1.5.3 定积分的简单应用

2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2

4x)
|84

40 3
.
y 2x
S S2
1
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量
还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2x
变形为 x y2
2
4
4 y2
S 0 ( y 4)dy 0
＝(8x－13x3) －13x3 ＝634.
【总结提升】
(1)求不分割图形面积的步骤为：画图形； 求交点(以确定积分上下限)；用定积分表 示再计算． (2)一般原则上函数－下函数作被积函数．
探究点3 变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则 此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
解：如图，由x2-1=0得到抛物线 与x轴的交点坐标是(-1,0)，
y
(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
1
1
x
x3
2 x3
18
( x) ( x) .
3
13
1 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围；(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
面图形的面积S.
主要有以下三种常见类型：
①如图①所示，f(x)＞0，bf(x)dx＞0，
a
∴S＝bf(x)dx.
a
②如图②所示，f(x)＜0，bf(x)dx＜0，
a
∴S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.
a
a
③如图③所示，当a≤x≤c时，f(x)＜0，cf(x)dx＜0； a
力做功问题，可以得到W＝bF(x)dx. a
【练习2】 已知做自由落体运动的物体的速度为v＝gt，则物体 从t＝0到t＝t0所走过的路程为( )
A.13gt02 B．gt20 C.12gt20 D.14gt20
2 新视点·名师博客
1.几种典型的平面图形面积的计算
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成平
S＝-244－y－y22dy ＝4y－12y2－16y3|2－4＝18.
y
A
0a
bX
1
a
b
A2
a
b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边） 面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b (a<b)所围成平面图形的面积S
y f (x)
y
y f (x)
y g(x)
oa
bx
(1)
y g(x) (2)
总结：当 x∈[a，b]有 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)
和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积
S＝
b
a

f

x

g

x dx
.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积 S.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组

y y
2x x2
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) S a f (x)dx
b
(2) S a f (x)dx
c
b
c
b
(3) S | a f (x)dx | c f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
曲边形面积的求解思路
导数及其应用 1.5.3 定积分的简单应用
引入1 求平面图形的面积:
y y f (x)
A
oa
bx
y
oa
y f2(x)
A
y f1( x)
bx
b
A a f ( x)dx
A
b[ a
f
2
(
x)

f1( x)]dx
引入2 求运动物体的位移
y f (x)
S1
S3
S2
我们已经看到，定积分可以用来计算平面图形的 面积，求运动物体的位移，事实上，定积分有着广 泛的应用，下面我们就一起学习定积分的简单应用 吧！
运动,如果物体沿着与F 相同的方向移动了s
(单位:m),则力F所做的功为W = Fs.
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并 且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到 x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所做的功
F
y F(x)
Oa
x
b
l
图1.7 4
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩)弹簧所需的力F x 与
b[f(x)－g(x)]dx.
a
②如图⑤所示，当f(x)＞0，g(x)＜0时，
S＝bf(x)dx＋|bg(x)dx|＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
图④
图⑤
2．求由两条曲线围成的平面图形的面积的步骤 (1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分 上、下限；
目标导航 1．掌握应用定积分解决求比较复杂的平面图形的面积问题； 2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定 积分的几何意义的理解；
3．掌握应用定积分解决求变速直线运动的路程，求变力做功等 问题．
1 新知识·预习探究 知识点一 定积分在几何中的应用
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那 么定积分 b f(x)dx表示直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围

4
(0 ≤ x ≤ 2) ( 单 ( x 2)
位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处
运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为
(B )
A. 44 J B. 46 J C. 48 J D. 50 J
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积.
直线y=x-4与x轴交点为(4,0).
因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
2
23 x2
42
23 x2
8 1 (x 4)2
8 40 .
3
03
42
43
y 2x
弹簧拉伸或压缩 的长度 x l
成正比,即F x = kx,其中常
数k是比例系数.
图1.7 4
由变力做功公式,得W =
l 0
kxdx
=
1 2
kx2
l 0
=
1 2
kl2
J.
答:
克服弹力所做的功为1 2
kl2
J.
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于
(C )
A.1 (x－x3)dx
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】 曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
()
A．2
B．3
5 C.2
D．4

3

3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋| 2

cosxdx|＝ 2 0
cosxdx－ 2

cosxdx＝sinx|

2 0
y2＝2x， y＝－x＋4，
求出
交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
方法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部
分(如图)，则面积为
S＝S1＋S2＝202
2xdx＋8( 2
2x－x＋4)dx
＝18.
方法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求 的面积为
dy 2
40 . 3
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．
解析 作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组，yy＝ ＝8x－ 2 x2
得交点的横坐标为 x1＝－2 及 x2＝2.
因此，所求图形的面积为
S＝-22 (8－x2)dx－-22x2dx
3.变速直线运动的路程 设物体运动的速度v=v(t) (v(t)≥0) ，则
此物体在时间区间[a, b]内运动的路程s为
4.变力沿直线所做的功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物
体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F (x)dx
－
2
2
sinx|
3
2
＝1＋2＝3.
2
答案：B
知识点二 定积分在物理中的应用
1．做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝
bv(t)dt.
a
2．一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿 着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs.与曲边 梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变
v
v v(t)
t
Oa
b
30 A
B
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
解 : 由速度 时间曲线可知 : 图1.7 3
3t ,
0 t 10;
v t 30,
10 t 40;
1.5t 90, 40 t 60.
因此汽车在这1min行驶的路程是 :
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. 2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法. （重点、难点） 3.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. 4.体会定积分在物理中的应用（变速直线运动的路程、变力 沿直线做功）.（重点、难点）
探究点1 定积分在几何中的应用
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴所围成平面图形的面积S
S2 S1
y x4
本题还有其他解法吗？
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
s
10
3tdt
40
30dt
60 1.5t 90dt.
0
10
40

3 2
t2
10 0

30t
40 10



3 4
t2

90t

60 40
1 350m.
答 :汽车在这1min行驶 的路程是1 350m.
探究点4 变力做功
一物体在恒力F 单位:N的作用下做直线
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.
3 新课堂·互动探究 考点一 利用定积分求平面图形的面积 例1 求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
解析：先求抛物线和直线的交点，解方程组
－1
B.1 (x3－x)dx
－1
C．21(x－x3)dx 0
D．20 (x－x3)dx
－1
2.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长
6cm,克服弹力所做的功为( A )
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
3.
一
物
体
在
力
F(x)

10 3 x
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
O
y
y2 x B
y x2
C
o
x
D A
【总结提升】 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x y 2x S2源自的图象如图所示，所求面积为图
S1
中阴影部分面积.
解方程组
y y
= =
x
2x -4
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为8,4.
图①
图②
图③
当c≤x≤b时，f(x)＞0，bf(x)dx＞0.
c
∴S＝|cf(x)dx|＋bf(x)dx
a
c
＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
(2)由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形
的面积S.
①如图④所示，当f(x)＞g(x)＞0时，S＝