大同县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

大同县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则+的最小值为（）
A．8B．4C．1D．
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=
（）
A．B．C．D．
3．“”是“A=30°”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
4．正方体的内切球与外接球的半径之比为（）
A．B．C．D．
5．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：2：4D．3：1：2
6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）
A．a＞0B．a＜0C．a＞e D．a＜e
7
．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
9．设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（）
A．∅B．N C．[1，+∞）D．M
10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
11．中，“”是“”的（ ）
ABC ∆A B >cos 2cos 2B A >A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.12．在三角形中，若，则
的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外
），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
14．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
15．下列命题：
①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
，k ∈Z}；
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；
④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数
其中真命题的序号是 ．
16．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1
是“单曲型直线”的是 ．
17．函数f（x）=的定义域是 ．
18．已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为 ．
三、解答题
19．已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E 、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．
20．若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．
21．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
22．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
23．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
24．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，，过A作AE⊥CD，垂足为E，G 、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（1）求证：FG∥面BCD；
（2）设四棱锥D﹣ABCE的体积为V，其外接球体积为V′，求V：V′的值．
大同县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵是5a与5b的等比中项，
∴5a•5b=（）2=5，
即5a+b=5，
则a+b=1，
则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
2．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
3．【答案】B
【解析】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．
4．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
5．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
6．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
8．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；
D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．
故选：D．
9．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，
∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N中的函数y=x2≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y≥0}=N．
故选B
10．【答案】D
【解析】解：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A 错．平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错
A 样本方差S 2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B 样本方差S 2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D 正确
故选D ．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．　
11．【答案】A.
【解析】在中ABC ∆2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B
>⇒->-⇔>⇔>，故是充分必要条件，故选A.
A B ⇔>12．【答案】A 【解析】由正弦定理知，不妨设，
，
，
则有，所以
，故选A
答案：A
二、填空题
13．【答案】　1　．
【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，可通过特殊点，取A （﹣1，t ），
则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ），由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
14．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
15．【答案】　③　．
【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}，故①错误；
②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，
∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．
∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；
③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；
④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．
16．【答案】　①②　．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．
对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
17．【答案】　{x|x＞2且x≠3}　．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
18．【答案】=1
【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，
连接MA，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=，
∴椭圆的方程为=1．
故答案为：=1．
【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，
b==，
则椭圆的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+x E=，可得x E=，
y E=k（x E﹣2）=，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，
可得x F=，y F=，
由2=+，可得P为EF的中点，
即有P（，），
则直线AP的斜率为t==，
当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=，
再令s=﹣k，可得t=，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，
当且仅当4s=时，取得最大值；
当s＜0时，t=≥﹣，
综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣
=ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣），
依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=，
∴ω=1，则m=±1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴，
∴．
又∵x∈[0，2π]，
∴．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为．
【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．　
21．【答案】
【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，
等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
22．【答案】
【解析】
【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减，
因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
24．【答案】
【解析】解：
（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD
（2）V=
又外接球半径R=
∴V′=π
∴V：V′=
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．。