新教材北师大版选择性必修第一册第1章11.6平面直角坐标系中的距离公式课件(42张)

[跟进训练] 2．若直线 m 被直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截得的 线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答 案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
①⑤ [如图，由两平行线间距离可得 d＝|1－23|＝ 2，
故 m 与两平行线的夹角都是 30°，而两平行线的倾斜角为 45°， 则 m 的倾斜角为 75°或 15°，故选①⑤．]
[思路点拨] 由点到直线的距离公式列出等式求 a．
－2 或 4 或 6 [由题意，得 a26＋a4＝|4a－a2a＋2＋a46|，即 4a－a2＋6 ＝±6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6．
检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6．]
1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． 2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一 点，再求这一点到另一直线的距离．
[解] 设所求的点为 C(x，0)，于是有 |AC|＝ x＋12＋0－22＝ x2＋2x＋5， |BC|＝ x－22＋0－ 72＝ x2－4x＋11， 由|AC|＝|BC|得，x＝1， 所以，所求点为 C(1，0)，且|CA|＝ 1＋12＋0－22＝2 2．
类型 2 点到直线(或平行直线间)的距离公式 【例 2】 若 O(0，0)，A(4，－1)两点到直线 ax＋a2y＋6＝0 的 距离相等，则实数 a＝________．
3．两条平行直线间的距离公式 (1)概念：夹在两条平行直线间的公__垂__线__段__的长度就是两条平行 直线间的距离．
(2)公式：两条平行|C1直－线C2|l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2 ＝0 之间的距离 d＝ A2＋B2 (其中 A、B 不全为 0，且 C1≠C2)．
3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什 么要求？
点、难点)
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
1．如何用向量的方法求平面上两点间的距离？ 2．如何用向量的方法求平面上点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C ＝0 的距离 d?
1．两点间的距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 ．
2．点到直线的距离公式
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂__足__之间的距离，就
是该点到直线的距离．
(2)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 ．
2．在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示] 要求直线的方程应化为一般式．
类型 3 解析法证明几何问题 【例 3】 已知四边形 ABCD 为矩形，M 是任一点．求证：|AM|2 ＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2． [思路点拨] 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可．
[证明] 分别以 AB、AD 所在直线为 x 轴，y 轴建立直角坐标系(如 图)，设 M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)， 则 D(0，b)，又 A(0，0)．
↑
↓
几何结论―→代数结论
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为(
A．1
B． 3
C．2
D [d＝|0＋21×2＋02－2 5|＝ 5．]
) D． 5
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2．直线 x－2y－1＝0 与直线 x－2y－c＝0 的距离为 2 5，则 c
的值为( ) A．9 B．11 或－9
C．－11
D．9 或－11
[跟进训练] 3．已知 AO 是△ABC 边 BC 的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2 ＋|OC|2)．
[证明] 以 O 点为原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如
图)，设 B(－a，0)，C(a，0)，A(x，y)， 由两点间距离公式得，|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2， |AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2， |AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－ a)2＋y2＋x2＋(y－b)2．
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．
1．解析法证明几何问题的步骤： (1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建 立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
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合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 两点间的距离公式 【例 1】 已知△ABC 三顶点坐标分别为 A(－3，1)，B(3，－3)， C(1，7)，试判断△ABC 的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
当堂达标·夯基础
必备素养 学以致用
1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22．
2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则 应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路
几何问题―坐――标―系→代数问题
的距离为2m－n． 22
(
)
(4) x21 ＋y21 ＋ x22 ＋y22 ≥ (x2－x1)2＋(y2－y1)2．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
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2．已知 A(3，6)，B(2，4)，则 A，B 两点间的距离为( )
A．5
B． 5
C．3
D． 29
B [由平面内两点间的距离公式可知，|AB|＝ ＝ 5．]
B [两平行线间的距离为 d＝|－112＋－－－2c2|＝2 5，解得 c＝－9
或 11．]
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3．已知直线 l1 与 l2 的夹角平分线为 y＝x，若 l1 的方程为 ax＋by ＋c＝0，那么 l2 的方程是________．
bx＋ay＋c＝0 [在直线 l2 上任取一点x，y，则它关于直线 y＝x 的对称点为y，x，易知它在直线 l2 上，所以 ay＋bx＋c＝0，即 bx＋ ay＋c＝0．]
3－2 ＋ 6－4 2 Nhomakorabea2
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3．直线 l1：3x＋4y－7＝0 和直线 l2：3x＋4y－2＝0 的距离为 ________．
1 [d＝－73－2＋(－422)＝1．]
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4．若第二象限内的点 P(m，1)到直线 x＋y＋1＝0 的距离为 2 2， 求 m 的值．
[解] 由|m＋121＋＋112 |＝2 2，得 m＝－6 或 m＝2， 又∵m<0，∴m＝－6．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2． ②当 P1P2∥x 轴时，|P1P2|＝__|x_2－__x_1_| ___． ③当 P1P2∥y 轴时，|P1P2|＝__|y_2－__y_1_|___．
1．如何推导平面上的两点间的距离公式？ [ 提 示 ] 因 为 两 点 为 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) ， 所 以 P→1P2 ＝ (x2－x1，y2－y1) ， P→1P2 ＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 ， 即 |P1P2| ＝ x2－x12＋y2－y12．
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4．平行于直线 3x＋4y－2＝0，且与它的距离是 1 的直线方程为 ________．
3x＋4y＋3＝0 或 3x＋4y－7＝0 [设所求直线方程为 3x＋4y＋c ＝0(c≠－2)，则 d＝|－322＋－4c2|＝1，∴c＝3 或 c＝－7，
即所求直线方程为 3x＋4y＋3＝0 或 3x＋4y－7＝0．]
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的 特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征， 主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理．
[跟进训练] 1．已知 A(－1，2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 C，使得△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，并求|CA|的值．
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝ 26，BC 边所在的直线方程
为 y＋2＝5(x－3)，即 5x－y－17＝0，
所以点 A 到直线 BC 的距离 d＝|5×522＋＋1－－1127|＝
6， 26
故 S△ABC＝12×
6× 26
26＝3．
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[提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且 x， y 对应的系数 应分别相等．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点 P(x0，y0)到直线 y＝b 的距离 d＝y0－b．
()
(2)点 P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|x0－a|．
()
(3)直线
x＋y＝m
与直线
2x＋2y＝n
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5．已知△ABC 中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)． (1)求 BC 边上的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．
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[解] (1)由斜率公式，得 kBC＝5， 所以 BC 边上的高所在直线方程为 y＋1＝－15(x－2)，即 x＋5y＋ 3＝0．
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第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程 平面直角坐标系中的距离公式
学习任务
核心素养
1．掌握两点间距离公式并会应用．(重 通过两点间距离、点到
点)
直线距离以及两条平
2．掌握点到直线距离公式，并能灵活 行线间距离公式的学
应用于求平行线间的距离等问题．(难 习，提升逻辑推理、数
点)
学运算、直观想象的数
3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重 学素养．
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， ∴kAC·kAB＝－1， ∴AC⊥AB． 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|． ∴△ABC 是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角 形的形状，以确定证明的方向．