理科数学高考大一轮总复习课件：第6章 第5讲 数列的综合应用

＝(n＋1)3.
又因为当 n＝1 时，有 a1＝8，所以 an＝(n＋1)3.
30 第三十页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习 (法二)根据 a1＝8，a2＝27，猜想：an＝(n＋1)3. 用数学归纳法证明如下：
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(Ⅰ)当 n＝1 时，有 a1＝8＝(1＋1)3，猜想成立． (Ⅱ)假设当 n＝k 时，猜想也成立，即：ak＝(k＋1)3. 那么当 n＝k＋1 时，有 4(k＋1＋1)(Sk＋1＋1)＝(k＋1＋2)2ak＋1， 即：4(Sk＋1＋1)＝k＋k＋1＋1＋221ak＋1，①
理数
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(2)由(1)猜想 an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
①当 n＝1 时，结论显然成立；
②假设当 n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1， 则 Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝k[3＋22k＋1]＝k(k＋2)．
又 Sk＝2kak＋1－3k2－4k， 所以 k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k， 解得 2ak＋1＝4k＋6，
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4. (2013·重庆)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差 d≠0，
Sn 为其前 n 项和，若 a1，a2，a5 成等比数列，则 S8＝
.
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解析：因为{an}是等差数列，a1，a2，a5 成等比数 列，所以(a1＋d)2＝a1·(a1＋4d)，
所以 ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当 n＝k＋1 时，结论成立．
由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.
22 第二十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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二 数列与函数的综合应用
【例 2】已知函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x)＋f(1－x)＝12.
(1)求 f(12)和 f(1n)＋f(n－n 1)(n∈N*)的值；
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(3)bn＝4an4－1＝4nTn＝b21＋b22＋…＋b2n ＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋nn1－1] ＝16[1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(n－1 1－1n)] ＝16(2－1n)＝32－1n6＝Sn， 所以 Tn≤Sn.
又 4(Sk＋1)＝k＋k＋212ak，②
31 第三十一页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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①－②得：4ak＋1＝k＋k＋322ak＋1－k＋k＋212ak ＝k＋k＋322ak＋1－k＋2k＋2k1＋13，
解得，ak＋1＝(k＋2)3＝(k＋1＋1)3. 所以当 n＝k＋1 时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得 an＝(n＋1)3 成立．
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三 数列的应用题
【例 3】某一电视频道在一天内有 x 次插播广告的时段， 一共播放了 y 条广告，第 1 次播放了 1 条和余下的 y－1 条的 18，第 2 次播放了 2 条以及余下的18，第 3 次播放了 3 条以及 余下的18，以后每次按此规律插播广告，在第 x 次播放了余下 的 x 条(x＞1)．
列，则 a2 的值为( B )
A．－4
B．－6
C．－8
D．－10
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解析：由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)， 解得：a2＝－6.
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2. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且 4a1,2a2，
18 第十八页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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【温馨提示】对等差、等比数列的综合问题的分析， 应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、 等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
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【跟踪训练 1】(2014·广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 满足 Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且 S3＝15.
13 第十三页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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一 等差数列与等比数列的综合应用 【例 1】(2014·广州海珠区一模)已知公差不为 0 的等差数
列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5＝25，且 S1，S2，S4 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝S1n(n∈N*)，证明：对一切正整数 n，有 b1＋b2
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32 第三十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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(3)因为 bn＝n＋an1＝n＋1 12＜nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜212＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －n＋1 1)＝14＋12－n＋1 1＜34.
33 第三十三页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
＋…＋bn＜47.
15 第十五页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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【思路点拨】 (1)先设 a1 与 d ，利用基本量法可求出 {an}的通项公式；(2)由通项求出 Sn，由 bn＝S1n，可用放缩 法与裂项相消法求和．
16 第十六页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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【解答过程】 (1)因为 f(12)＋f(1－12)＝f(12)＋f(12)＝12，所
以 f(12)＝14.
令 x＝1n，n∈N*，得 f(1n)＋f(1－1n)＝12，
即 f(1n)＋f(n－n 1)＝12.
(2)an＝f(0)＋f(1n)＋…＋f(n－n 1)＋f(1)，
又 an＝f(1)＋f(n－n 1)＋…＋f(1n)＋f(0)，
24 第二十四页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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两式相加得 2an＝[f(0)＋f(1)]＋[f(1n)＋f(n－n 1)]＋…＋[f(1) ＋f(0)]＝n＋2 1，
所以 an＝n＋4 1(n∈N*)． 又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14， 故数列{an}是等差数列．
(1)求 a1，a2 的值； (2)求 an； (3)设 bn＝n＋an1，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：Tn＜34.
28 第二十八页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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解析：(1)当 n＝1 时，有 4×(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1， 解得 a1＝8.
当 n＝2 时，有 4×(2＋1)(a1＋a2＋1)＝(2＋2)2a2，解得 a2＝27.
(2)若数列{an}满足：an＝f(0)＋f(1n)＋f(2n)＋…＋f(n－n 1)＋
f(1)，则数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
(3)令 bn＝4an4－1，Tn＝b12＋b22＋b23＋…＋b2n，Sn＝32－1n6.
试比较 Tn 与 Sn 的大小．
23 第二十三页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
7 第七页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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3. 某工厂的产值月平均增长率为 P，则年平均增长率为
A．12P
B．(1＋P)11－1
(C )
C．(1＋P)12－1
1＋P12－1 D. P
8 第八页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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解析： 设年初产值为 a，由题意可得，年末产值为 a(1＋p)12， 故年平均增长率为[a1＋pa12－a]＝(1＋p)12－1.
29 第二十九页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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(2)(法一)：当 n≥2 时，有 4(Sn＋1)＝n＋n＋212an，①
4(Sn－1＋1)＝n＋1n2an－1.②
①－②得：4an＝n＋n＋212an－n＋1n2an－1，化为aan－n 1＝n＋n313，
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n313·n－n313·…·4333·3233·23
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【思路点拨】 (1)依题意，第 k 次播放了 k＋18(ak－1－
k)＝18ak－1＋78k，由此能够推导出 ak 与 ak－1 的递推关系式．
34 第三十四页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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(1)设第 k 次播放后余下 ak 条，这里 a0＝y，ax＝0，求 ak 与 ak－1 的递推关系式；
(2)求该电视频道这一天内播放广告的时段 x 与广告的 条数 y.
35 第三十五页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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26 第二十六页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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【温馨提示】此类问题常常以函数的解析式为载体， 转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方 程”“等价转化”等．
27 第二十七页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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【跟踪训练 2】 (2014·广东深圳一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N＋)．
(1)求 a1，a2，a3 的值； (2)求数列{an}的通项公式．
20 第二十页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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解析：(1)由题意知 S2＝4a3－20， 所以 S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又 S3＝15，所以 a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又 S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， 所以 a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
a3 成等差数列，则 S4＝( C )
A．7
B．8
C．15
D．16
6 第六页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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解析：设数列{an}的公比为 q，则 4a2＝4a1＋a3，所以 4a1q＝4a1＋a1q2，即 q2－4q＋4＝0，所以 q＝2.所以 S4＝11－－224 ＝15.
小值是
.
12 第十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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解析：将 A、B 两点坐标代入 f(x)得12＝ab2 ，解得 1＝ab3
a＝18 b＝2
，所以 f(x)＝18·2x，所以 f(n)＝81·2n＝2n－3，所以 an＝
log2f(n)＝n－3.令 an≤0，即 n－3≤0，n≤3.所以数列前 3 项 小于或等于零，故 S3 或 S2 最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1) ＋0＝－3.
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因为 d≠0，所以ad1＝＝21 ， 则 an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)证明：当 an＝2n－1，则 Sn＝n＋2nn2－1＝n2，bn＝S1n ＝n12.
所以 b1＋b2＋…＋bn＝112＋212＋＋…＋n12＜1＋14＋(12－13)
＋(13－14)＋…＋(n－1 1－1n)＝74－1n＜74.
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第5讲 数列的综合应用
2 第二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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3 第三页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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1. 已知等差数列{an}的公差为 2，若 a1，a3，a4 成等比数
又 a1＝1，所以 d2－2d＝0，公差 d≠0， 所以 d＝2. 所以其前 8 项和 S8＝8a1＋8×2 7×d＝64.
11 第十一页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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5. 已知函数 f(x)＝a·bx 的图象过点 A(2，21)，B(3,1)，若
记 an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn 的最
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【解答过程】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d(d≠0)，
由 S5＝25，且 S1，S2，S4 成等比数列，
得52aa1＋1＋5d×22＝4d＝a1·245a1＋4×2 3d
，
解得：ad1＝＝05 或ad1＝＝21 .
17 第十七页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
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