高中数学第二章圆锥曲线与方程本章整合学案新人教B版选修2_1

第二章圆锥曲线与方程
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专题探究
专题一、轨迹问题
【例1】已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．
思路分析：先根据椭圆的定义列出关系式，再将其坐标化即可．
解：∵|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，
又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支．
又c＝7，a＝1，b2＝48，
故点F的轨迹方程是y2－x2
48
＝1(y≤－1)．
【例2】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，试确定动圆圆心E的轨迹．
思路分析：先利用两圆内切和外切表示圆心距，再利用双曲线定义求解．
解：设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝2 2.
又A(－4,0)，B(4,0)，
所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根据双曲线的定义知，点E 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．
【互动探究】 若例2条件“与圆B ：(x －4)2
＋y 2
＝2内切”改为“与圆B ：(x －4)2
＋y 2
＝4外切”则结论如何？
解：设动圆E 的半径为r ，⎩⎨
⎧
|EA |＝r ＋2，
|EB |＝r ＋2，
∴|EB |－|EA |＝2－2＜|AB |＝8， ∴点E 的轨迹为双曲线的一支．
【例3】 过双曲线x 2－y 2
＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．
思路分析：先找到P 点和Q 点坐标之间的关系，再利用Q 点坐标满足双曲线方程，间接求得P 点的轨迹．
解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －
y 1)．
因为点N 在直线x ＋y ＝2上， 所以2x －x 1＋2y －y 1＝2.① 又因为PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， 所以
y －y 1
x －x 1
＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.②
联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝32x ＋1
2
y －1， ③y 1
＝12x ＋3
2y －1. ④
又点Q 在双曲线x 2－y 2
＝1上， 所以x 2
1－y 2
1＝1，⑤ 将③④代入⑤，得
动点P 的轨迹方程是2x 2
－2y 2
－2x ＋2y －1＝0. 专题二、离心率问题
【例4】 椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐
标恰为c ，则椭圆的离心率等于( )
A.
2－22 B.22－1
2
C.3－1
D.2－1
解析：当x ＝c 时，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2
a
.
又交点在y ＝2x 上，
∴交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，b 2
a .
∴2c ＝b 2a ＝a 2－c 2a ＝a －c 2
a .
∴2c a ＝1－c 2
a
2， 即e 2
＋2e －1＝0， 解得e ＝－1± 2. ∵0＜e ＜1， ∴e ＝2－1. 答案：D
【例5】 点P 是双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2
＝∠PF 2F 1，其中F 1和F 2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为__________．
解析：由圆x 2
＋y 2
＝a 2
＋b 2
，得x 2
＋y 2
＝c 2
， ∴圆过焦点F 1和F 2. ∴∠F 1PF 2＝90°. 又2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，
∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°.
如图所示．于是|PF 2|=c ，|PF 1
，∴e=1
c a ==.
【例6】 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，试求此双曲线离心率的取值范围．
解：设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k ，则k ≥3，即b a
≥3，
∴e 2
＝1＋b 2a
2≥1＋(3)2
＝4，
∴e ≥2，
即此双曲线离心率的取值范围为[2，＋∞)． 专题三、与圆锥曲线有关的最值问题
与圆锥曲线有关的最值问题，大都是些综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下：
(1)平面几何法．
平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法．
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数．
【例7】 已知F 1，F 2为椭圆x 2
＋y 2
2＝1的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2
面积的最大值．
思路分析：△ABF 2的面积是由直线AB 的斜率k 确定的，因此可构建以k 为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值．
解：由题意，知|F 1F 2|＝2.
经分析，当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意． 故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，
代入椭圆的方程2x 2
＋y 2
＝2，得(k 2
＋2)x 2
＋2kx －1＝0，
则x A ＋x B ＝－
2k k 2＋2，x A ·x B
＝－1
k 2＋2
， ∴|x A －x B |＝8(k 2
＋1)
k 2＋2
.
2
ABF S
＝12|F 1F 2|·|x A －x B |＝12×2×22×k 2
＋1k 2＋2
＝22×1
k 2＋1＋
1
k 2＋1
≤22×
1
2
＝ 2.
当k 2
＋1＝
1
k 2＋1
，即k ＝0时，△ABF 2的面积最大，为 2.
【例8】 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2
＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1，－22)
C ．(2，－2) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2 解析：如图，过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为E .由抛物线的定义知|MF |＝|ME |.当点M 在抛物线上移动时，|ME |＋|MA |的值在变化，显然当M 移到M ′时，A ，M ′，E ′三点共线，|M ′E ′|＋|M ′A |最小，此时AM ′∥Ox .把y ＝－2代入y 2
＝8x ，得x ＝12
，所以M ′
的坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫12，－2，故选D.
答案：D
【例9】 设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任一点，那么
|PF 1|·|PF 2|的最大值为__________．
解析：根据基本不等式“ab ≤a ＋b
2
(a ＞0，b ＞0)”的变形“ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22”，得
|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2
|，即P 是短轴端点时，取
等号．所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为a 2
.
答案：a 2
【例10】 长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2
＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为__________．
解析：如图，抛物线y 2
＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′
垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.
又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得
|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝3
2
.
∴x ≥32－1
2＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取“＝”)．
∴x 最小值为1，即M 点到y 轴的最短距离为1. 答案：1。