2019届河北省石家庄市第二中学高三全仿真模拟数学(文)试题(解析版)

2019届河北省石家庄市第二中学高三全仿真模拟数学（文）
试题
一、单选题
1．设集合{|ln(1)}A x y x ==-，{
}|2x
B y y ==，则A B =I
（ ）
A ．[0,)+∞
B ．(0,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．(1,)+∞
【答案】D
【解析】先求出集合,A B ,然后再求交集. 【详解】
集合{|ln(1)}={|1}A x y x x x ==->，{
}{}|2
=|0x
B y y y y ==>.
则()1
+A B =∞I ， 故选：D 【点睛】
本题考查指数函数的值域和对数函数的定义域以及集合求交集，属于基础题. 2．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】Q ()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，
13213i,i,22z z =+=
+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
3．已知3log 4a =，1
3
23b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1
3
1
log 5
c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．a b c >>
【答案】A
【解析】由对数的运算性质和对数函数的单调性可得1c a >>，由指数函数的单调性可得1b <，从而可得答案. 【详解】
由1
3333
1
log =log 5log 4log 315
c =>>=，即1c a >>. 又10
3
22133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以1c a b >>> 故选：A. 【点睛】
本题考查对数的运算性质和由指数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
4．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r
，则m =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-8
D ．8
【答案】B
【解析】先求出向量a b +r r ,a b -r r
的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.
【详解】
由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r
，
则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r
||a b +=r r
||a b -=r r 又||||a b a b +=-r r r r
12
m =.
故选：B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题
.
5．若()sin 22f x x x =-在[,](0)a a a ->上是增函数，则a 的最大值为（ ） A ．
56
π
B ．
12
π
C ．
6
π D ．
3
π 【答案】B
【解析】根据辅助角公式，化简函数()f x 解析式，求得单调递增区间,再根据函数单调递增条件，进而求得a 的最大值．
【详解】
()sin 222sin 23f x x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭
222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，解得5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为5,,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
当0k =时，函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增. 又函数()f x 在[,]a a -上单调递增，所以a 的最大值为12
π
故选：B 【点睛】
本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题．
6．已知函数13,2,
()log (1),2,
x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,2)
B ．[1,)+∞
C ．[2,)
+∞
D ．(,2][1,)-∞-+∞U
【答案】B
【解析】利用分段函数，分段解()1f a ≥不等式，列出不等式组转化求解a 的范围即可； 【详解】
当2a <时，1
()1a f a e
-=≥，得1a ≥，所以此时12a ≤<.
当2a ≥时，()3()log +11f a a =≥，得2a ≥，所以此时2a ≥ 综上所述，满足()1f a ≥的a 的范围是1a ≥ 故选：B 【点睛】
本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查分类讨论思想的应用．属于中档题. 7．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．支出最高值与支出最低值的比是8：1
B．4至6月份的平均收入为50万元
C．利润最高的月份是2月份
D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
【答案】D
【解析】根据折线统计图即可判断各选项,此类问题属于容易题．
【详解】
由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，
由图可知，4至6月份的平均收入为1
(503040)40
3
++=万元，故B错误，
由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，
由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，故选：D．
【点睛】
本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．
8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为
（）
A．1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
【答案】C
【解析】由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．【详解】
解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，
则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1
()3
P M = 故选：C ． 【点睛】
本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．
9．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱
1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）
A ．1//m D Q
B ．1m Q B ⊥
C ．//m 平面11B
D Q D ．m ⊥平面11ABB A
【答案】C
【解析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 【详解】
因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面
BDP ，
所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =， 所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；
若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正确；
而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 【点睛】
本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积． 【详解】
由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为12
⨯23＝4． 故选B ．
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．
11．已知数列{}n a ，对任意*n N ∈，总有123232n a a a na n +++⋯+=成立，设
(
)
1
28
(1)41n n n
b n a +=--，则数列{}n b 的前10项的和为（ ）
A ．2221
B ．
4041
C ．
2021
D ．
4241
【答案】C
【解析】将下标n 换为1n -与原式相减，得出数列{}n a 的通项公式，进一步得到
11
1211)21(n n n b n +⎛⎫+ ⎪-+⎝-⎭
=，然后再求和.
【详解】
数列{}n a ，对任意*n N ∈，总有123232n a a a na n +++⋯+=成立. 当1n =时，12a =.
当2n ≥时，()()123123121n a a a n a n -+++⋯+-=-. 又123232n a a a na n +++⋯+=，两式相减可得2n na =， 即2
n a n
=
，当1n =时也成立. ()
()
()
111
22288(1)(1)(1)24141414n n n n n n b n a n n n
+++=-=-=----⋅
11
1212(1)1n n n +=-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭
所以数列{}n b 的前10项的和为
123101111111+1+335571921b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L L L .
120
12121
=-
= 故选：C 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将下标n 换为1n -相减法，考查数列的并项求和，考查化简运算能力，属于中档题．
12．已知P 是椭圆22
221x y a b
+=上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是椭圆的左、右
焦点，1212F F =，直线2PF
的斜率为-12PF F ∆
的面积为心率为（ ） A ．
1
3
B ．
35
C
．
2
D
【答案】B
【解析】利用三角形的面积求出P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出P 的横坐标，然后求解a ，然后求解椭圆的离心率． 【详解】
P 是双曲线上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，
1212F F =,则6c =，()16,0F -，()26,0F
12PF F ∆
的面积为
即1
262
P P S c y y =⨯⨯==
所以P y =.
又直线2PF
的斜率为2066
P PF P P y k x x -===---=5P x
所以点(5,P ， 则
113PF =
=
，27PF =
=
所以22113720a PF PF =+=+=，即10a = 所以63105
c e a =
== 故选：B
【点睛】
本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积，属于基础题.
二、填空题
13．已知向量(3,)a b m ==r r
，且b r 在a r 上的投影为－3，则向量a r 与b r
的夹角为________． 【答案】
23
π
【解析】根据题意，由b r 在a r
上的投影为－3，||cos ,3,||2b a b a 〈〉=-=r r r r ，可得a b r r g 根
据数量积的运算公式列式可得m,于是有b r 由向量数量积的计算公式可得cos a b r r
〈，〉的值，结合a b r r
〈，〉的范围即可得答案． 【详解】
b r Q 在a r
上的投影为－3， =3b cos a b ∴r r r 〈，〉-，又2?=6a a b a b cos a b ∴r r r r r r r ＝，＝〈，〉-，
又133m,33m 6a b ⋅=⨯+∴+=-r r
，解得m ＝－3
，则(3,33)b =-r
，
61||6,cos ,,0,262||||a b b a b a b a b π⋅-∴=∴〈〉===-〈〉⨯r r
r r r r r r r Q 剟，
a ∴r 与
b r
的夹角为π.
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式以及向量的坐标计算公式．
14．已知递增数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，若141n n n b b S +=-，则n b =________. 【答案】21n -
【解析】由条件可得()11411n n n b b S n --=->与141n n n b b S +=-两式相减可得{}n b 的关系，从而得到答案. 【详解】
当1n =时，121141=41b b S b =--，得23b =. 由141n n n b b S +=-………①
当1n >时，1141n n n b b S --=-……②
由①－②得: ()11144n n n n n n n b b b b S b S +--==-- 又数列{}n b 为递增数列且11b =，所以1n b ≥ 所以得到114n n b b +--=
所以数列{}n b 的奇数项是以11b =为首项，4为公差的等差数列, 设21,*n k k N =-∈,则()211414321n k b b k k n -==+-=-=-.
数列{}n b 的偶数项是以23b =为首项，4为公差的等差数列, 设2,*n k k N =∈,则()23414121n k b b k k n ==+-=-=- 所以21n b n =- 故答案为：21n - 【点睛】
本题考查根据数列的递推关系求数列的通项公式，属于中档题.
15．已知点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上不同的两点，且,A B 两点到抛物线C 的焦点F 的距离之和为6，线段AB 的中点为(2,1)M -，则焦点F 到直线AB 的距离为______．
【解析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线定义可知：12
6x x p ++=，则126x x p +=-
又()2,1-M 为AB 中点，则
622
p
-= 2p ⇒= ()1,0F ⇒ ∴抛物线方程为24y x =
则：211
22
244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-
则12121244
22
AB y y k x x y y -=
===--+-
∴直线AB 的方程为：()122y x +=--，即230x y +-= ∴点F 到直线AB
的距离5
d =
=
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.
16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为
5，则A DB '∠=_________.
图（1） 图（2）
【答案】
23
π
【解析】5和角度关系，分析即可解决． 【详解】
解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，
取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，
在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过
O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=
∴A 'F 2251R OF -=-=2，
所以，BF ＝2，
所以四边形A 'DBF 为菱形，
又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =
--=2，
∴三角形A 'DF 为等边三角形，
∴∠A 'DF 3π
=
，
故∠A 'DB 23π
=，
故填：23
π．
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．
三、解答题
17．某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度）
，BE 为赛道内的一条服务通道，23
BCD CDE BAE π
∠=∠=∠=
，DE =4km ，3BC CD km ==.
（1）求服务通道BE 的长度；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？ 【答案】（1）5（2）见解析
【解析】（1）连接BD ，在BCD ∆中应用余弦定理求得BD ，进而在Rt BDE ∆应用勾股定理求得BE ．
（2）在BAE ∆中，应用余弦定理表达出AB 与AE 的等量关系，再结合不等式求得
AB AE +的最大值即可．
【详解】 （1）连接BD ，
在BCD ∆中，由余弦定理得：
2222BD BC CD BC =+-cos 9CD BCD ⋅∠=，
3BD ∴=.BC CD =Q ，
6
CBD CDB π
∴∠=∠=
，
又23CDE π∠=
，2
BDE π∴∠=， 在Rt BDE ∆中，225BE BD DE =
+=.
（2）在BAE ∆中，23
π
∠=
BAE ，5BE =. 由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE =+-⋅BAE ∠， 即2225AB AE AB AE =++⋅，
故()2
25AB AE +-=2
2AB AE AB AE +⎛⎫⋅≤ ⎪
⎝⎭
，
从而
()2
3254AB AE +≤，即103AB AE +≤， 当且仅当AB AE =时，等号成立，
即设计为AB AE =时，折线段赛道BAE 最长.
【点睛】
本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题． 18．某房地产公司新建小区有A 、B 两种户型住宅，其中A 户型住宅每套面积为100平方米，B 户型住宅每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元平方米）：
（1）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A ，B 两类户型住宅每平方米销售
价格的中位数；
A户型B户型
2.
3.
4.
（2）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会，小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
【答案】（1）茎叶图见解析. A户型销售价格的中位数是3.0,B户型销售价格的中位数是4.0(2) 小明应该选择A户型抽签.
【解析】（1）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出,A B类户型住宅每平方米销售价格的中位数．
（2）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．
【详解】
(1)由表格数据，作出茎叶图：
A户型销售价格的中位数是2.9+3.1
=3.0 2
B户型销售价格的中位数是3.9+4.1
4.0
2
(2)小明购买能力最多为320万元.
若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，
∴成功购房的概率是82123
P =
= 若选择B 户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房， 成功购房的概率是61122
P =
= 所以小明选择购买A 户型成功的概率更大. 他应该选择A 户型抽签. 【点睛】
本题考查茎叶图的作法，考查中位数、概率的求法，解题时要认真审题，注意数据分析处理及运算求解能力的培养．属于基础题
19．在三棱柱111ABC A B C -，中，已知AB AC =13AA ==，4BC =，点1A 在底面
ABC 的射影恰好是线段BC 的中点M .
（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点N ，使得MN ⊥平面11BB C C ，并求出AN 的长； （2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积 【答案】(1)见解析；（2）12414+【解析】试题分析：（1）连接AM ，作1MN AA ⊥于点N ，由11//AA BB 推出
1 M N BB ⊥，根据1A M ABC ⊥平面，推出1A M BC ⊥，再由
,AB AC M BC =为中点，推出AM BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1AMA ，从而证明
MN ⊥平面11BB C C ，根据13AB AC AA ===，4BC =，结合21AM AN AA =⋅，
即可求得AN ；（2）由(1)可知BC ⊥平面1AMA ，可证11BCC B Y 为矩形，分别求出
11BCC B S 和11ABB A S ，即可求得三棱柱111ABC A B C -的侧面积.
试题解析：(1)证明：连接AM ，在1AMA ∆中，作1MN AA ⊥于点N . ∵11//AA BB ∴1MN BB ⊥ ∵1A M ABC ⊥平面
∴1A M BC ⊥
∵,AB AC M BC =为中点 ∴AM BC ⊥ ∴BC ⊥平面1AMA ∴BC MN ⊥ ∴MN ⊥平面11BB C C 又∵225AM AB BM =-=,13AA =，2
1AM AN AA =⋅
∴53
AN =
.
(2)由(1)可知BC ⊥平面1AMA . ∴1BC BB ⊥
∴11BCC B Y 为矩形，故1112BCC B S =; 连接1A B ,221122A B A M MB =
+=在1ABA ∆中，13AB AA ==,122A B =∴114ABA S ∆=∵1112214ABB A ABA S S ∆==∴41412S =.
20．设点P 是直线2y =-上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、 B 为切点. （1）若点A 的坐标为11,
4⎛⎫
⎪⎝⎭
，求点P 的横坐标；
（2）直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 【答案】（1）1
2
-
， （2）直线AB 过定点，定点为()0,2，理由见解析. 【解析】（1）求出切线PA 的方程后，将P 的纵坐标代入可求得横坐标；
(2)设()()1122,,,A x y B x y ，求出过A B ，两点的抛物线的切线方程，将点P 坐标分别代入切线方程进行比较分析，可得直线直线AB 是过定点，得出答案. 【详解】
(1) 抛物线2:4C x y =化为214y x =，则1
2
y x '=. 由11,
4A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过点A 的抛物线的切线的斜率为：1
1|2x k y ='==. 所以直线PA 的方程为：()11
142
y x -
=-即：210x y --=. 当2y =-时，1
2x =-，所以1,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
.
点P 的横坐标为12
-
(2) 直线AB 是过定点. 由题意设()()1122,,,A x y B x y
则22
1212=,=
44
x x y y 由（1）可知，11|2PA x x x k y ='==
，22|2
PB x x x
k y ='== 则切线PA 的方程为：()1112x y y x x -=-，即211111222
x x x
y x y x y =-+=-
所以切线PA 的方程为：1
12
x y x y =- 切线PB 的方程为：2
22
x y x y =
- 又切线P A 、PB 交于点P ，设()0,2P x -
则有10122x x y -=
-，说明点()11,A x y 满足方程022
x
x y -=-. 即点A 在直线022
x
x y -=-上.
又20222x x y -=-，说明点()22,B x y 满足方程022
x
x y -=-.
即点B 在直线022
x
x y -=-上. 所以A B ，两点都在直线022x
x y -=-上，
则直线AB 的方程为：022
x
x y -=-
又直线022
x
x y -=-过定点()0,2.
所以直线AB 过定点()0,2. 【点睛】
本题考查抛物线的切线问题和直线过定点的问题，属于难题. 21．已知函数22()ln f x x ax a x =--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛
⎫-
⎪
⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.（Ⅱ）342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导()()()2222x a x a x ax a f x x x
-+-='-=
，定义域为()0,+∞，由()0f x '=，可得x a =或2
a
x =-进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；
（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，只需()min 0f x ≥即可，讨论函数单调性求最值即可. 试题解析：
（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()2222x a x a x ax a f x x x
-+-='-=
. 由()0f x '=，可得x a =或2
a
x =-
， 当0a =时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，
所以()f x 的单调递增区间是()0,+∞，没有单调递减区间； 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()2
0f x x =>，符合题意.
当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即()0f a ≥， 所以222ln 0a a a a --≥，所以01a <≤. 当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，
所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即02a f ⎛⎫
-
≥ ⎪⎝⎭
. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫
+--≥ ⎪⎝⎭
，所以342e 0a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是3
42e ,1⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；
（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆2C 的方程为
()
2
224x y -+=，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥.
（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程； （2）当002
π
θ<<
时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，
且2ON OM =，求2MC N ∆的面积. 【答案】（1）1C ：
2222cos sin 14
ρθ
ρθ+=，2C ：4cos ρθ=；
（2
）3
【解析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由
cos x ρθ=，sin y ρθ=代入圆2C 的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径
的几何意义和三角形的面积公式可得。

【详解】
（1）∵曲线1C 的普通方程为：2214
x y +=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=代入：
∴
2222cos sin 14
ρθ
ρθ+=，
∴曲线1C
的极坐标方程：ρ=
，∴曲线2C 的极坐标方程：
4cos ρθ=.
（2）∵已知2ON OM =，∴224N M ρρ=，2
0224
16cos 4cos 4sin θθθ
=⨯
+，
∴()
2
022001
cos cos 41cos θθθ=
+-，
42003cos 4cos 10θθ-+=，且002
π
θ<<
，∴解得：2
01cos 3θ=
，0cos θ=
，0sin θ=
.
点2C 到l
的距离2
20sin 233
c h OC θ=⋅=⨯=
.
∴2MC N ∆的面积为：()2221122
NC M C N M C S NM h h ρρ∆=⨯⨯=⨯-⨯
2014cos 2C h θ⎛⎫ =⨯⨯ ⎝
142⎛⎫ ⎪ =⨯ ⎝
12333
=⨯=. 【点睛】 本题考查参数方程，普通方程和极坐标方程间的互化，通过极径的几何意义最终求三角形面积，是常考题型。

23．已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1．
（1）证明：22a b +=．
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．
【答案】（1）2；（2）92
【解析】分析：（1）将()2f x x a x b =++-转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可．
详解：（Ⅰ）证明：2
b a -<Q ()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩
，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab
+≥恒成立， ()212112122925+222
a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92
，
所以
9
2
t ，即实数t的最大值为
9
2
．
点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．。