《数值分析与数学建模》

2007-2008学年第一学期《数值分析与数学建模》课程考核题目
说明：
本次考核题目共有五个部分，请从每一部分中任选一题作答。

选择时请注意：每题难度不同分值也有所不同。

完成时间：2007－2008学年第二学期开学第一周前三个工作日，过期无效。

答卷提交方式：手写稿或打印稿请直接交到5号楼202室；电子稿可以发送Email 至 tzl99@ 。

要求：
（1）标清题号；
（2）列出关键的数学模型及模型中各参数的含义；
（3）可利用Matalb 软件中相关库函数直接求解，请注明你所用到的关键函数及其作用；
（4）也可以在建立模型之后，自行选择数值分析课程中介绍的合适算法并利用Matlab 软件编程实现；如此，你将获得额外加分；
（5）对得到的结果加以适当评价，以及对问题本身提出相应的思考与改进，也将获得额外加分； （6）鼓励相互讨论，不允许相互抄袭；雷同（绝大部分相同）答卷按无效答卷处理，不予记录成绩；若某些题目解答完全相同，则该题不得分。

第一部分
说明： Ex1、Ex2每题10分；Ex3~Ex6每题15分
Ex1：以定期存储为基础的储蓄账户的累积值可由“定期年金方程”确定，
]1)1[(-+=
n
i i
P A ；
在这个方程中，A 是账户中的数额，P 是定期存储的数额，i 是n 个存储期间的每期利率。

一个工程师想在20年内退休时储蓄账户上的数额达到750000美元，而为了达到这个目标他每个月能存1500美元。

为实现他的储蓄值目标，最小利率应是多少？假定利息是月复利的。

Ex2：在固定的时期内需付抵押贷款的数额问题和下面的称为“普通年金方程”的公式有关，
])
1(1[n
i i
P A -+-=
在这个方程中，A 是抵押贷款的数额，P 是每期付款的数额，i 是n 个付款期的每期利率。

假设需要30年房屋按揭贷款135000美元，又假设借款人每月至多能付1000美元房款。

借款人能付得起的最大利率是多少？
Ex3：病人用的药在血流中产生的浓度由ml
mg e
t A t c t 3
)
(-=给出（注射了A 单位药物后的t
小时以后血液中药物的浓度）。

病人能够承受的药物最大安全浓度是1 ml mg 。

（1）分别利用微积分知识以及Matlab 软件描绘出浓度随时间变化的图形；
（2）应该注射多大的量来达到最大的安全浓度？什么时候达到这个最大的安全浓度？
（3）在浓度下降到0.25ml mg 后，要给病人注射这种药的附加的药量。

确定何时应进行第二次注射，精确到分钟；
（4）假设连续注射的浓度是可加的，又假设开始注射的75％的药量仍在第二次注射中起作用。

什么时候可以进行第三次注射？
Ex4：Logistics （逻辑）人口增长模型由下面的方程描述
kt
L ce
P t P --=
1)(
（注：关于人口增长还有很多其他模型，可以自己查阅相关资料）
其中，c P L ,和0>k 为常数，)(t P 为t 时刻人口的数量。

L P 代表人口的极限值（因为L t P t P =→∞
)(lim ），
下表给出了从1940年到1990年的美国人口（按千人计）
表一：美国人口统计表
利用1950年，1960年，1970年的人口普查数据来确定逻辑增长模型中的常数
k
c P L ,,，并使用此模
型来预测美国在1980年和2010年的人口。

将预测值与实际值比较。

重新选择一组三个不同年份的数据确定模型中的参数，并重新预测，与第一次预测有什么区别？哪一个更好？为什么？还可以如何利用所给数据更准确的确定模型中的参数？
Ex5：Gompertz （龚珀兹）人口增长模型由下式给出，
kt
ce
L e
P t P --=)(
使用此模型解答Ex4中提出的问题。

Ex6：两个梯子交叉靠在一个宽为W 的胡同的两面墙上。

每个梯子从一面墙的底部靠在对面墙的某点。

两梯子相交点距离地面的高度为H 。

假设两个梯子的长度分别是20英尺和30英尺，又假设H ＝8英尺，求W 。

（如下图） 图一：梯子摆放示意图
第二部分
说明： Ex7、Ex8、Ex9每题15分，Ex10题20分
Ex7： 假设在一个生物系统中有n 种动物和m 个食物来源。

设
j x 表示第j 种动物的数量，i b 表示第i
种食物的日常供给；ij a 表示由第j 种动物平均消耗的第i 种食物的数量。

线性方程组，
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
221
12222212111212111
表示一种供求平衡，这里每日的食物供给恰好满足每种动物的日平均消耗。

（1）设⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣⎡==11
22013021)(ij a A ，]400,350,500,1000[)(==j x x ，和]900,2700,3500[)(==i b b 。

是否有足够的食物满足平均的日消耗？
（2）能够单独加到系统中而食物供给仍能满足消耗的每种动物的最大数目是多少？ （3）如果第一种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？ （4）如果第二种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？
Ex8：在一篇名为“Population Waves ”的文章中，Bernadelli 假设了一种具有3年自然生命期的简化的甲虫。

此种群中的雌虫在第一年的存活率为
2
1，从第二年到第三年存活率为
3
1，在第三年末死亡前平均生产6
个新的雌虫。

可用一个矩阵证明在概率意义下，一个雌虫对于种群中的雌虫数量做出的贡献，设矩阵
)(ij a A =中的ij a 表示年龄为j 的一个雌虫对于下一年年龄为i 的雌虫数量的贡献，即
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡==03
10
002
1600
)(ij a A
（1）因而一个雌虫对于2岁的甲虫所做的贡献由A 2中元素决定，对3岁甲虫所做的贡献由A 3中元素决定，等等。

请给出一个雌虫对于n 年内的甲虫数量的贡献。

（2）在未来年份里对于开始在每个年龄组中有6000个雌虫的此种甲虫组会有什么情况发生？ （3）计算A －
1，并说明它对此种群数量的重要性。

Ex9：食物链的研究是在生活的意义下确定环境污染物的传播和积聚方面的一个重要主题。

假定食物链有三个链节。

第一个链节由植物类型n v v v ,,,21 组成，它对于第二个链节中的食草物种m h h h ,,,21 提供了所有食物需求。

第三个链节由食肉动物k c c c ,,,21 组成，它们的食物供给完全依靠第二个链节中的食草动物。

矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m
m a a a a a a a a a A
2
1
2222111211
的元素ij a 表示由j h 种类的食草动物所吃掉的植物类型i v 的总量，矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mk m m k
k b b b b b b b b b B
2
1
2222111211 的元素ij b 表示由j c 种类的食肉动物所吃掉的类型为i h 的食草动物总量。

（1）求最终由j c 种动物消灭的i v 类植物的数量； （2）矩阵A －
1 ，B －
1 ，（AB ）－
1 =B －
1 A －
1 有何实际重要性？
Ex10: 利用Matlab 软件编写通用的Gauss_Seidel 迭代法和Jacobi 迭代法求方程组解的程序，并利用你所编写的程序解下面的三个线性方程组，在编程时注意统计迭代次数以及迭代成功或失败的信息；注意比较两种不同方法的收敛性及收敛速度。

(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+--=++-=+-5
2432212321321321x x x x x x x x x (3)
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=-+5
2227
22321
321321x x x x x x x x x 第三部分：
说明：Ex11题5分；Ex12~Ex14每题10分；Ex15题15分；Ex16题20分 Ex11：确定常数110,
,x c c ，使得下面的求积公式具有最高可能的代数精度，并指明按照你所求出的系
数，该公式具有几次代数精度？
)()0()(11010
x f c f c dx x f +=⎰
Ex12：人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。

我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439 km ，远地点距离地球表面2384 km ，地球半径为6371km ，求该卫星的轨道长度。

（需要用到的知识：椭圆的参数方程；第一类曲线积分即对弧长的曲线积分；数值积分方法；）鼓励利用Matlab 软件自行编写步长自动选择的复化Simpson 公式程序进行计算，将有额外加分。

Ex13：一辆汽车用84 s 的时间行驶完跑道的一圈。

汽车的速度每隔6 s 用雷达测速仪确定，数据如下（单位：ft / s ）
表二：汽车行驶速度
求跑道的长度。

（采用不同方法得出结果并进行比较将有额外加分。

）
Ex14：在液体中移动的质量为m 的一微粒受粘滞阻力R 的影响，这里R 是速度v 的函数。

阻力R 、速度v 和时间t 之间的关系由方程
⎰
=
)()
(0)
(t v t v du u R m t
给出。

假设对于一特定的液体有
v
v v R -=)(，其中R 的单位为Newton ，v 的单位为m/s 。

如果
m=10kg 和v(0)=10m/s ，求为了减慢到v=5m/s ，微粒所需时间的近似值。

Ex15：为了模拟碟式刹车的热特性（见下图），D.A.Secrist 和R.W.Hornbeck 需要根据下面的方程求制动片的“区平均排列温度”T 的近似值
⎰
⎰
=
00)(r r p r r p e
e
dr
r dr
r r T T θθ
其中，e r 代表蹄片与制动轮的接点开始的半径，0r
代表蹄片与制动轮接点的外半径，
p θ代表扇形制动
片所对的角度，)(r T 是制动片上每一个点的温度（根据对热传导方程的数值分析得到）。

假设
ft
308
.0=e r ，ft
478.00
=r ，
弧度
7051.0=p θ，又假设下表中给出的温度
是在制动轮上的不同点计算出来的。

求
T 的近似值。

表三：制动轮的温度
图二：碟式刹车制动轮示意图
Ex16：方程
0.45
dt 212
2
=-⎰
t
x e
π
可以用Newton 迭代法求出根x ，取
0.45
dt 21)(2
2
-=
-⎰
t
x e
x f π
及
2
2
21)(x
e
x f -=
'π
采用非线性方程求根的Newton 迭代法，需要计算一个积分
dt
212
2
t
x e
k -⎰
π
使用Newton 法（取x0=0.5）和复化Simpson 法则求方程f(x)=0的根的近似值（要求使用Matlab 软件自行编写程序）；采用复化梯形法代替上面的Simpson 法重新计算。

（如果对所得结果的截断误差做出正确评价，
将获得额外加分。

） 第四部分
说明：Ex17题10分；Ex18、Ex19每题15分；Ex20题20分；Ex21题25分
Ex17：利用Ex4中给出的数据，用Lagrange 插值求在1930年、1965年和2010年的人口的近似值。

1930年的人口大约是123203000，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精度如何？使用三次样条插值重新计算结果。

（采用软件直接求解）
Ex18：下表中列出了20名数学与计算机科学专业学生的平均成绩，还有他们的ACT （美国大学测试项目）中数学部分的得分。

将这些数据绘制成图，并求出这些数据的最小二乘直线方程，利用软件描绘出该直线。

并对所得结果从误差角度做出适当分析与评价。

数据方面有什么需要特殊处理么？
Ex19：假定某地区某天的气温变化记录如下：
利用样条插值法，找出这一天气温变化规律（温度与时间的函数关系），并将所得函数的图形与原数据点图形画在同一坐标系下比较（原数据点用’*’标识）
Ex20：推销商品的重要手段之一是做广告，而做广告要出钱，利弊得失如何估计，需要利用有关数学模型作定量的讨论。

某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往统计资料，零售价增高，则销量减少，具体数据见表三；如果做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子k表示，k与广告费的关系列于表四。

现在，已知水泥的进价是每吨250元。

问如何确定该批水泥的出售价格和花多少广告费，可使公司获利最大？
表三：水泥预期销售量与售价的关系
表四：售量提高因子k与广告费的关系
Ex21：施肥效果分析：某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。

某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。

当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

表五-1：N肥施肥量对土豆产量的影响
表五-2：P肥施肥量对土豆产量的影响
表五-3：K肥施肥量对土豆产量的影响
表六-1：N肥施肥量对生菜产量的影响
表六-2：P肥施肥量对生菜产量的影响
表六-3：K肥施肥量对生菜产量的影响
第五部分
说明：任选一题作答，每题均20分
Ex22：一处石油泄漏污染了200英里的太平洋海岸线。

所属石油公司被责令在14天内将其清除，逾期则要被处以10000美元/天的罚款。

当地的清洁队每周可以清洁5英里的海岸线，耗资500美元/天。

额外雇用清洁队则要付每支清洁队18000美元的费用和500美元/天的清洁费用。

（1） 为使公司的总支出最低，应该额外雇用多少支清洁队？此时公司的支出是多少？
（2） 讨论清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性。

分别考虑最优的额外雇用清洁队的数目和公司的总支
出（即分别考虑清洁队每周清洁海岸线长度有微小扰动时对最优的额外雇用清洁队的数目和公司的总支出的影响程度）。

分别以数据形式和理论推导给出你的结论；
（3） 讨论罚金数额的灵敏性。

分别考虑公司用来清理漏油的总天数和公司的总支出（即分别考虑罚金
数额的微小扰动对清理漏油的总天数和公司的总支出的影响）；
（4） 石油公司认为罚金过高而提起上诉。

假设处以罚金的唯一目的是为了促使石油公司及时清理泄漏
的石油，那么罚金的数额是否过高？
Ex23：据估计，长须鲸种群数量的年增长率为
)1(K
x
rx
其中，r=0.08为固有增长率，K=400000为环境资源所容许的最大可生存种群数量，x 为当前种群数量，现在为70000左右。

进一步估计出每年捕获的长须鲸数量约为0.00001Ex ，这里的E 为在出海捕鱼期的捕鱼能力水平。

给定捕鱼能力E ，长须鲸种群的数量最后会稳定在增长率与捕获率相等的水平。

（1） 求使稳定的捕获率达最大的捕鱼能力。

（2） 讨论固有增长率的灵敏性。

分别讨论最优捕鱼能力与相应的种群数量（即分别讨论固有增长率的
微小扰动对最优捕鱼能力和相应种群数量的影响）。

（3） 讨论最大可生存种群数量的灵敏性。

分别讨论最优捕鱼能力与相应的种群数量。

Ex24：在上题中，设出海捕鲸每个船上作业日的花费为500美元，一头捕获的长须鲸的价格为6000美元。

（1） 求使长期收益达最大的捕鱼能力；
（2） 讨论捕鲸花费的灵敏性。

分别讨论按“美元/年”计的最终年收益及捕鱼能力（即分别讨论捕鲸花
费的微小扰动对年收入及最优捕鱼能力的影响）；
（3） 讨论每头长须鲸价格的灵敏性。

分别讨论年收益及最优捕鱼能力；
（4） 在过去的30年中，有过几次不成功的全球禁止捕鲸的尝试。

讨论捕鲸者连续捕猎的经济动机。

特
别地，给出捕鲸可以长期获得持续收益的条件（两个参数的值：每个船上作业日的花费及每头长须鲸的价格）。