高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》综合训练

新数学《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()
32
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）
A ．7
B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
3．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2
1log 5a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C 【解析】
由题意：()221log log 55a f f ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
4．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2
- B ．1(,1)(,)2
-∞-+∞U C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又()
()2210f x f x -+>，
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-，
∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
5．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
13
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知函数()210
0ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，
，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
7．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
9．函数()3ln 2x
f x x x
=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()22
1ln '6x
f x x x
-=+， 则所求切线的斜率()22
1ln1
'16171
k f -==+⨯=， 且：()0
12121
f =
+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
10．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．
32
C ．2
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程
()0f x =可得出函数()y f x =的零点．
【详解】
141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，
2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3
2
，故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．
11．若函数f （x ）=()x 1
2
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪
⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(]
,5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】
由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+
()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以
4a 1+≥-，
解a 5≥-. 故选B. 【点睛】
本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
12．已知函数(
))
ln
f x x =，设()3lo
g 0.2a f =，()0.23b f -=，
()
1.13c f =-，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】
∵())
ln
f x x =
∴())f x x ==
∴())f x x -=
∵当0x >1x >；当0x <时，01x <
∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，
())f x x -=；
当0x <时()))f x x x ==；
()))f x x x -=-=.
∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数
∴当0x >时，易得())f x x =为增函数
∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1
(3)(3)c f f =-=
∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>
∴ 1.10.2
3(3)(log 5)(3)f f f ->>
∴c a b >> 故选D.
13．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
===（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】 根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x f x x =，求导
()2
1ln x
f x x
-'=
，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】 令()ln x
f x x
=
， 所以()2
1ln x
f x x
-'=
， 当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
14．已知函数()2
cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3
15c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数
故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
()331log log 55b f f ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭，
由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
15．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0 C ．x +y -2＝0 D ．3x -y -2＝0
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】
当0x >时，0x -<，2
()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以
2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1
()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.
故选：A ． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ）
A ．()f x 有极大值
1e
B ．()f x 有极小值1e
-
C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论. 【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-.
当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>. 所以，函数()x
f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-
，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
17．设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】 由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】
∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>=
=<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
18．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25 【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利
用运算法则可知32lg 2lg 3
n ≥
⨯-，由此计算得到结果. 【详解】 记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭
， 即324.0220.30100.4771
n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .
【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
19．已知函数()2ln 2x
x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x
=的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >>
B ．213x x x >>
C ．312x x x >>
D ．321x x x >> 【答案】A
【解析】
【分析】
根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =
<，即314
x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x
'=+-Q 在()0,∞+上单调递增
且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增 且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭
且()g x 单调递增 12x x ∴>
由()21ln 2x h x x
-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.
20．
设11
3000
,,a b xdx c x dx ===⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．a b c >>
【答案】D
【解析】
根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=
== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，134100
11|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。