全国名校高考专题训练数学概率与统计

全国名校高考概率与统计
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的期望.
解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P 1=83
4
334=A
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2=169
4
3
2
22324=⋅⋅A C C （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P （ξ=0）=6427
4333= P （ξ=1）=64
27
4
33
2
13=
⋅C P （ξ=2）= 6494
3313=⋅C P （ξ=3）= 641
4333=C
∴ξ的分布列为：
∴期望E ξ=0×
6427+1×6427+2×649+3×641=4
3
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药的效果，把它给10个
病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种试验有效；反之， 则认为试验无效。

若服用新药后，病患者的痊愈率提高，则认为新药有效；反之， 则认为新药无效.试求：
（I ）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （II ）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.（精确到0.001） 解：（I ）0.514 （II ）0.224
Ａ１
Ａ２
Ａ３
Ａ４
Ｍ Ｎ
3、(江苏省启东中学高三综合测试三)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是
43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两人都做对的概率是4
1， (1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率。

解：（1）乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为83、32；（2）32
21
4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每１０分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。

（１）求甲经过2A 的概率；
（２）求甲、乙两人相遇经2A 点的概率； （３）求甲、乙两人相遇的概率；
解：（１）甲经过2A 到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过2A 的方法数：1
3C 种；
第二步：甲从2A 到Ｎ的方法数：1
3C 种；所以：甲经过2A 的方法数为213)(C ；
所以：甲经过2A 的概率209
)(3
6
2
13==C C P （２）由（１）知：甲经过2A 的方法数为：213)(C ；乙经过2A 的方法数也为：2
13)(C ；
所以甲、乙两人相遇经2A 点的方法数为： 4
13)(C ＝８１；
甲、乙两人相遇经2A 点的概率400
81
)(36364
13==C C C P
（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在
)4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有4
13)(-i C 种方法； 所以：4
33423413403)()()()(C C C C +++＝１６４
甲、乙两人相遇的概率100
41
400164==
P
5、(江西省五校2008届高三开学联考)下表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有50人，
成绩分1~5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人．将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为x ，数学成绩为y 。

设,x y 为随机变量（注：没有相同姓名的学生） （I ）1x =的概率为多少？33x y ≥=且的概率为多少？
（II ）a b +等于多少？当y 的期望为133
50
时，试确定a ，b 的值 .
解：（1）131184
(1),(3,3)50105025
P x P x y ++===≥===； （2）535107
(2)1(1)(3)150505050
a b P x P x P x ++==-=-≥=--==
3a b ⇒+= ①；
又5415158133
54321505050505050
b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
49a b ⇒+= ②；
结合①②可得1a =，2b =．
6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B 两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。

若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为3
1
,21。

问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。

解：设甲先答A 、B 所得奖金分别为ξ和η，则
a E a p a p p 65,613121)3(,31)311(21)(,21211)0(=∴=⨯===-===-
==ξξξξ
a E a p a p P 6
5612131)3(,61)211(31)2(,32311)0(=∴=⨯===-⨯===-
==ηηηη
∴=ηξE E 故先答哪一题都一样。

7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某校一年级新生英语成绩)10,75(~2
N ξ，已知95分以上的有21人，如果按成绩高低选前130人进入快班，问快班的分数线应如何确定？
)86.0)08.1(,97720)2(=Φ⋅=Φ
答：快班的分数线最低为85。

8分。

8、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
.
53
，且每次射击的结果互不影响 ①求射手在3次击中，至少有2次连续击中目标的概率（用数字作答） ②求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答） ③设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时射击的次数，求ξ的分布列。

解：① 12563 ② 625
162 ③
9、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．
（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=
所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=
该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．
（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布
(30.9)B ，，33()0.90.1k
k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，
，，，即ξ的分布列是
ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）
10、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且10
7)0(P =>ξ． （1）求文娱队的人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算E ξ．
解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7-x ）人，那么只会一项的人数是（7-2
x ）人．
(I)∵10
7)0(P 1)1(P )0(P =
=-=≥=>ξξξ， ∴3P(0)10
ξ==
． 即27227C 3C 10
x x --= ∴
(72)(62)3
(7)(6)10
x x x x --=--．
∴x =2．
故文娱队共有5人． (II) ξ的概率分布列为
11
23
2
5C C 3P(1)C 5
ξ⋅===， 10
1
C C )2(P 2
522===ξ
，
∴
331
E012
10510
ξ=⨯+⨯+⨯=
4
5
．
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