《定积分的概念》教学设计

《定积分的概念》教学设计
摘要:本教学设计是在新的教育理念的指导下,以学生为主导,通过学生实验、探究、讨论,教师启发、引导,共同研究解决诸如求曲边梯形面积等用通过局部取近似、求和取极限的方法,把总量归结为求一种特定和式极限的这样的问题,从而得出定积分的概念,然后回归到生活中解决实际问题。

关键词:曲边梯形面积;和式极限;定积分的概念
一、从教学计划和职业实践出发提出课题
《定积分的概念》是教育部高职高专规划教材《高等数学》第134页～136页第五章的第一节。

具体而言,该课题的当今意义是:现代社会生活中随处可见的日常用品多是不规则物体,而我们也生活在多变的空间,学生们对变化的东西充满好奇。

示范性意义是:通过定积分的概念的学习,可以引申到解决所有用通过局部取近似、求和取极限的方法,把总量归结为求一种特定和式的极限的这样的问题,扩大了学生的视野,也渗透到解决物理的问题。

未来意义是:学习后增强学生的思维和解决问题的能力,“以暂定久”“以常制变”“以局部驶整体”,这种思想会影响学生的一生。

领会:给学生一个任务，求曲边梯形的面积,通过学生亲自动手找到解决问题的方法,进而从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。

二、初始情境(分析参与者的基础知识以及学习的积极性和学习能力)
★我校所有“3+2”专业的第二学年第二学期,每班大概有50名学生,年龄大多在16岁，17岁,男女生比例为1:3。

全部都是初中毕业后基础较
差的学生,入学时学习动机不强,学习习惯和自觉性积极性不高,自我肯定
较低,有挫折感。

★对于中职二年级的学生来说初等数学已经学完,微积分中微分部分
和不定积分也已学过,具有一定的分析问题和解决问题的能力。

★该课题与日常生活息息相关,而学生对局部的、静态的和瞬时的事物,发生在“0”时刻的事件已有所了解,对全局的、动态的和无限的事件
充满好奇,所以学生学习有积极性。

★通过一个学年多的有意识的数学思维的训练和培养,学生初步具备
分组研究、合作学习的自信心以及讨论交流的能力。

三、制定出目标(专业方面、方法方面、社会方面和个人发展方面的能力)
1、专业方面目标
(1)通过探求曲边梯形的面积,了解“以直代曲”“逼近”的思想方法,构建定积分的认知基础;
(3)通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程,初步了解定积分产
生的背景。

2、过程与方法目标
(1)通过类比“割圆术”,引导学生萌发“分割”“近似”“以直代曲”的想法,变曲为直;
(2)通过对比分割后图像面积差的变化特点,突出“细分割、近似和、
渐逼近”的数学过程;
(3)通过数学软件的演示,观察数据特征,让学生经历“刨光磨平”的逼近过程,从直观上理解极限思想,接受极限值即准确值的数学事实。

3、个人发展方面目标
培养学生辩证地看待问题,从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变,加深自身素质的培养及良好习惯的养成。

4、社会方面目标
(1)通过学生分组研究和讨论,促使其参与意识和与团队合作的意识的逐步形成;
(2)通过这种数学思维的训练,认识到数学的美。

四、教学设计说明
在准备本节课时,我首先注意到了以下几个方面:一是如何激发学生的学习兴趣,使学生“想学、乐学、自主地去学”;二是从学生的角度来呈现数学思想的建构过程,与同学们共享成长;三是尽量采用符合同学们思维习惯的、易于接受的讲授方式;再就是,我非常关心学生在学习本课之后,将得到怎样的发展为此,我从数学情感上进行了渗透,描绘了定积分的美。

在课堂上,我将始终重视“以直代曲”“逼近”思想的渗透,强调“分割、近似、求和、取极限”的步骤,让同学们认真演练“四步曲”,最后通过探究,探讨ξi的任意性对面积逼近过程的影响,实现思想的升华。

这种迂回包抄、螺旋上升的处理方式,正是建构主义的处理方式。

我想通过这样的教学过程,让同学们在兴趣的带动下“想学”,在教师的帮助下“能学”,在数学思想的渗透和感化下“坚持学”,真正喜欢上数学,欣赏到数学的美。

★对于计划好的教学进程的阐述
1、导入(17分钟)
活动1:认识曲边梯形
分小组把各式各样的纸图形撕或剪成尽可能多的长方形,每组派代表
展示自己把长方形剪下后余下的图形,分析它有何特征在教师的引导下找
出它们的共同特征,引入曲边梯形的概念。

活动2:求曲边梯形的面积
曲边梯形的面积如何来求呢(一问激起千层浪,开门见山,让学生明确
本节课所要学习的内容)
简单介绍:中国古代数学成就之一刘徽创立的割圆术。

(1)让学生自己
探求,讨论;(2)让学生说出自己的想法(在讨论的过程中渗透分割的思想)。

通过讨论希望学生能得出以下三种方案,在讨论的过程中,让学生想到
以直代曲,给学生创新的机会:①有的学生用小梯形的面积近似代替小曲边
梯形的面积;②有的学生则会用小矩形的面积进行近似代替;③有的学生则
会用大矩形的面积进行近似代替。

教师引导学生用小矩形的面积进行近似代替,于是让大家进行活动2:
把你们刚才剩下的边角余料,即曲边梯形,第一组撕成尽可能大的4个矩形,第二组撕成尽可能大的5个矩形,依次类推,第六组撕成尽可能大的9个矩形。

大家比较哪一组余下的边角料面积最小
这是本节课内容的核心,故多花点时间引导学生探求、讨论得出,让学
生体会“以直代曲”的思想,从近似中认识精确,给学生探求的机会
2、回归数学:求曲边梯形面积的过程(10分钟)
教师总结上述学生得到的成果,用多媒体演示。

教师通过多媒体动画边演示边讲解,把学生探究的知识回归数学,把具
体的问题数学化,总结了各组的成果,大家共同分享。

并在展示的过程中,
帮助学生扫清思想障碍,促使学生领会求图形面积的近似值的思想方法。

3、思维提升:推广如何求曲边梯形面积的思想(10分钟)
求变速直线运动的路程。

教师提出问题,小组讨论,大家抢答选派一名
同学说出求变速直线运动的路程的思想。

总结归纳上述两个问题解决的方
法的共同点。

在此基础上教师可以适时地提出一些相似的问题,如求粉笔的线密度、旋转体的体积等,大家通过上述学习,经过讨论,可以提出解决问题的思想
方法,思维进行了提升。

这个过程的设计起到了趁热打铁的作用。

通过教师引导,学生思维经
历从特殊到一般的过程,有梯度的层层提升,在教师的帮助下完成了思维的
飞跃。

4、归纳总结得出定积分的概念(5分钟)
师:这些问题虽然研究的对象不同,但解决问题的思路及形式都有共同
之处。

为了解决这类问题,就有必要撇开它们的具体含义,而加以概括、抽
象得出定积分的概念(多媒体给出定义,教师叙述)。

5、课堂小结:(1分钟)
定积分的思想。

6。

布置作业:(2分钟)
(1)感悟收获:通过本节课的学习,你收获到了什么有何感受
(2)以小组为单位提交一份用定积分思想解决问题的实例。

★对于计划好的教学成果考核的阐述
实验成果评估:根据分组讨论如何能求出曲边梯形的面积的思想作为
标准。

此外探讨过程中成员的分工合作、思维方式及完成的时间,学生对
数学课的热情程度、学生投入学习的程度、基础知识和基本技能掌握程度、学生创新意识和探索精神、学生运用数学知识解决身边问题的能力等,都
是评价的内容。

引导问题的过程讨论:对“以直代曲”的思想分析以及根据这种解决
问题的思想进行过程性情况描述。

五、评价设计
由于定积分的概念在实际应用中比较烦琐,要求学生主要掌握它的思想。

班级:姓名:成绩:
六、教学反思
在教学过程中有几个问题值得注意:
(1)本节通过在大量的生活实例的介绍前提下,已经在学习过程中对
“以直代曲”的思想有了初步的认识和印象,但由于学生思维和认知水平
还处于发展的阶段,对于他们来说掌握解决求曲边梯形面积的这种定积分
的思想还是一个非常困难的问题,需要一个过程。

本节的重点在于对思想
方法的理解,所以不必要求每个学生都叙述得很清楚,要让学生在学习的过
程逐步体会“以直代曲”以及从特殊到一般的思想方法的形成过程,为学生的终身学习奠定基础。

(2)在教学过程中还值得注意的是分组学习讨论,会造成一些学生等现成的现象,所以教师要采取大家都参与的措施,每次讨论结果有小组成员轮流发言,不能只顾学习好的同学。

总之,通过对本节课的反思,更深刻地体会了素质教育的理念,把课堂还给了学生,学生才有可能焕发出生命活力,把课堂还给了学生,课堂才能成为新观点、新思想、新方法、新知识不断生成的孵化地。