甘肃省天水市某校2019-2020学年高二上学期第一学段考试数学(文)试题(有答案)

甘肃省天水市某校2019-2020学年高二上学期第一学段考试数
学（文）试题
一、单选题
1. 若与的等差中项为，则（）
A. B. C. D.不确定
2. 设是首项为，公差为−2的等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则()
A.8
B.−8
C.1
D.−1
3. 在△中，若，，，则此三角形中最大内角是()
A. B. C. D.
4. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝−11，a4+a6＝−6，则当S n取最小值时，n 等于()
A.6
B.7
C.8
D.9
5. 已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是()
A. B. C. D.
6. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a7+a9＝21，则S13＝()
A.36
B.72
C.91
D.182
7. 已知为正项等比数列的前n项和．若，，则
A.14
B.24
C.32
D.42
8. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两
层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一
座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底
层共有灯
A.81盏
B.112盏
C.162盏
D.243盏
9. 若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则不等
式的解集是
A. B. C. D.
10. 设数列满足且，则()
A.13
B.14
C.15
D.16
11. 已知正数满足，则（）
A.有最大值
B.有最小值
C.有最大值10
D.有最小值10
12. 在数列{a n}中，若，a1＝8，则数列{a n}的通项公式为()
A.a n＝2(n+1)2
B.a n＝4(n+1)
C.a n＝8n2
D.a n＝4n(n+1)
二、填空题
设是等差数列，且，，则的通项公式为________．
不等式组的解集为________.
已知，，，则的最大值是________．
已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．三、解答题
在中,角、、的对边分别为、、,且
（1）求的值;
（2）若,且,求和的值.
已知数列的前项和为.
（1）求这个数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
已知数列中，，. （1）求数列的通项公式:
（2）设，求数列的通项公式及其前项和. 已知数列中，，.
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）为数列的前n项和，求.
（1）已知，，，比较与的大小；（2）已知，，，，求的取值范围．
参考答案与试题解析
甘肃省天水市某校2019-2020学年高二上学期第一学段考试数
学（文）试题
一、单选题
1.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据等差中项公式，得出2×5=(x+1)+(y−1)，即可求解，得到答案．
【解答】
由题意，因为x+1与y−1的等差中项为5，所以2×5=(x+1)+(y−1)，即x+y= 10
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n项和公式，准确运算，即可求解．【解答】
由题意，可得等差数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n−1)×(−2)=a1−2(n−1)
所以S1=a1,S2=2a1−2,S4=4a1−12
因为S1S2,S4成等比数列，可得(2a1−2)2=a1(4a1−12)，解得a1=−1
故选：D．
3.
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
利用余弦定理即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知，此三角形中最大内角是角C，
由余弦定理可得c cos C=a 2+b2−c2
2ab
=4+2√3+4−2√3−10
4
=−1
2
：C=120∘故选：C．4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
条件已提供了首项，故用1,c′法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×(−11)+8d=−6，解得d=2
所以S n=−11n+
n(n−1)
2
×2=n2−12n=(n−6)2−36，所以当n=6时，S n取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
等差数列
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解．
【解答】
设数列{a n}的公差为d，
选项AB,CC都不满足b n−b n−1=同一常数，所以三个选项都是错误的；
对于选项D，b n−b n−1=−a n
2+a n−1
2
=a n+1−a n
2
=−d
2
所以数列{b n}必为等差数列．
故选D
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质求出a7=7，根据等差数列的前项和公式S13=13a可得【解答】
因为{a n}为等差数列，所以a5+a,+a9=3a7=21
所以a7=7
所以S13=13(a1+a12)
2=13×2a7
2
=13a7=13×7=99
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
因为各项为正，根据等比数列中成等比数列的性质，知2.10−2.5m−10成等比数列，所以S
加m
−10=32S sm=42，故选D．
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等比数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．
【解答】
从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3,a4,a5，此数列是等比数列，公比为3，5项
的和为363，则a2(1−a ′)
2−2
=363,a1=3
．∴．a5=a1×34=3×34=24
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程
【解析】
首先由解集为(−1,1
2
)计算出a,b的值，然后再求一元二次不等式3x2+bx+a<0的解集
【解答】
因为ax 2
+bx +3>0的解集为(−1,1
2)，所以{a −b +3=014a +12
b +3=0，解得{a =−6
b =−3，所以
3x 2−3x −6<0，所以
(x −2)(x +1)<0，解得x ∈(−1,2) 故选B ． 10. 【答案】 A
【考点】
等差数列的通项公式 【解析】
化简可得a n−1−a n =3
4，所以{a n }为等差数列，利用其通项公式可求a 1 【解答】 由a n+1=
4a n +34，得a n−1−a n =3
4
．所以{a n }为等差数列，
故(a 1=1+3
4×16=13 11. 【答案】 A
【考点】 基本不等式 【解析】
由基本不等式及其应用得：m 2+n 2
2
≥(
m+n 2
)2，得(
m+n 2
)2≤50，由m >0,n >0，得解
【解答】
由不等式的性质有：m 2+n 2
2
≥(
m+n 2
)2，当且仅当m =n =5√2，等号成立
即(
m+n 2
)2≤50
又m >0,n >0 所以
m+n 2
≤5√2
即m +n ≤10√2 故选：A ． 12.
【答案】 A
【考点】
等差数列的通项公式 【解析】
【62H 利用{√a}是等差数列可得 【解答】
因为√a n+1=√a n +√2 所以√a n+1−√a n =√2
所以{√a}是首项为√a 1=√8=2√2，公差为√2的等差数列． 所以√a n =2√2+(n −1)⋅√2=(n +1)√2 所以a n =2(n +1)2 故选A ． 二、填空题
【答案】 a ．=6n −3 【考点】
等差数列的通项公式 【解析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可． 【解答】
设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 1=3,∴ 3+d +3+4d =36,∴ d =6,∴ a n =3+6(n −1)=6n −3 【答案】 −1≤x <3 【考点】 不等式的解集 多边形内角与外角 解一元一次不等式
【解析】
分别解不等式，找出解集的公共部分即可． ①
详解：{3x −1<2(x +1)
x+32≥1(2),
解不等式①，得x <3
解不等式②，得x ≥−1
原不等式组的解集为−1≤x <3 故答案为−1≤x <3 【解答】 此题暂无解答 【答案】 8
【考点】 基本不等式 【解析】
r 分1)利用配凑法将化成1
2x ⋅(2y )，再利用基本不等式求最大值．
【解答】 y =1
2x ⋅(2y )≤12(
x+2y 2
)2
=18，等号成立当且仅当x =12,y =1
4
________∴ xy 的最大值是1
8 故答案为：1
8 【答案】 4
【考点】
求线性目标函数的最值 【解析】
先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可． 【解答】
解：由已知不等式组得到平面区域如图： 目标函数z =2x +y 变形为y =−2x +z 此直线经过图中A 时在）轴截距最大， 由{y =0x +y =2得到A (2,0) 所以﹦的最大值为2×2+0=4 三、解答题 【答案】 （1）cos B =1
3 （2）a =c =√6 【考点】 正弦定理 解三角形
【解析】 此题暂无解析 【解答】
（1）由正弦定理得a =2R sin Ab =2λsin Bc =2R sin C
又b cos C =3a cos B −c cos B ，sin B cos C =3sin A cos B −sin C cos B 即sin B cos C +sin C cos B =3sin A cos B ，∴ sin (B +C )=3sin A cos B sin A =3sin A cos B ，又sin A ≠0∴ cos B =1
3
（2）由BA →
⋅BC →
=2得ac cos B =2，又cos B =13，∴ ac =6 由b 2=a 2+c 2−2ac cos Bb =2√2，可得a 2+c 2=12 ∴ (a −c )2=0，即a =c ，∴ a =c =√6 【答案】
（1）a n =2n +1
（2）T n =(2n −1)⋅2n−1+2
【考点】 数列的求和 【解析】
（1）当n ≥2且n ∈N ′时，利用a n =S n −S n−1求得a n ，经验证n =1时也满足所求式子，从而可得通项公式； （2）由
（1）求得b n ，利用错位相减法求得结果．
【解答】
（1）当n ≥2且n ∈N ′时，a n =S n −S n−1=n 2+2n −[(n −1)2+2(n −1)]=2n +1．．．①
当n =1时，a 1=S 1=12+2×1=3，也满足①式
数列{a n}的通项公式为：a n=2n+1
（2）由（1）知：b n=2n n=(2n+1)n
T n=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)2n−1+(2n+1)2n 2T n=3×22+5×23+7×24+⋯+(2n−1)2n+(2n+1)2n+1−T n=3×2+2×22+2×22+⋯+2×2n−(2n+1)2n−1
=6+23(1−2n−1)
1−2
−(2n+1)⋅2n+1
=−(2n−1)n−1−2 T n=(2n−1)2n−1+2
【答案】
（1）}|a n=2n2
（2）b n=1
(2n−1)(2n+1),T n=n
2n+1
【考点】
由递推关系式求通项公式
数列的求和
【解析】
（1）a n−a n+1+2=4n(n∈N ast,n≥2)利用累加法得到答案
（2）计算b n=1
2(1
2n−1
−1
2n+1
)，利用裂项求和得到前》项和Ⅰ．
【解答】
（1）由题意可知
a n−a n−1=4n−2
a n−1−a n−2=4n−6
a n−2−a n−3=4n−10
a2−a1=6
a1=2
左右累加得a n=2+6+⋯+4n−6+4n−2=(2+4n−2)
2
=2n2
（2）b n=1
2a n−1=1
(2n−1)(2n+1)
=1
2
(1
2
(1
2n2n+1)
T n=1
2
(1−
1
3
+
1
3
−
1
5
+⋯+
1
2n−1
−
1
2n+1
)=
1
2
(1−
1
2n+1
)=
n
2n+1
【答案】
（1）见解析；
（2）a n=2n+2b n=2′；
（3）S n=2n+1−2
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
（1）直接利用数列的递推关系式，结合等比数列的定义，即可得到结论；（2）利用（1）的结论和等比数列的通项公式，即可求解；
（3）利用等比数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】
（1）由题意，数列{a n}中，a1=4a n+1=2a n−2(n∈N ast)
所以a n+1−2=2(a n−2)，所以a n+1−2
a n−2
=2
又由b1=a1−2=2
所以数列{b n}是以b1=2为首项，以q=2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，数列{b n}是以b1=2为首项，以q=2为公比的等比数列，
所以b n=b1q n−1=2×2n−1=2t
又由b n=a n−2，所以a n=b n+2=2n+2
所以数列{a n}的通项公式分别为a n=2n+2，数列{b n}的通项公式分别为b n=2n （3）由（2）知，数列{b n}的通项公式分别为b n=2n
所以S n=b1(1−q n)
1−q =2⋅(1−2n)
1−2
=2r−1−2
即数列{b n}的前n项和为S n=2n−1−2【答案】
（1）|e
a−c >e
b−d
（2）[3+2√2,+∞)
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）利用作差比较法即可得出结果；
（2）先对1
x +2
y
乘以1结果保持不变，将2x+y=1看为一个整体代入得1
x
+1
y
=
(1 x +1
y
)(2x+y)，展开运用基本不等式可
求得最小值，得到结果【解答】
（1）e
a−c −e
b−d
=e(b−d)−c(a−c)
(a−c)(b−d)
=(b−a)+(c−d)
(a−c)(b−d)
e
a>b>0c<d<0．∴a−c>0b−d>0b−a<0c−d<0
又e<0，e
a−c −e
b−d
>0．∴e
a−c
>e
b−d
（2）2x+y=1,x>0y>0，∴1
x +1
y
=(1
x
+1
y
)(2x+y)=3+2x
y
+y
x
≥3+2√2
当且仅当{2x+y=1,
2x
y
=y
x
,即当{
x=1−√2
2
y=√2−1
时等号成立．
故1
x +1
y
的取值范围是[3+2√2,+∞)。