配套K12高三数学一轮总复习第八章立体几何第四节直线平面平行的判定及其性质课时跟踪检测理

课时跟踪检测（四十三） 直线、平面平行的判定及其性质 一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．如图，在正方体中，点E 是棱DD 1上一点，若BD 1∥平面AEC ，则点E 的位置是________．
解析：取AC 的中点O ，连结OE ，因为BD 1∥平面AEC ，根据线面平行的性质定理知BD 1∥OE ，所以E 是DD 1的中点．
答案：DD 1的中点
2．(2016·金陵中学检测)过两平行平面α，β外的点P 作两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________．
解析：因为两条直线AB 与CD 相交于点P ，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线分别为AC ，BD ，且AC ∥BD ，所以PA PB ＝AC BD
.又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，所以BD ＝12.
答案：12
3．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．
①平面ABC 必平行于α；
②平面ABC 必与α相交；
③平面ABC 必不垂直于α；
④存在△ABC 的一条中位线在α内．
解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A ，B ，C 在α的同侧，则平面ABC 必平行于α；若A ，B ，C 在α的异侧，则平面ABC 必与α相交且交线是△ABC 的一条中位线所在的直线，故①②③均错误，④正确．故填④.
答案：④
4．在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .
解析：如图所示，假设Q 为CC
1的中点，因为P 为DD 1的中点，
所以QB ∥PA .
连结DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，
又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，
所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .
答案：Q 为CC 1的中点
5.(2016·海门中学检测)如图所示，在棱长为2的正方体
ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，
则该截面的面积为________．
解析：如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连结A 1M ，MC ，CN ，NA 1，因
为
A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC
且PC 1＝MC ，所以A 1N 綊MC ，
所以四边形A 1MCN 是平行四边形．因为A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，所以平面A 1MCN ∥平面PBC 1.因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形A 1MCN .连结MN ，过A 1作A 1H ⊥MN 于点H ，因为A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，所以A 1H ＝3，所以S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6. 答案：2 6
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1．(2016·盐城二调)已知l 是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．
解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l 还可以在平面β内；②③→①不正确，l 还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．
答案：①②→③
2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2
.
解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，
∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64
(cm 2)．
答案：64
3.(2016·通州高级中学检测)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，
F 是对角线A 1D ，B 1D 1的中点，则正方体六个面中有________个面与直线
EF 平行．
解析：连结DC 1，A 1C 1.因为F 为B 1D 1的中点，所以F 为A 1C 1的中点，
又E 为A 1D 的中点，所以EF ∥DC 1.又EF ⊄平面DC 1，DC 1⊂平面DC 1，所以
EF ∥平面CC 1D 1D .同理可证EF ∥平面A 1ABB 1.
答案：2
4．(2016·阜宁中学检测)已知平面α∥平面β，且α与β间的距离为d ，直线a 与
α相交于点A ，与β相交于点B ，若AB ＝233
d ，则直线a 与α所成的角为________． 解析：过点B 作BC ⊥α于点C ，在直角三角形ABC 中，直线a 与平面α所成的角为∠BAC .又由条件，得sin ∠BAC ＝d
233d ＝32
，所以∠BAC ＝60°. 答案：60°
5．过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．
解析：过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
6．α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条直线，有下列三个条件：
①α∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.
如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．
解析：①α∥γ，α∩β＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b (面面平行的性质)．
②如图所示，在正方体中，α∩β＝a ，b ⊂γ，a ∥γ，b ∥β，而a ，b 异面，故②错．③b ∥β，b ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．
答案：①③
7．(2016·福州模拟)已知直线a ，b 异面，给出以下命题：
①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α；
②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α；
③一定存在平行于a 的平面α使b ⊂α；
④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．
则其中论断正确的是________．(填序号)
解析：对于①，若存在平面α使得b ⊥α，则有b ⊥a ，而直线a ，b 未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a ，b 外一点M 分别引直线a ，b 的平行线a 1，b 1，显然由直线a 1，b 1可确定平面α，此时平面α与直线a ，b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B 作直线a 2与直线a 平行，显然由直线b 与a 2可确定平面α，此时平面α与直线a 平行，且b ⊂α，因此③正确；对于④，在直线b 上取一定点N ，过点N 作直线c 与直线a 平行，经过直线c 的平面(除由直线a 与c 所确定的平面及直线c 与b 所确定的平面之外)均与直线a 平行，且与直线b 相交于一定点N ，因此④正确．综上所述，②③④正确．
答案：②③④
8．(2016·云南模拟)在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的
正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于
D ，
E ，
F ，H ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，
那么四边形DEFH 的面积为________．
解析：取AC 的中点G ，连结SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，
故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .
因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .
又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12
AC 綊DE ， 所以四边形DEFH 为平行四边形．
又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，
所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，
其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452.
答案：452
9.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB
⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.
(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；
(2)设BC ＝3，求四棱锥B ­DAA 1C 1的体积．
解：(1)证明：连结B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连结OD ，如图所示．
∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．
∵D 为AC 的中点，
∴OD 为△AB 1C 的中位线，
∴OD ∥AB 1.
∵OD ⊂平面BC 1D ，
AB 1⊄平面BC 1D ，
∴AB 1∥平面BC 1D .
(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，
∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C .
∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，
连结A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，
则BE ⊥平面AA 1C 1C .
∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，
∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，
∴BE ＝AB ·BC AC ＝613
， ∴四棱锥B ­AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×613
＝3. 10．(2016·南京名校联考)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F
在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互
相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2.
(1)求证：平面AFC ⊥平面CBF ；
(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面DAF ？并说明
理由．
解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，
平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，
∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，
又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，
∵CB ∩BF ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .
∵AF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面CBF .
(2)取CF 中点记作M ，设DF 的中点为N ，连结AN ，MN ，
则MN 綊12CD ，又AO 綊12
CD ，则MN 綊AO ， ∴MNAO 为平行四边形，
∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .
即存在一点M 为CF 的中点，使得OM ∥平面DAF .
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1.(2016·天一中学检测)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，
F ，
G ，
H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M
在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN ∥平面
B 1BDD 1(写出一种情况即可)．
解析：取B 1C 1的中点R ，连结FR ，NR ，FH ，易证平面FHNR ∥平面B 1BDD 1，所以当M ∈线段FH 时，有MN ⊂平面FHNR ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.
答案：M ∈线段FH
2．如图，AE ⊥平面α，垂足为E ，BF ⊥平面α，垂足为F ，l
⊂α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面
BFD .
解析：可证l ⊥平面ACE ，故需l ⊥平面BFD .因为BF ⊥α，l ⊂
α，所以BF ⊥l ，故只需BD ⊥l .故填垂直．
答案：垂直
3.如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA ⊥AC ，
AB ⊥BC .设D ，E 分别为PA ，AC 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PBC .
(2)在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任
一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存
在，请说明理由．
解：(1)证明：∵点E 是AC 中点，点D 是PA 的中点，
∴DE ∥PC .
又∵DE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，
∴DE ∥平面PBC .
(2)当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．
取AB的中点F，连结EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.
又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.
又∵DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面PBC.
∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．。