新教材人教版高中物理 精品资料第4讲 功能关系 能量守恒定律

第4讲功能关系能量守恒定律
一、几种常见的功能关系及其表达式
力做功能的变化定量关系合力的功动能变化W＝E k2－E k1＝ΔE k
重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)W G＝－ΔE p＝E p1－E p2
弹簧弹力的功弹性势能变化
(1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2
只有重力、弹
簧弹力做功
机械能不变化机械能守恒，ΔE＝0 除重力和
弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化
(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多
少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多
少
(3)W其他＝ΔE
一对相互
作用的滑动摩擦力的总功机械能减少
内能增加
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，
系统内能增加
(2)摩擦生热Q＝F f x相对
【自测(多选) (2021·广东佛山市模拟)如图1所示，质量为m的物体(可视为质点)
以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为3
4g，
此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体()
图1 A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了1
2mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功1
4mgh
答案AB
二、两种摩擦力做功特点的比较
三、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

2．表达式
ΔE减＝ΔE增。

3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

命题点一功能关系的理解
1．只涉及动能的变化，用动能定理分析。

2．只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。

3．只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析。

【例1(多选) (2021·广东省选择考模拟)蹦床是少年儿童喜欢的一种体育运动，如图2所示，蹦床的中心由弹性网组成，若少年儿童从最高点落下至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童()
图2
A．机械能一直减小
B．刚接触网面时，动能最大
C．重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功
D．重力势能的减少量等于弹性势能的增加量
答案AC
解析儿童从最高点落下直至最低点的过程中，弹簧弹力以及空气阻力一直做负功，因此其机械能一直减小，故A正确；儿童和弹性网接触的过程中先加速然后减速，故刚接触网面时，动能并非最大，故B错误；根据功能关系可知，重力做功等于克服空气阻力和克服弹簧弹力做功的和，则重力势能的减少量大于弹性势能的增加量，重力的减少量大于克服空气阻力做功，故C正确，故D错误。

【针对训练1】(多选)(2021·东北三省四市教研联合体模拟)第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400 m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目。

一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3 000 J，他克服阻力做功500 J，则在此过程中这名游客()
A．重力势能增加了3 000 J
B．动能增加了3 000 J
C．动能增加了2 500 J
D．机械能减少了500 J
答案CD
解析重力做正功，所以游客的重力势能减少了3 000 J，A错误；合力做的功等于动能的增加量，所以动能增加了3 000 J－500 J＝2 500 J，B错误，C正确；重力外的其他力做的功等于机械能的变化，阻力做负功500 J，所以机械能减少了500 J，D正确。

命题点二功能关系的综合应用
【真题示例2(多选)(2020·山东卷)如图3所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。

现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。

轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。

以下判断正确的是()
图3
A．M<2m
B．2m<M<3m
C．在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
答案ACD
解析由题意可知钩码B可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，故在最低点时弹簧弹力T＝2mg；对A分析，设绳子与桌面间夹角为θ，则依题意有2mg sin θ＝Mg，故有M<2m，故A正确，B错误；由题意可知B从释放位置到最低点的过程中，开始弹簧弹力小于重力，钩码加速，合力做正功；后来弹簧弹力大于重力，钩码减速，合力做负功，故C正确；对于B，在从释放到速度最大的过程中，B 机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功，即等于B克服弹簧弹力所做的功，故D正确。

【针对训练2】(多选)(2021·福建省名校联考)如图4所示，一个质量为M、长为L的木板B静止在光滑水平面上，其右端放有可视为质点的质量为m的滑块A，现用一水平恒力F作用在滑块上，使滑块从静止开始做匀加速直线运动。

滑块和木板之间的摩擦力为F f，滑块滑到木板的最左端时，木板运动的距离为x，此过程中下列说法正确的是()
图4
A．滑块A到达木板B最左端时，具有的动能为(F－F f)(L＋x)
B．滑块A到达木板B最左端时，木板B具有的动能为F f x
C．滑块A克服摩擦力所做的功为F f L
D．滑块A和木板B增加的机械能为F(L＋x)－F f L
答案 ABD
解析 对滑块A 分析，滑块A 相对于地面的位移为(L ＋x )，根据动能定理得(F －
F f )(L ＋x )＝12m v 2－0，则知滑块A 到达木板B 最左端时具有的动能为(F －F f )(L ＋
x )，选项A 正确；对木板B 分析，根据动能定理得F f x ＝12M v ′2－0，则知滑块A
到达木板B 最左端时，木板B 具有的动能为F f x ，选项B 正确；滑块A 克服摩擦力所做的功为F f (L ＋x )，故选项C 错误；根据能量守恒定律得，外力F 做的功等于木板B 和滑块A 的机械能和摩擦产生的内能，则有F (L ＋x )＝ΔE ＋Q ，其中Q ＝F f L ，则滑块A 和木板B 增加的机械能为ΔE ＝F (L ＋x )－F f L ，选项D 正确。

【针对训练3】 (2021·河北廊坊市摸底)一质量为m 的小球，从地面附近的某高度处以初速度v 水平抛出，除重力外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v ，方向竖直向下，小球还未到达地面。

在此过程中( )
A ．小球的动能增加了12m v 2
B ．小球的重力势能减少了2m v 2
C ．小球的机械能增加了2m v 2
D ．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
答案 B
解析 小球的动能增加了ΔE k 增＝12m (2v )2－12m v 2＝32m v 2，故A 错误；小球在竖直
方向做自由落体运动，且水平恒力作用一段时间后，小球运动速度方向竖直向下，说明水平方向的速度恰好减为零，小球的重力势能减少了ΔE p 减＝mgh ，又(2v )2＝2gh ，联立得ΔE p 减＝2m v 2，故B 正确；下落过程根据动能定理得W F ＋mgh ＝ 12m (2v )2－12m v 2，即W F ＋2m v 2＝12m (2v )2－12m v 2，解得W F ＝－12m v 2，水平恒力做
功为－12m v 2，小球的机械能减少12
m v 2，重力做功等于重力势能的减少量即为2m v 2，故C 、D 错误。

题型自我感悟
1．力学中的功能关系主要有哪些？
提示 (1)重力(弹簧弹力)做的功，等于重力势能(弹性势能)的变化量。

(2)合力做的功等于物体动能的变化量。

(3)重力(弹簧弹力)以外的其他力做的功，等于系统机械能的变化量。

(4)滑动摩擦力与物体间相对运动位移的乘积等于系统增加的内能。

2．如果一个物体受到多个力，且每个力都做功，选择哪个功能关系分析力做功比较方便？
提示选择动能定理分析比较方便，特别是涉及到某个力做功与其他物理量关系时。

命题点三能量守恒定律的理解和应用
【例3(2021·湘豫名校4月联考)如图5甲所示，在水平面上固定倾角为θ＝37°底端带有挡板足够长的斜面，斜面体底端静止一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力F作用，拉力F随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，假设物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力和碰撞时间，已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。

求：
图5
(1)物块在上滑过程中达到最大动能时拉力F的大小；
(2)物块沿斜面上滑的最大位移的大小。

答案(1)10 N(2)2 m
解析(1)上滑过程中对物块进行受力分析，当F＝mg sin 37°＋μmg cos 37°＝10 N 时，物块沿斜面上滑过程中达到的动能最大。

(2)设物块沿斜面上滑的最大位移为x m，根据能量守恒定律得
W F′＝mgx m sin 37°＋μmgx m cos 37°
其中W F′＝20×2
2J＝20 J
解得物块沿斜面上滑的最大位移的大小
x m＝2 m。

【针对训练4】(2021·1月河北选择考模拟，6)螺旋千斤顶由带手柄的螺杆和底座
组成，螺纹与水平面夹角为α，如图6所示。

水平转动手柄，使螺杆沿底座的螺纹槽(相当于螺母)缓慢旋进而顶起质量为m的重物，如果重物和螺杆可在任意位置保持平衡，称为摩擦自锁。

能实现自锁的千斤顶，α的最大值为α0。

现用一个倾角为α0的千斤顶将重物缓慢顶起高度h后，向螺纹槽滴入润滑油使其动摩擦因数μ减小，重物回落到起点。

假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计螺杆和手柄的质量及螺杆与重物间的摩擦力，转动手柄不改变螺纹槽和螺杆之间的压力。

下列说法正确的是()
图6
A．实现摩擦自锁的条件为tan α≥μ
B．下落过程中重物对螺杆的压力等于mg
C．从重物开始升起到最高点摩擦力做功为mgh
D．从重物开始升起到最高点转动手柄做功为2mgh
答案 D
解析实现摩擦自锁的条件为μmg cos α≥mg sin α，即μ≥tan α，故A错误；重物对螺旋杆的压力等于mg cos α，故B错误；从重物开始缓慢升起到最高点过程中，摩擦力和支持力的合力与重力等大反向，且方向都与位移夹角为锐角，两力都做正功，对重物升起过程，应用动能定理有－mgh＋W f＋W N＝0，W f＋W N＝mgh，故C错误；重物上升过程，根据能量守恒，转动手柄做功等于克服摩擦力和压力做功以及重力势能增加量的总和，故W＝2mgh，D正确。

【针对训练5】毕节，是全国唯一一个以“开发扶贫、生态建设”为主题的试验区，是国家“西电东送”的主要能源基地。

如图7所示，赫章的韭菜坪建有风力
发电机，风力带动叶片转动，叶片再带动转子(磁极)转动，使定子(线圈，不计电阻)中产生电流，实现风能向电能的转化。

若叶片长为l ，设定的额定风速为v ，空气的密度为ρ，额定风速下发电机的输出功率为P ，则风能转化为电能的效率为( )
图7 A.2P πρl 2v 3
B.6P πρl 2v 3
C.4P πρl 2v 3
D.8P πρl 2v 3
答案 A
解析 风能转化为电能的工作原理为将风的动能转化为输出的电能，设风吹向发电机的时间为t ，则在t 时间内吹向发电机的风的体积为V ＝v t ·S ＝v t ·πl 2，则风的
质量M ＝ρV ＝ρv t ·πl 2，因此风吹过的动能为E k ＝12M v 2＝12ρv t ·πl 2·v 2，在此时间内
发电机输出的电能E ＝Pt ，则风能转化为电能的效率为η＝E E k ＝2P πρl 2v 3，故A 正确，B 、C 、D 错误。

对点练 功能关系的理解
1．(2021·福建宁德市质检)某运动员参加撑竿跳高比赛如图1所示，这个过程中能量变化描述正确的是( )
图1
A ．加速助跑过程中，运动员的动能和重力势能都不断增大
B ．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增大后减小
C．起跳上升过程中，运动员的机械能守恒
D．运动员越过横杆正上方时，动能为零
答案 B
解析加速助跑过程中，运动员的动能不断增加，重力势能不变，故A错误；起跳上升过程中，杆先逐渐弯曲然后伸直，则杆的弹性势能先增大后减小，故B正确；起跳上升过程中，运动员和杆的系统动能、重力势能和弹性势能之和守恒，因杆的弹性势能先增加后减小，则运动员的机械能先减小后增加，故C错误；运动员到达横杆正上方时，由于有水平速度，则动能不为零，故D错误。

2．(2021·山东省实验中学模拟)一小球从地面上以某一初速度竖直向上抛出，运动过程中受到的阻力大小与速率成正比，在上升过程中，下列能正确反映小球的机械能E随上升高度h的变化规律(选地面为零势能参考平面)的是()
答案 C
解析设小球运动的速率为v时所受的阻力大小为f，根据题意可知f＝k v，根据功能关系得ΔE＝W f＝fh，则E＝E0－ΔE＝E0－fh，因为速度逐渐减小，所以f逐渐减小，图像的斜率逐渐减小，故C正确。

对点练功能关系的应用
3．(多选) (2021·湖北恩施三校4月联考)如图2所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处。

将小球拉至A处时，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点速度为v，A、B间的竖直高度差为h，则()
图2 A．由A到B过程合力对小球做的功等于mgh
B．由A到B过程小球的重力势能减少1
2m v
2
C．由A到B过程小球克服弹力做功为mgh－1
2m v
2
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－1
2m v
2
答案CD
解析由A到B过程，重力对小球做的功等于mgh，弹簧的弹力对小球做负功，所以合力对小球做的功小于mgh，故A错误；小球在下降过程中小球的重力势能
转化为动能和弹簧的弹性势能，所以小球的重力势能减少大于1
2m v
2，故B错误；
根据动能定理得mgh－W
弹＝
1
2m v
2，所以由A至B小球克服弹力做功为W
弹
＝mgh
－1
2m v
2，故C正确；弹簧弹力做功是弹性势能的变化的量度，所以小球到达位置
B时弹簧的弹性势能为mgh－1
2m v
2，故D正确。

4．(2021·广东新高考八省大联考)某同学将质量为m的一矿泉水瓶(可看成质点)
竖直向上抛出，水瓶以5g
4的加速度匀减速上升，上升的最大高度为H，水瓶往返
过程受到的阻力大小不变。

则()
A．上升过程中水瓶的动能损失5mgH 4
B．上升过程中水瓶的机械能减少了5mgH 4
C．水瓶落回地面时动能大小为5mgH 4
D．水瓶上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态答案 A
解析上升过程水瓶受到的合外力F＝mg＋f＝5
4mg；则f＝
1
4mg，合外力做功W＝
－5
4mgH，由动能定理可知，上升过程中水瓶的动能损失为
5
4mgH，故A正确；机
械能的改变量等于重力之外的其他力做功，机械能的减少量为fH＝1
4mgH，故B
错误；下落过程，合力为F′＝mg－1
4mg＝
3
4mg，由动能定理可知，落回地面上的
动能为E k＝F′H＝3
4mgH，故C错误；由于水瓶的加速度方向一直向下，水瓶一直
处于失重状态，故D错误。

5．(2021·湖北十一校3月联考)冬奥会上有一种女子单板滑雪U形池项目，如图3所示为U形池模型，池内各处粗糙程度相同，其中a、c为U形池两侧边缘，且在同一水平面，b为U形池最低点。

某运动员从a点上方h高的O点自由下落由
左侧切线进入池中，从右侧切线飞出后上升至最高位置d点(相对c点高度为h 2)。

不计空气阻力，重力加速度为g，则运动员()
图3
A．第一次经过b点时处于失重状态
B．第一次经过c点时的速度大小为2gh
C．第一次从a到b与从b到c的过程中机械能损失相同
D．从d向下返回一定能越过a点再上升一定高度
答案 D
解析第一次经过b点时向心加速度方向向上，运动员处于超重状态，选项A错
误；从c到d，根据机械能守恒有1
2m v
2＝mg·
1
2h，得v＝gh，选项B错误；由于
从a到b与从b到c的平均速率不同，平均压力大小不同，平均摩擦力大小不同，所以第一次从a到b与从b到c的过程中损失的机械能不同，选项C错误；从高
h处自由下落由左侧进入池中，从右侧飞出后上升的最大高度为h
2，克服摩擦力做
功为W f＝1
2mgh；从d返回经c到a的过程中平均速率小于从a到c的平均速率，
所以从c到a 的平均压力和平均摩擦力都较小，克服摩擦力做功也小于1
2mgh，故
从d返回一定能越过a点上升到一定高度，选项D正确。

对点练能量守恒定律的理解和应用
6．(多选)如图4所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。

轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。

不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m 2的滑块(m2＞m1)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法正确的是()
图4
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
答案CD
解析两滑块到达B点的动能相同，由于m2＞m1，所以速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速度相同，由于在B点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为mgh，由能
量守恒定律得E p＝mgh＋μmg cos θ·h
sin θ，则mgh＝
E p
1＋
μ
tan θ
，故两滑块上升到斜面
最高点过程克服重力做的功相同，故C正确；由能量守恒定律得E
损
＝μmg cos
θ·h
sin θ＝μmgh
tan θ，结合C可知D正确。

7．一质量为m＝2 kg的物块在长l＝9 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，经过t＝3 s到达斜面底端，以水平地面为零势能面，其重力势能随下滑距离s的变化如图5所示，斜面始终静止在水平地面上，重力加速度g取10 m/s2。

则()
图5 A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.3 C．物块下滑时加速度的大小为4 m/s2 D．物块下滑过程中机械能一共损失了72 J 答案 D
解析由运动学公式有l＝1
2at
2，解得物块下滑时的加速度大小为a＝2 m/s2，选项
C错误；因物块下滑过程中的重力势能为E p＝mg(h－s sin θ)＝－mgs sin θ＋mgh(式中h为斜面顶端到地面的距离，θ为斜面的倾角)，再结合题意可知E p－s图像的斜率的绝对值为k＝mg sin θ＝12 N，解得sin θ＝0.6，根据牛顿第二定律有mg sin θ－μmg cos θ＝ma，又sin2θ＋cos2θ＝1，解得物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，选项B错误；物块下滑过程中机械能损失了ΔE＝μmgl cos θ＝72 J，选项A错误，D正确。

8．(多选)(2020·全国Ⅰ卷，20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图6中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。

则()
图6
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
答案AB
解析由重力势能和动能随下滑距离s变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离s的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒，A项正确；在斜面顶端，重力势能mgh＝30 J，解得物块质量m＝1 kg，整个过程中损失的机械能
ΔE＝μmgs cos θ＝20 J，且sin θ＝h
s＝
3
5，故cos θ＝
4
5，联立得μ＝0.5，故B项正确；
物块下滑过程由牛顿第二定律得mg sin θ－μmg cos θ＝ma，代入数据得a＝2 m/s2，故C项错误；由重力势能和动能随下滑距离s变化图像可知，当物块下滑2.0 m 时机械能为E＝18 J＋4 J＝22 J，机械能损失了ΔE＝30 J－22 J＝8 J，D项错误。

9．(2021·福建厦门市质量检测)如图7所示，A物体套在光滑的竖直杆上，B物体放置在粗糙水平桌面上，用一细绳连接。

初始时细绳经过定滑轮呈水平，A、B 物体质量均为m。

A物体从P点由静止释放，下落到Q点时，速度为v，P、Q 之间的高度差为h，此时连接A物体的细绳与水平方向夹角为θ，此过程中，下列说法正确的是()
图7
A．A物体做匀加速直线运动
B．A物体到Q点时，B物体的速度为v sin θ
C．A物体减少的重力势能等于A、B两物体动能增量之和
D．B物体克服摩擦力做的功为mgh－m v2
答案 B
解析A物体下滑时，竖直方向受重力和细绳拉力的竖直分量，因细绳拉力的竖直分量是变化的，则A物体所受的合力不是恒力，则A的加速度不是恒量，即A 物体做的不是匀加速直线运动，选项A错误；若A物体的速度为v，则由速度的分解可知，B物体的速度为v sin θ，选项B正确；由能量关系可知，A物体减少
的重力势能等于物体B克服摩擦力做功和A、B两物体动能增量之和，选项C错
误；B物体克服摩擦力做的功为mgh－1
2m v
2－
1
2m v
2sin2θ，选项D错误。

10．(多选)(2021·福建省三明一中模拟)滑沙是人们喜爱的游乐活动，如图8是滑沙场地的一段斜面，其倾角为30°，设参加活动的人和滑车总质量为m，人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为0.4g，人和滑车可视为质点，则从顶端向下滑到底端B的过程中，下列说法正确的是()
图8
A．人和滑车减少的重力势能全部转化为动能
B．人和滑车获得的动能为0.8mgh
C．整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为0.2mgh
D．人和滑车克服摩擦力做功为0.6mgh
答案BC
解析沿斜面的方向有ma＝mg sin 30°－F f，所以F f＝0.1mg，人和滑车减少的重力势能转化为动能和内能，故A错误；人和滑车下滑的过程中重力和摩擦力做功，
获得的动能为E k＝(mg sin 30°－F f)h
sin 30°＝0.8mgh，故B正确；整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为ΔE＝mgh－E k＝mgh－0.8mgh＝0.2mgh，故C正确；整个下滑过程中克服摩擦力做功等于人和滑车减少的机械能，所以人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh，故D错误。

11．如图9，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。

一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C。

不计空气阻力，重力加速度为g，试求：
图9
(1)物体在A 点时弹簧的弹性势能；
(2)物体从B 点运动至C 点的过程中产生的内能。

答案 (1)72mgR (2)mgR
解析 (1)设物体在B 点的速度为v B ，所受弹力为F N B ，由牛顿第二定律得
F N B －mg ＝m v 2B R
由牛顿第三定律知F N B ＝F N B ′＝8mg
由能量守恒定律可知，物体在A 点时的弹性势能E p ＝12m v 2B ＝72mgR 。

(2)设物体在C 点的速度为v C ，由题意可知mg ＝m v 2C R
物体由B 点运动到C 点的过程中，由能量守恒定律得
Q ＝12m v 2B －(12m v 2C ＋2mgR )
解得Q ＝mgR 。