高中数学第十章复数10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法b必修第四册b高一第四册数学

(2)两个复数的差仍是复数． (3)复数的减法运算法则可以推广到多个复数相减的情形， 即若 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则 z1－z2－…－zn＝(a1－a2－…－an)＋(b1－b2－…－bn)i(ai，bi∈R， i＝1,2,3，…，n)．
2．复数 z＝(5＋2i)－(2－i)，则|z|＝( B )
A．5
B．3 2
C．18
D．25
解析：依题意 z＝5－2＋(2＋1)i＝3＋3i， 所以|z|＝ 32＋32＝3 2.故选 B.
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3．已知复数 z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内， z1－z2 对应的点在( B )
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知识点四 复数减法的几何意义
[填一填] 如果复数 z1，z2 所对应的向量分别为O→Z1与O→Z2，设点 Z 满 足O→Z＝Z→2Z1，则 z1－z2 所对应的向量就是O→Z，如图所示．
由复数减法的几何意义可以得出 ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.
③当这个平行四边形是以Z→3Z1和Z→3Z2为一组邻边时，有Z3Z→4″ ＝Z→3Z1＋Z→3Z2.∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)．
∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i. 综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为 6 或 －2＋12i 或 2－8i.
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[解] (1)由于 z1＝2－2i，所以|z1|＝2 2. (2)如图，|z|＝1 可看成半径为 1，圆心为(0,0)的圆，而 z1 在 坐标系中的对应点为 Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点 Z1(2，－2)到圆上点的距离的最大值．由图可知，|z－z1|max＝2 2＋ 1.
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方法二：由已知，得复数 z 的对应的点在复平面内，以原点 为圆心，半径为 2 的圆上，设 ω＝1＋ 3i＋z，
所以 z＝ω－1－ 3i. 所以|z|＝|ω－(1＋ 3i)|＝2，
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所以复数 ω 对应的点在复平面内，以(1， 3)为圆心，半径 为 2 的圆上，此时圆上的点 A 对应的复数 ωA 的模有最大值，圆 上的点 B 对应的复数 ωB 的模有最小值，如图，故|1＋ 3i＋z|max ＝4，|1＋ 3i＋z|min＝0.
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1．复数的加减运算． (1)若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行； (2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各 复数的实部与虚部，将它们分别相加减． 2．复平面内两点间距离公式的复数表示． 复平面内两点间的距离公式 d＝|z1－z2|. 其中 z1、z2 是复平面内的两点 Z1、Z2 所对应的复数，d 表示 Z1 和 Z2 之间的距离．
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内容(nèiróng)总结
第十章
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A．1
B. 2
C．－1
D．－i
解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数 z 的虚部为－1.
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(2)已知复数 z1＝7－6i，z2＝4－7i，则 z1－z2＝( A )
A．3＋i
B．3－i
C．11－13i
D．3－13i
解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋ i.
类型三 复数加减法的几何意义的应用
[例 3] 已知复数 z1＝2－2i. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [分析] (1)|z|＝1 的几何意义是什么？(到原点的距离等于 1 的点)(2)|z－z1|的几何意义是什么？(z 对应的点 Z 与 z1 对应的点 Z1 间的距离)
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类型二 复数加减运算的几何意义 [例 2] 如图所示，已知平行四边形 OABC，顶点 O，A，C
分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求：
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(1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度． [分析] 要求某个向量所对应的复数，只要找出所求向量的始 点和终点，或者用向量相等直接给出所求的结论．
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[变式训练 3] 已知|z|＝2，求|z＋1＋ 3i|的最大值和最小值．
解：方法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2 知 x2＋y2＝4， 故 z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上，
∴|z＋1＋ 3i|表示圆上的点到点(－1，－ 3)的距离． 又∵点(－1，－ 3)在圆 x2＋y2＝4 上， ∴圆上的点到点(－1，－ 3)的距离的最小值为 0，最大值为 圆的直径 4， 即|z＋1＋ 3i|的最大值和最小值分别为 4 和 0.
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解析：由复数加法的几何意义，O→B＝O→A＋O→C， ∴－2a＋3i＝(2＋a2i)＋(－b＋ai)， 即－2a＋3i＝(2－b)＋32ai.
－2a＝2－b， 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 ， 得 3＝32a.
解得
a＝2， b＝6.
∴a－b＝－4.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故 z1－z2 在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．
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4．如图，在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为
zO＝0，zA＝2＋a2i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则 a －b 的值为_____－__4_______.
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复数加、减运算的方法技巧： 1复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减； 2把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.
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[变式训练 1] (1)已知 i 是虚数单位，复数 z＝(4＋i)＋(－3－
2i)的虚部是( C )
(2)在这个规定中，当 b＝d＝0 时，与实数的加法法则一致．
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知识点二 复数加法的几何意义
[填一填] 如果复数 z1，z2 所对应的向量分别为O→Z1与O→Z2，则当O→Z1与 O→Z2不共线时，以 OZ1 和 OZ2 为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 则 z1＋z2 所对应的向量就是O→Z，如图所示．
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1.正确理解复数与向量的一一对应关系，可将复数问题转化为 向量问题.
2.求复数，可先求对应的向量，利用数形结合思想得出数量关 系.
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[变式训练 2] 已知平行四边形的三个顶点分别对应复数 2i,4 －4i,2＋6i.求第四个顶点对应的复数．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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知识点一 复数的加法
[填一填] (1)复数的加法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称 z1＋z2 为 z1 与 z2 的 _____和_________ ， 并 规 定 z1 ＋ z2 ＝ (a ＋ bi) ＋ (c ＋ di) ＝ (_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)i__.
由复数加法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋ |z2|.
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知识点三 复数的减法
[填一填] (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作_____－__z_______，
并 规 定 － z ＝ － (a ＋ bi) ＝ － a － bi. 复 数 z1 减 去 z2 的 差 记 作 ___z_1_－__z2_______，并规定 z1－z2＝z1＋(－z2)．
第十章
复数(fùshù)
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10.2 复数(fùshù)的运算
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第二页，共三十九页。
10.2.1 复数的加法(jiāfǎ)与减法
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[课程目标] 1.能利用复数的代数形式进行加法、减法运算； 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
(2)复数加法的交换律与结合律：对任意复数 z1，z2，z3，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
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[答一答] 1．怎样应用复数的加法法则进行运算？
提示：(1)复数加法法则规定：实部与实部相加，虚部与虚 部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形．
(2)如果 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1－z2＝ (a＋bi)－(c＋di)＝_(_a_－__c_)＋__(_b_－__d_)i_.
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[答一答] 2．怎样应用复数的减法法则进行运算？
提示：(1)两个复数相减，就是把实部与实部、虚部与虚部 分别相减．
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1．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2＝( B )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
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[解] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1 －8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a ＋(4b－3)i(a，b∈R)．
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)， 即 z4＝(z2＋z3)－z1＝6. ②当这个平行四边形是以Z→2Z1和Z→2Z3为一组邻边时，有Z2Z→4′ ＝Z→2Z1＋Z→2Z3.∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)． ∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i.
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12/9/2021第十三Fra bibliotek，共三十九页。
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类型一 复数的加减运算
[例 1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [分析] 利用复数加减运算的法则计算．
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[解] (1)∵A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)∵C→A＝O→A－O→C， ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵对角线O→B＝O→A＋O→C， ∴它所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， ∴|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
解：如图，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为 Z1，Z2， Z3，它们对应的复数分别是 z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，第四个 顶点所对应的复数为 z4，则
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①当这个平行四边形是以Z→1Z2和Z→1Z3为一组邻边时，有Z→1Z4＝ Z→1Z2＋Z→1Z3，