新北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(有答案解析)(5)

一、选择题
1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05
B ．0.1
C ．0.15
D ．0.2
2．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．
13
B ．
12
C ．
14
D ．
25
3．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．
5108
B ．
113
C ．
17
D ．
710
4．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）
A ．3.56
B C ．3.2
D 5．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.09
B ．9
C ．1
D ．0.9
6．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．38
7．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是（ ）
①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->；②()()()210P a P a a ξξ<=<->； ③()()()120P a P a a ξξ<=-<>；④()()()10P a P a a ξξ<=-≥>． A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．②④
8．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝2i
a
(i ＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于( ) A ．
910
B ．
710 C ．
35
D ．
12
9．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为
123
,,234
，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）
A ．
1124
B ．
2324
C ．
14
D ．
1732
10．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．
18
B ．38
C ．
58
D ．
78
11．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()
2
0,N σ的图象如图所示，则下列选项中
正确的是（ ）
A ．123σσσ<<
B ．132σσσ<<
C ．213σσσ<<
D ．321σσσ<<
12．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1
()3
E X =
，则()D X 等于（ ）
X 1- 0 1
P
a
b
c
A ．
49
B ．
59
C ．
13
D ．
23
二、填空题
13．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.
14．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连
胜，则判定获胜局数多者贏得比赛.假设每局甲获胜的概率为
2
3，乙获胜的概率为13
，各局比赛结果相互独立，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率______.
15．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.
参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.9974
16．已知随机变量ξ服从正态分布()
2
1,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则
(13)P ξ≤≤=________．
17．(理)假设某10张奖券中有一等奖1张,奖品价值100元;有二等奖3张,每份奖品价值50元;其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张,获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为_________.
18．随机变量ξ服从正态分布()
2
40,N σ，若()300.2P ξ<=，则
()3050P ξ<<=______．
19．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．
20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；②若命题
:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变
量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==1
4
；④函数sin 2y x =的图象向左平移
π4
个单位长度，得到πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________
（把你认为正确的序号都填上）.
三、解答题
21．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．
（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求
,a b 的值；
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X （单位：元）的分布列与数学期望．
22．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()|P B A ． 23．2019年以来，全国发生多起较大煤矿生产安全事故，事故给人民群众的财产和生命造成重大损失.尽管国务院安委办要求对事故责任人从严查处.但是有的煤矿企业领导人仍然不能够对安全生产引起足够重视.不久前，某煤矿发生瓦斯爆炸事故，作业区有若干矿工人员被困.若救援队从入口进入之后有1L ，2L 两条巷道通往作业区如下图所示，其中1L 巷道有
1A ，2A ，3A 三个易堵塞点，且各易堵塞点被堵塞的概率都是
1
2
；2L 巷道有1B ，2B 两个易堵塞点，且1B ，2B 易堵塞点被堵塞的概率分别为14，3
5
，不同易堵塞点被堵塞或不被堵塞互不影响.
（1）求1L 巷道中的三个易堵塞点至少有两个被堵塞的概率；
（2）若2L 巷道中两个易堵塞点被堵塞个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （3）若1L 巷道中三个易堵塞点被堵塞的个数为Y ，求Y 的数学期望.
24．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行
996''工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工
作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的
压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行
996''工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力
资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别（单位：百元） [)0,20
[)20,40
[)40,60
[)60,80
[)80,100
频数（人数）
2
250
450
290
8
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()
2
51,15N ，若该集
团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望．
附：若()
2
~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=．
25．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()
2
,N μσ，利
用该正态分布，求Z 落在()38.45,50.4内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若(
)2
~,Z N μσ
，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，
()220.9544P Z μσμσ-<≤+=．
26．某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以
X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
1(80120)
(80)(120)0.12
P X P X P X -<<≤=≥=
= ,选B.
2．A
解析：A 【分析】
根据题意有())
)
|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】
解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；
事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含2
36A =个基本事件；
()()61
=)13
|=
(8n AB n A P B A =.
故选：A. 【点睛】
本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】
3311166617()216A P AB C C C +==，111
5556111
6691
()1216
C C C P B C C C =-= ()()()72161
|2169113
P AB P A B P B ∴=
=⨯= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.
4．D
解析：D 【分析】
由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】
由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，
()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，
()()()()2
2
2
1 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，
ξ∴
=
故选：D . 【点睛】
本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.
5．D
解析：D 【分析】
在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差
的公式，即可求解． 【详解】
由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ
，
所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．C
解析：C 【分析】
由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】
由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，
又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1
(|)4
P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所
含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案 【详解】
因为P(|ξ|＜a)＝P(－a ＜ξ＜a)，所以①不正确；
因为P(|ξ|＜a)＝P(－a ＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a) ＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确； 因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|≥a)＝1，
所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a ＞0)，所以④正确． 故选D 【点睛】
本题是一道关于正态分布的题目，解题的关键是正确理解正态分布曲线的特点，属于中档题。

8．B
解析：B 【分析】
由题意可得
()1
123412a
+++=，即可求出a 的值，再利用互斥事件概率的加法公式可得 ()()()2434P X P P <≤=+，据此计算即可得到答案
【详解】
()()12342i
P X i i a
===，
，，， ()1
123412a
∴
+++= 解得5a =
则()()()3472434101010
P X P P <≤=+=+= 故选B 【点睛】
本题是一道关于求概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列，属于基础题．
9．A
解析：A 【分析】
若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】
记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =
，()23P B =，()34
P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为
()
12311
11113412
P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则电路不发生故障的概率1111121224
P =⨯= 故选A 【点睛】
本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．
10．C
解析：C
【解析】
分析：先确定随机变量得取法1
2X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为1424
4411(1)(),(2)(),22
P x C P x C ====
所以1424
44411105(03)(1)(2)()(),2228
P x P x P x C C <<==+==+=
= 选C.
点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)
k
k
n k
n C p p --.
其中p 为1次试验种A 发生得概率.
11．A
解析：A 【解析】
分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定
123,,σσσ的大小.
详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，
σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．B
解析：B 【详解】
∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，
1113
E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=
，解得16a =，13b =，1
2c =，
∴2
2
2
15()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 二、填空题
13．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次
解析：1
4
【分析】
由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】
由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是
1
2
，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率3
14111224
p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故答案为：14
【点睛】
本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.
14．【分析】设表示第k 局甲获胜表示第k 局乙获胜甲在4局以内（含4局）赢得比赛结果有：求出每种结果的概率相加即可求出结论；【详解】用A 表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛表示第k 局甲获胜表示第k 局乙获胜则故 解析：
5681
【分析】
设k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”， 甲在4局以内（含4局）赢得比赛结果有：12A A ，123B A A ，1234A B A A ，求出每种结果的概率相加，即可求出结论； 【详解】
用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，
k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”，
则2()3k P A =
，1
()3
k P B =，1,2,3,4,5k =. 121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++
121231234()()()()()()()()()()=++P A P A P A P B P A P A P A P B P A P A
222
21.221256
()33333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P A .
故答案为：56
81
【点睛】
本题考查事件的独立性的概念，审清题意，细心计算，属于中档题.
15．②④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率逐项分析即可选出正确答案【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交从家到车站需要5分钟下车后步行再到单位需要12分钟乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间
解析：②④ 【分析】
利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案．
【详解】
解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()
2
33,4N ，
故()()
12145452
P Z P Z -<<≥=
10.9974
0.00132
-=
=， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()
2
33,4N ，
故当满足P （Z≤41）()
()1254125410.97722
P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交
不会迟到；
若8：02出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()
2
44,2N ，
故当满足P （Z≤48）()
()1404840480.99722
P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁
不会迟到，
此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()
2
33,4N ，
故当满足()()
()129373729370.84132
P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公
交不会迟到；
若8：06出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()
2
44,2N ，
故当满足()1
440.52
P Z ≤=
=时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()
2
33,4N ，
故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到，
而()()()
1293731290.18572
P Z P Z P Z -≤>≤=
=＜＜；
若8：12出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()
2
44,2N ，
故当满足()()
13850380.001352
P Z P Z -<<≤=
=时，江先生乘坐地铁不会迟到，
由0.18570.00135>，
∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．
16．4558【分析】随机变量服从正态分布根据对称性可求得的值再根据概率的基本性质可求得【详解】因为所以故所以故答案为：04558【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性属于基础题
解析：4558 【分析】
随机变量ξ服从正态分布()
2
1,N σ，(3)0.0442P ξ>=，根据对称性可求得(1)P ξ<-的
值，再根据概率的基本性质，可求得(13)P ξ≤≤. 【详解】
因为(3)0.0442P ξ>=， 所以(1)0.0442P ξ<-=，
故(13)1(3)(1)0.9116P P P ξξξ-≤≤=->-<-=． 所以(13)0.4558P ξ≤≤=． 故答案为：0.4558. 【点睛】
本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.
17．【分析】奖品的总价值可能值为050100150分别求出求出期望即可求解【详解】奖品的总价值可能值为050100150其分布列为 150 获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率即获
解析：2
3
【分析】
奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，分别求出()0P ξ=，5(0)P ξ=，0(0)1P ξ=，
5(0)1P ξ=，求出期望，即可求解.
【详解】
奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，
262101
()03C P C ξ===，11632105502()C C P C ξ===，
1263210+101()50C C P C ξ===，1
32
101
(150)15
C P C ξ===， 其分布列为
()0501001505055515
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，
获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率， 即获得奖品的总价值ξ不少于50的概率为2
3
. 故答案为:23
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，求出随机变量的概率是解题的关键，属于中档题.
18．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】
解析：6 【解析】 【分析】
根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】
解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19．【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布所以因为所以考点：正态分布
解析：0.1587
【解析】
试题分析：因为随机变量X 服从正态分布()2,1N ，所以()()31P X >=P X <，因为
()()()11331P X <+P ≤X ≤+P X >=，所以()()1
310.68260.15872
P X >=
-=． 考点：正态分布．
20．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变
解析：①③ 【分析】 求出5()012
f π
-
=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①
5()4cos()0122
f ππ
-
=-=， ∴函数()4cos(2)3
f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π
-，故①正确；
②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；
③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，
可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43
111(1)124
12p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；
④函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π个单位长度，得到sin 2()4y x π
=+，不是
sin(2)4
y x π
=+
的图象，所以④不正确；
故答案为：①③． 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．
三、解答题
21．（1）0.035,0.025；（2）见解析 【分析】
（1）根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；
（2）利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X 的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】
（1）由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
所以(0.0150.0150.010)10120.015
a b b a ++++⨯=⎧⎨=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150,200,250,300，
32166433101011
(150),(200)62C C C P X P X C C ======，
12364433101031
(250),(300)1030
C C C P X P X C C ======，
∴X 的分布列为
()150200250300210621030
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 22．（1）见解析（2）4
5（3）12,25
【解析】
试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ
的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,求得P (C )＝3
4
36
C C ,则所求概率为P (C )＝1－P (C)
可得结果.
(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结
论. 试题
(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝3436C C ＝1
5，P (ξ＝1)＝214236
C C C ＝35，P (ξ＝2)＝12
423
6
C C C ＝1
5. ∴ξ的分布列为
则P (C )＝3436
C C ＝420＝1
5.
∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－
15＝4
5
. (3)P (B )＝2536C C ＝1020＝12；P (B |A )＝1
425C C ＝410＝2
5
.
23．（1）1
2；（2）分布列见解析；期望为1720；（3）32
. 【分析】
（1）根据独立事件的概率公式计算，至少有两个被堵塞含两个被堵塞和三个被堵塞两种情形，分别计算相加可得；
（2）X 的所有可能取值为0，1，2.，分别计算其概率得分布列，由期望公式得期望； （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3，计算出各概率，然后由期望公式计算期望． 【详解】
解：（1）据题设知，所求概率2
1
3
233311112222p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
2
=
. （2）X 的所有可能取值为0，1，2.
133
(0)114510P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
131311
(1)11454520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
133(2)4520
P X ==
⨯=， 所以随机变量X 的分布列为
所以()01210202020
E X =⨯
+⨯+⨯=. （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3.
3
03111(0)228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
1
3113(1)228P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
2
23
113
(2)228
P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
30
33
111
(3)228
P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以13313()012388882
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列数学期望，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．
24．（Ⅰ）51（百元）；（Ⅱ）估计有91名员工期待加班补贴在8100元以上；（Ⅲ）分布列见解析，()9
8
E Y =. 【分析】
（Ⅰ）设样本的中位数为x ，根据频率分布表中的数据可得出关于x 的等式，进而可求得
x 的值；
（Ⅱ）由题意可得μ、σ的值，可计算得出()()81002P X P X μσ≥=≥+，将所得概率乘以4000可得结果；
（Ⅲ）由题意可知，随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，利用超几何分布的概率公式可求得随机变量Y 在不同取值下的概率，进而可得出随机变量Y 的分布列，并利用数学期望公式可计算出随机变量Y 的数学期望. 【详解】
（Ⅰ）设中位数为x ，则()22504500.510001000100020
40x +=-+⨯， 解得51x ≈，因此，所得样本的中位数为51（百元）；
（Ⅱ）
51μ=，15σ=，281μσ+=，
加班补贴在8100元以上的概率为：
()()()
122810022
P X P X P X μσμσμσ--<<+≥=≥+=
10.9544
0.02282
-=
=，0.022*******⨯=， 因此，估计有91名员工期待加班补贴在8100元以上； （Ⅲ）由题意可知，随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，
()35385028C P Y C ===，()21353
815
128C C P Y C ===， ()21353515256C C P Y C ===，()3
3381
356
C P Y C ===.
Y ∴的分布列为：
()0123282856568
E Y ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查中位数、离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查概率的求法，考查频数分布表、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25．（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列详见解析，数学期望为2. 【分析】
（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可； （2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；
②根据题意得1~4,2X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值． 【详解】
（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：
(]0,10的频率为：0.010100.1⨯=；
(]10,20的频率为：0.020100.2⨯=； (]20,30的频率为：0.030100.3⨯=； (]30,40的频率为：0.025100.25⨯=； (]40,50的频率为：0.015100.15⨯=，
所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为
50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）①∵Z 服从正态分布()
2
,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈
()38.4550.4P Z <<
()()26.5211.9526.5211.9526.511.9526.511.95P Z P Z =-⨯<<+⨯--<<+ ()0.95440.682620.1359-÷==
∴Z 落在()38.45,50.4内的概率是0.1359．
②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(]10,30内的概率为0.20.30.5+=， 所以1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，
()4
04110216P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， ()4
1411124P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， ()424
13
228
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()4
3411324P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， ()4
44114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， ∴X 的分布列为：
∴()422
E X =⨯=． 【点睛】
本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题． 26．（1）19
20
（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由见解析 【分析】
（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；
（2）可知随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，其中3n =，19
20
p =，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；
（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只。