高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练六理含解析0522366.doc

3个附加题综合仿真练(六)(理科)
1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]
已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
11
0，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
2.
(1)求AB ；
(2)若曲线C 1：x 28＋y 2
2
＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：(1)因为A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
2，
所以AB ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0
11
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 21
0.
(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
2y 0＝x ，x 0＝y ，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝y ，y 0＝x
2.
因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 20
2＝1，
从而y 28＋x 2
8
＝1，即x 2＋y 2
＝8.
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2
＋y 2
＝8. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝cos α，y ＝sin α－2
(α为参数)．以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．
解：圆的直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切， 所以d ＝
|2|1＋k
2
＝1，得到k ＝±3，
故直线l 的极坐标方程θ＝
π3或θ＝2π
3
. C ．[选修4－5：不等式选讲]
已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2
＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2
≤(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)． 因为a 2
＋b 2
＝4，c 2
＋d 2
＝16， 所以(ac ＋bd )2
≤64， 因此ac ＋bd ≤8.
2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，D 为
CC 1上任意一点(含端点)．
(1)若D 为CC 1的中点，求异面直线BA 1与AD 所成角的余弦值； (2)当点D 与点C 1重合时，求二面角A 1BD A 的正弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，易知A (0,0,0)，B (0，－2,0)，
A 1(0,0,2)，C 1(2,0,2)，
所以AB ―→＝(0，－2,0)，BA 1―→
＝(0,2,2)． (1)若D 为CC 1的中点，则AD ―→
＝(2,0,1)， 设直线BA 1与直线AD 的夹角为θ，
则cos θ＝BA 1―→·AD ―→|BA 1―→|·|AD ―→|＝222×5＝10
10，
因此异面直线BA 1与AD 所成角的余弦值为
10
10
. (2)当点D 与点C 1重合时，易知D (2,0,2)，则BD ―→
＝(2,2,2)， 设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
BD ―→·m ＝0，BA 1―→·m ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ＋2z ＝0，
2y ＋2z ＝0，
取y ＝1，解得x ＝0，z ＝－1，即平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(0,1，－1)， 同理，可得平面ABD 的一个法向量为n ＝(－1,0,1)． 设二面角A 1BD A 的大小为α，
则|cos α|＝|m ·n ||m |·|n |＝12·2＝1
2，
因为α∈[0，π]，所以sin α＝1－cos 2
α＝32
， 因此二面角A 1BD A 的正弦值为
3
2
. 3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1n 2
＋n a n ＋1
2
n . (1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；
(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 4
3 (其中e 是自然对数的底数)． 证明：(1)①由题意，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．
②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋
1k k ＋a k ＋12k ＞2. 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.
(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
1n 2
＋n a n ＋12n ≤⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．
两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋
1n 2
＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12
n ＋1， 故ln a n ＋1－ln a n ＜
1n 2
＋n ＋1
2
n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜
12×3＋1 3×4＋…＋1n －n ＋123＋124＋…＋1
2
n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋12
3·1－1
2n －2
1－12
＝12－1n ＋122－12n
<34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜3
4
，
即a n ＜2e 4
3 (n ≥2)，
而a 1＝1＜2e 4
3，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 4
3.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。