是 ．
14. 已知 a =2+√3，b =2−√3，则 a 2b +ab 2= ．
15. 如图，在矩形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 a cm 2 和 b cm 2(a >b ) 的两张正方形纸片，则图
中空白部分的面积为 cm 2．
16. 如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =8，AC =6，以 BC 为一边作正方形 BDEC ，设正
方形的对称中心为 O ，连接 AO ，则 AO = ．
17. 计算．
(1) 2√2+3√8−√32．
(2) (2√12−3√13)×√6．
18. 解答题．
(1) 化简：4x 2−4−1x−2．
(2) 解方程：
4x 2−4−1x−2=0．
19. 先化简，再求值：(1−1a−1)÷
a 2−4a+4a−1，其中 a =−3．
20. 如图，是 5 个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加 1 个正
方形，使整个图案称为中心对称图形．
21. 讲禁毒，知今古，教训深，应紧记！某校积极爼织开展全国青少年禁莓知识竞赛活动，为了解全
校学生的活动情况，随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩，将抽取得到的成绩分为 5 组，整理后得
到下面的频数、频率分布表：组别分组频数/人频率
150≤x <6030.06260≤x <70a b 370≤x <80140.28480≤x <9060.12590≤x <10020c
(1) a = ，b = ，c = ．
(2) 画出 50 名学生的竞赛成绩的频数分布直方图．
22. 如图，△ABC ≌△ABD ，点 E 在边 AB 上，CE ∥BD ，连接 DE ．求证：
(1) ∠CEB =∠CBE ．
(2) 四边形 BCED 是菱形．
23. 已知近视眼镜镜片的度数 y （度）是镜片焦距 x (cm )(x >0) 的反比例函数，调查数据如下表：
镜片度数y/度
400625800
1000⋯1250镜片焦距x/cm 251612.510⋯8 (1) 求 y 与 x 的函数表达式．
(2) 若近视眼镜镜片的度数为 500 度，求该镜片的焦距．
24.
某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知甲每小时加工的零件数与乙每小时加工的零件数
的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求两台机器每小时分别加工零件多少个？
设甲机器每小时加工x个零件：
(1) 用含x的代数式填表；
每小时加工个数(个/小时)加工时间加工的总个数(个)甲机器x80
乙机器100
(2) 求x的值．
25.如图，函数y1=6
x
（x>0）的图象与正比例函数y2=kx的图象交于点A(m,3)，将函数y2= kx的图象向下平移3个单位，得到直线L．
(1) 求m，k的值．
(2) 直线L对应的函数表达式为．
(3) 垂直于y轴的直线与如图所示的函数y1，y2的图象分别交于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且与
直线L交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2−x3的取值范围．
26.已知：如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线
BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F．
(1) 求证：四边形GEHF是平行四边形．
(2) 当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形．
(3) 若BD=2AB．
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
②当AB=2，∠ABD=120∘时，直接写出四边形GEHF的面积．
答案
1. 【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义判断即可．
2. 【答案】C
【解析】因为√8a=√4×2a=2√2a，
所以√8a与√2a是同类二次根式．
故选C．
3. 【答案】A
【解析】A．调查秦淮河水质情况，采用抽样调查，故本选项正确；
B．调查飞机零件合格情况，采用全面调查，故本选项错误；
C．检验一批罐装饮料的防腐及含量，采用抽样调查，故本选项错误；
D．对企业应聘人员进行面试，采用全面调查，故本选项错误．
4. 【答案】A
【解析】方法一：
由题意，得y1=4
2=2，y2=4
1
=4，所以的y1<y2．
方法二：
因为4>0，所以y=4
x
的图象在第一，三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．因为0<1<2，
所以y2>y1，即y1<y2．
5. 【答案】C
【解析】该书店第一次购进x套，则第二次购进(x+50)套，
依题意得：2000
x =3000
x+50
．
6. 【答案】D
7. 【答案】x≠1
2
【解析】由题意，得2x−1≠0，
所以x≠1
2
．
8. 【答案】①②③
【解析】因为袋中红球最多，白球最少，所以任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，摸到白球
的可能性最小．
9. 【答案】 2
【解析】依题可知，反比例函数 y =k x 的图象经过 A (−2,3)，y =−6x ，
当 x =−3 时，y 的值是 2．
10. 【答案】 <
【解析】因为 (√5)2−(√2+1)2=5−(3+2√2)=2−2√2<0，
所以 (√5)2<(√2+1)2，
所以 √5<√2+1．
11. 【答案】 24
【解析】因为菱形的周长是 20 cm ，
所以菱形的边长是 20÷4=5（cm ）．
因为菱形的两条对角线的长度比是 4:3，
所以可设两条对角线的长分别是 4k cm ，3k cm ，
则 (4k 2)2+(3k 2)2=52，解得 k =2，
所以两条对角线的长分别是 8 cm 和 6 cm ，
所以这个菱形的面积是 12×8×6=24（cm 2）．
12. 【答案】 18
【解析】 ∵D ，E 分别是 AB ，BC 的中点，
∴AC =2DE =5，AC ∥DE ，
∴AC 2+BC 2=52+122=169，
∵AB 2=132=169，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴∠ACB =90∘，
∵AC ∥DE ，
∴∠DEB =90∘，
又 ∵E 是 BC 的中点，
∴ 直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线，
∴DC =BD ，
∴△ACD 的周长=AC +AD +CD
=AC +AD +BD =AC +AB =18.
13. 【答案】40∘
【解析】方法一：
∵CCʹ∥AB，
∴∠CʹCA=∠CAB=70∘，
∵△ABʹCʹ是由△ABC旋转所得，
∴ACʹ=AC，∠CʹABʹ=∠CAB=70∘，
∴∠ACʹC=∠ACCʹ=70∘，
∴∠CʹAC=40∘，
∴∠CABʹ=∠CʹABʹ−∠CʹAC=30∘，
∴∠BABʹ=∠CAB−∠CABʹ=40∘．
方法二：
∵∠CʹABʹ=∠CAB，
∴∠BABʹ=∠CACʹ，
又∵CCʹ∥AB，
∴∠CʹCA=∠CAB=70∘且CA=CʹA，
∴∠BABʹ=∠CACʹ=180∘−2×70∘=40∘．
故答案为：40∘．
14. 【答案】4
15. 【答案】√ab−b
【解析】因为两张正方形纸片的面积分别为a cm2和b cm2，
所以它们的边长分别为√a cm，√b cm，
所以AB=√a cm，BC=(√a+√b)cm，
所以空白部分的面积√a(√a+√b)−a−b=(√ab−b)cm2．
16. 【答案】7√2
【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点O作ON⊥AM，交AM的延长线于点N，过点O作OP⊥BC于点P．
则四边形OPMN是矩形，
因为AB=8，AC=6，∠BAC=90∘，
所以BC=√AB2+AC2=10，
因为S△ABC=1
2AB⋅AC=1
2
BC⋅AM，
所以AM=AB⋅AC
BC =24
5
，
所以CM=√AC2−AM2=18
5
，
因为CP=1
2
BC=5，
所以PM=CP−CM=7
5
，
所以ON=PM=7
5
，
因为MN=OP=5，
所以AN=AM+MN=49
5
，所以AO=√ON2+AN2=7√2．
17. 【答案】
(1) 原式=2√2+6√2−4√2 =4√2.
(2) 原式=(4√3−√3)×√6 =3√3×√6
=9√2.
18. 【答案】
(1) 原式=4−(x+2)
(x+2)(x−2)=2−x
(x+2)(x−2)
=−1
x+2
．
(2)
4
x2−4
−1
x−2
=0,
4−(x+2)=0,
4−x−2=0,
x=2,
检验：当x=2时x2−4=0，
∴x=2是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．
19. 【答案】原式=a−2
a−1
⋅a−1
(a−2)2
=1
a−2
,
当a=−3时，原式=1
−3−2=−1
5
．
20. 【答案】如图所示：
21. 【答案】
(1) 7；0.14；0.4
(2) 频数分布直方图：
【解析】
(1) 3÷0.06=50（人），
a=50−3−14−6−20=7，
b=7÷50=0.14，
c=20÷50=0.4．
22. 【答案】
(1) 因为△ABC≌△ABD，
所以∠ABC=∠ABD，
因为CE∥BD，
所以∠CEB=∠DBE，
所以∠CEB=∠CBE．
(2) 因为△ABC≌△ABD，
所以BC=BD，
因为∠CEB=∠CBE，
所以CE=CB，
所以CE=BD，
因为CE∥BD，
所以四边形CEDB是平行四边形，
因为BC=BD，
所以平行四边形CEDB是菱形．
23. 【答案】
，
(1) 设y与x的函数表达式为y=k
x
把点(25,400)代k入，得400=k
，解得k=10000，
25
(x>0)．所以y与x的函数表达式为y=10000
x
(2) 在y=10000
中，
x
，解得x=20，
令y=500，得500=10000
x
故该镜片的焦距为20cm．
24. 【答案】
(1) 填表如下：
每小时加工个数(个/小时)加工时间加工的总个数(个)
甲机器x80
x
80
乙机器36−x100
36−x
100
故答案为80
x
，
36−x，100
36−x
．
(2) 设甲机器每小时加工x个零件，
根据题意得，80
x =100
36−x
.解得：x=16.经检验，x=16是原方程的解．
所以x=16．
25. 【答案】
(1) 把A(m,3)代入y1=6
x
得3m=6，解得m=2，则A(2,3)，
把A(2,3)代入y2=kx得2k=3，解得k=3
2
．
(2) ∵函数y2=3
2
x的图象向下平移3个单位，得到直线L．
∴直线L的解析式为y=3
2
x−3．
(3) 如图，
∵x1<x2<x3，
∴0<x1<2，
∵y2=y3，
∴3
2x2=3
2
x3−3，
∴x2−x3=−2，
∴−2<x1+x2−x3<0．
26. 【答案】
(1) 连接AC，
因为E，O，F分别是BD上的四等分点，
所以O，E，F分别是BD，OB，OD的中点，因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC，BD的交点，且OA=OC，
因为G是AD的中点，
所以GF是△AOD的中位线，
所以FG∥OA且FG=1
2
OA，
同理可得EH∥OC且EH=1
2
OC，
所以FG∥EH且FG=EH，
所以四边形GEHF是平行四边形．
(2) AB⊥BD
(3) ①四边形GEHF是矩形，理由如下：如图，连接GH，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC且AD=BC，
因为G，H分别是AD，BC的中点，
所以AG=1
2AD，BH=1
2
BC，
所以AG=BH且AG∥BH，
所以四边形ABHG是平行四边形，
所以HG=AB，
因为E，O，F分别是AD上的四等分点，
所以EF=1
2
BD，
因为BD=2AB，
所以EF=AB，
所以EF=GH，
由（1），得四边形GEHF是平行四边形，
所以四边形GEHF是矩形．
② √3．
【解析】
(2) 连接GH，
因为四边形GEHF是平行四边形，
所以EF，GH互相平分，
因为OE=OF，
所以GH过点O，OG=OH，
因为AG=GD，BO=OD，
所以GH∥AB，
因为四边形GEHF是菱形，
所以GH⊥EF，
所以AB⊥BD．
(3) ②如图，过点A作AM⊥BD，交DB的延长线于点M，过点G作GN⊥BD于点N，则GN∥AM，
因为G是AD的中点，
所以GN是△ADM的中位线，
所以GN=1
2
AM，
在Rt△ABM中，
因为∠ABM=180∘−∠ABD=180∘−120∘=60∘，所以∠BAM=90∘−∠ABM=30∘，
所以BM=1
2AB=1
2
×2=1，
所以AM=√AB2−BM2=√3，所以GN=√3
2
，
由①，得EF=AB=2，
所以S△GEF=1
2EF⋅GN−1
2
×2×√3
2
=√3
2
，
所以S
矩形GEHF
=2S△GEF=√3，故四边形GEHF的面积是√3．。