【走向高考】高三数学二轮专题复习 3-2数列的应用课后作业 新人教A版

【走向高考】2014届高三数学二轮专题复习 3-2数列的应用课后作
业 新人教A 版
一、选择题
1．(2013·重庆模拟)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2
－x －2013的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4＝( )
A ．2013
B ．1
C ．－1
D ．－2013
[答案] D
[解析] 由条件得，a 1a 4＝a 2a 3＝－2013.
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2
＋n ，数列{b n }满足b n ＝1
a n a n ＋1
(n ∈N *
)，T n
是数列{b n }的前n 项和，则T 9等于( )
A.919
B.18
19 C.
2021 D.940
[答案] D
[解析] ∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2
＋n ，∴n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝
S n －S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝
1
a n a n ＋1＝
1
2n
n ＋＝14(1n －1n ＋1)，T 9＝14[(1－12
)＋(12－13)＋…＋(19－110)]＝14×(1－110)＝9
40
. 3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R)，且f (1)＝52，则数列{f (n )}(n ∈N *)
前20项的和为( )
A ．305
B ．315
C ．325
D ．335
[答案] D
[解析] ∵f (1)＝52，f (2)＝32＋5
2
，
f (3)＝32＋32＋52
，…， f (n )＝3
2
＋f (n －1)，
∴{f (n )}是以52为首项，3
2为公差的等差数列．
∴S 20＝20×5
2
＋
－2
×3
2
＝335. 4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
[答案] C
[解析] ∵S n ＝na 1＋
n n －
2
d ，∴S n ＝d 2
n 2＋(a 1－d
2
)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点
(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．
[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .
5．(2013·成都市二诊)已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *
，且a 5＝π2.若函
数f (x )＝sin2x ＋2cos 2
x
2
，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )
A ．0
B ．－9
C ．9
D ．1
[答案] C
[解析] 据已知得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即数列{a n }为等差数列，又f (x )＝sin2x ＋2×1＋cos x 2＝sin2x ＋1＋cos x ，因为a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，故cos a 1＋cos a 9＝cos a 2
＋cos a 8＝…＝cos a 5＝0，又2a 1＋2a 9＝2a 2＋2a 8＝…＝4a 5＝2π，故sin2a 1＋sin2a 9＝sin2a 2＋sin2a 8＝…＝sin2a 5＝0，故数列{y n }的前9项之和为9，故选C.
6．(2012·金华模拟)已知a n ＝3
2n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述
正确的是( )
A ．a n 与S n 都有最大值
B ．a n 与S n 都没有最大值
C ．a n 与S n 都有最小值
D ．a n 与S n 都没有最小值
[答案] C
[解析] 画出a n ＝3
2n －11
的图象，
点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(11
2
，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大
二、填空题
7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(m)．
[答案] 2000
[解析] 设放在第x 个坑边，则
S ＝20(|x －1|＋|x －2|＋…＋|20－x |)
由式子的对称性讨论，当x ＝10或11时，
S ＝2000.
当x ＝9或12时，S ＝20×102＝2040，…，当x ＝1或19时，S ＝3800. ∴S min ＝2000(m)．
8．(2013·重庆理，12)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若
a 1、a 2、a 5成等比数列，则S 8＝________.
[答案] 64
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2
2＝a 1a 5， ∴(1＋d )2
＝1×(1＋4d )，即d 2
＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2， ∴S 8＝8×1＋8×7
2×2＝64.
三、解答题
9．(2013·天津理，19)已知首项为3
2的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *
)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *
)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，
于是q 2
＝a 5a 3＝14
.
又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1
2
.
故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1
·32n .
(2)由(1)得
S n
＝1－(－1
2)n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1
2n
，n 为奇数，1－1
2n
，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝3
2，故
0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56
.
当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以3
4＝S 2≤S n <1，故
0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712
.
综上，对于n ∈N *
，总有－712≤S n －1S n ≤56.
所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7
12
.
10．(2013·呼和浩特市二调)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．
(1)求{a n }的公比q ；
(2)若a 1－a 3＝－3
2，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .
[解析] (1)由已知得2S 3＝S 1＋S 2，
∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(a 1＋a 2)， ∴a 2＋2a 3＝0，a n ≠0， ∴1＋2q ＝0，∴q ＝－1
2
.
(2)∵a 1－a 3＝a 1(1－q 2
)＝a 1(1－14)＝34a 1＝－32，
∴a 1＝－2，∴a n ＝(－2)·(－12)n －1＝(－12)n －2
，
∴na n ＝n (－12
)n －2
.
∴T n ＝1·(－12)－1＋2·(－12)0＋3·(－12)1＋…＋n ·(－12)n －2
，①
∴－12T n ＝1·(－12)0＋2·(－12)1＋3·(－12)2＋…＋n ·(－12)n －1
，②
①－②得
32T n ＝－2＋[(－12)0＋(－12)1＋(－12)2＋…＋(－12)n －2]－n ·(－1
2)n －1 ＝－43－(－12)n －1(2
3＋n )，
∴T n ＝－89－(－12)n －1(49＋23
n ).
一、选择题
1．(文)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则
f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )
A ．n (2n ＋3)
B ．n (n ＋4)
C ．2n (2n ＋3)
D ．2n (n ＋4) [答案] A
[解析] 设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2
＝(k ＋1)×(13k ＋1)⇒k ＝2，
f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2
＋3n .
(理)已知数列{a n }是等比数列，且每一项都是正数，若a 1，a 49是2x 2
－7x ＋6＝0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )
A.
21
2
B ．9 3
C ．±9 3
D ．35
[答案] B
[解析] ∵{a n }是等比数列，且a 1，a 49是方程2x 2
－7x ＋6＝0的两根， ∴a 1·a 49＝a 2
25＝3.而a n >0，∴a 25＝ 3.
∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49＝a 5
25＝(3)5
＝93，故选B.
2．(2013·辽宁文，4)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a n
n
}是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 [答案] D
[解析] 例如数列－2，－1,0,1,2，…，则1×a 1＝2×a 2，排除p 2，如数列1,2,3，…，则a n n
＝1，排除p 3，故选D.
3．已知函数f (x )＝log 2x ，等比数列{a n }的首项a 1>0，公比q ＝2，若
f (a 2·a 4·a 6·a 8·a 10)＝25，则2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2012)等于( )
A ．21004×2009
B ．21005×2009
C ．2
1005×2011 D ．2
1006×2011
[答案] D
[解析] f (a 2·a 4·a 6·a 8·a 10) ＝log 2(a 2·a 4·a 6·a 8·a 10) ＝log 2(a 51q 25
)＝25， 即a 5
1·q 25
＝225
，
又a 1>0，q ＝2，故得到a 1＝1.
2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2012)＝2f (a 1)·2f (a 2)·…·2f (a 2012) ＝2log 2a 1·2log 2a 2·…·2log 2a 2012 ＝a 1·a 2·…·a 2012＝a 2012
1·q 1＋2＋…＋2011
＝1
2012
×2
＋2
＝2
1006×2011
.故选D.
4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝1
2n (n ＋1)(2n ＋1)t ，但如果年产量超过
150t ，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )
A ．5年
B ．6年
C ．7年
D ．8年
[答案] C
[解析] 本题以实际应用题为背景考查数列中S n 与a n 的关系．由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2
.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．
5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f (x )＝x 2;
②f (x )＝2x
； ③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.
则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ [答案] C
[解析] 不妨设a n ＝2n
，①∵f (x )＝x 2
，∴f (a n )＝a 2
n ＝4n ，∴①满足；②∵f (x )＝2x
，
∴f (a n )＝2a n ＝22n
，令b n ＝f (a n )，显然b n ＋1b n ＝22n ＋122
n ＝22n ＋1－2n ＝22n
，∴②不满足，排除A 、
D ；④∵f (x )＝ln|x |，∴f (a n )＝ln|a n |＝ln2n
＝n ln2，显然f (a n )是等差数列，④不满足，排除B ，故选C.
6．(2013·福建理，6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )
A ．计算数列{2n －1
}的前10项和 B ．计算数列{2
n －1
}的前9项和
C ．计算数列{2n
－1}的前10项和 D ．计算数列{2n
－1}的前9项和 [答案] A
[解析] 由框图结合k ＝10可知此框图进行了10次运算，结果为1＋2＋4＋9＋…＋29
，故选A.
二、填空题
7．函数y ＝x 2
(x >0)的图象在点(a k ，a 2
k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *
，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.
[答案] 21
[解析] y ′＝2x ，∴切线斜率k ＝2a k ， 切线方程y －a 2
k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0得x ＝12a k ，∴a k ＋1＝1
2a k ，
又a 1＝16，∴a n ＝16×(12
)n －1＝25－n
，
∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.
8．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *
，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若
a ⊥
b ，则数列{
a n
a n ＋1a n ＋4
}的最大项的值为________．
[答案] 1
9
[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， ∴S n ＝n n ＋
2，∴a n ＝n ，
∴
a n a n ＋1·a n ＋4
＝
n n ＋
n ＋
＝
1n ＋4n
＋5
，当n ＝2时，n ＋4n 取最小值4，此时a n
a n ＋1a n ＋4取到最大值1
9
.
三、解答题
9．(2013·福建文，17)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．
[解析] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列． 所以a 2
1＝1×(a 1＋2)，
即a 2
1－a 1－2＝0，解得a 1＝－1，或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 2
1＋8a 1，
即a 2
1＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.
10．(文)(2012·东城模拟)定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2
n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．
(1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列； (2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)…(2a n ＋1)，求T n 关于n 的表达式；
(3)记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ，并求使S n >2012成立的n 的最小值．
[解析] (1)证明：由题意得a n ＋1＝2a 2
n ＋2a n ， ∴2a n ＋1＋1＝4a 2
n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2
. 所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”． 令c n ＝2a n ＋1，所以lg c n ＋1＝2lg c n .
因为lg(2a 1＋1)＝lg5≠0， 所以
a n ＋1＋a n ＋
＝2.
所以数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列． (2)由(1)知lg(2a n ＋1)＝(lg5)×2n －1
，
∴2a n ＋1＝10(lg5)×2
n －1
＝52
n －1
，
∴T n ＝520
×521
×522
×…×52
n －1
＝520
＋21
＋…＋2
n －1
＝52n
－1.
(3)∵b n ＝log2a n ＋1T n ＝2n
－12n －1＝2－(12
)n －1
，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n －
－1
2
n
1－12
＝2n －2＋1
2
n －1，
由2n －2＝2012得n ＝1007，
∴S 1006＝2×1006－2＋121005∈(2010,2011)，S 1007＝2×1007－2＋1
21006∈(2012,2013)．
故使S n >2012成立的n 的最小值为1007.
(理)已知曲线C ：xy ＝1，过C 上一点A n (x n ，y n )作一斜率为k n ＝－
1
x n ＋2
的直线交曲线C 于另一点A n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)，点列{A n }的横坐标构成数列{x n }，其中x 1＝11
7
.
(1)求x n 与x n ＋1的关系式； (2)令b n ＝
1x n －2＋1
3
，求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝3n
－λb n (λ为非零整数，n ∈N *
)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *
，都有
c n ＋1>c n 成立．
[分析] (1)由直线方程点斜式建立x n 与y n 关系，而(x n ，y n )在曲线xy ＝1上，有x n y n
＝1，消去y n 得x n 与x n ＋1的关系；(2)由定义证
b n ＋1
b n
为常数；(3)转化为恒成立的问题解决． [解析] (1)过点A n (x n ，y n )的直线方程为y －y n ＝－1
x n ＋2
(x －x n )， 联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
y －y n ＝－1x n ＋2
x －x n xy ＝1
，消去y 得
1x n ＋2x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y n ＋x n x n ＋2x ＋1＝0.
解得x ＝x n 或x ＝x n ＋2x n
. 由题设条件知x n ＋1＝
x n ＋2x n . (2)证明：b n ＋1b n ＝1x n ＋1－2＋131x n －2＋13
＝1x n ＋2x n －2＋131x n －2＋13＝x n 2－x n ＋131x n －2＋13＝3x n ＋2－x n －x n 3＋x n －2x n
－
＝－2. ∴数列{b n }是等比数列，b 1＝
1x 1－2＋13＝－2，q ＝－2. (3)由(2)知，b n ＝(－2)n ，要使c n ＋1>c n 恒成立，由c n ＋1－c n ＝[3
n ＋1－λ(－2)n ＋1]－[3n
－λ(－2)n ]＝2·3n ＋3λ(－2)n >0恒成立， 即(－1)n λ>－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1恒成立． ①当n 为奇数时，即λ<⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1恒成立． 又⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1的最小值为1，∴λ<1. ②当n 为偶数时，即λ>－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1恒成立， 又－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1的最大值为－32，∴λ>－32， 即－32
<λ<1.又λ为非零整数， ∴λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n .。