∥3套精选试卷∥衡水市2018-2019二轮总复习数学能力测试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝
()
()
a b a b
a
a b
b
+<
⎧
⎪
⎨
-≥
⎪⎩
，那么函数y＝2★x的图象大致是（）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；
当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2
x
，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象
限时，0＜x≤2，故B错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．
2．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：
次序第一次第二次第三次第四次第五次
甲命中的环数(环) 6 7 8 6 8
乙命中的环数(环) 5 10 7 6 7
根据以上数据，下列说法正确的是( )
A．甲的平均成绩大于乙B．甲、乙成绩的中位数不同
C．甲、乙成绩的众数相同D．甲的成绩更稳定
【答案】D
【解析】根据已知条件中的数据计算出甲、乙的方差，中位数和众数后，再进行比较即可．
【详解】把甲命中的环数按大小顺序排列为：6，6，7，8，8，故中位数为7；
把乙命中的环数按大小顺序排列为：5，6，7，7，10，故中位数为7；
∴甲、乙成绩的中位数相同，故选项B错误；
根据表格中数据可知，甲的众数是8环，乙的众数是7环，
∴甲、乙成绩的众数不同，故选项C错误；
甲命中的环数的平均数为：（环），
乙命中的环数的平均数为：（环），
∴甲的平均数等于乙的平均数，故选项A错误；
甲的方差=[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(6−7)2+(8−7)2]=0.8；
乙的方差=[(5−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(7−7)2]=2.8，
因为2.8＞0.8，
所以甲的稳定性大，故选项D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．同时还考查了众数的中位数的求法.
3．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝1．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转11°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
A13B5C．22D．4
【答案】A
【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．
若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．
在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，
由勾股定理得：AD113
故选A.
考点: 1.旋转；2.勾股定理.
4．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为
2
1
2
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
的是()
A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8
C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8
【答案】D
【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．
解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．
故选D．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）
A．五边形B．六边形C．七边形D
．八边形
【答案】D
【解析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
6．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
【答案】D
【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
∵AD=DE，
∴AD DE
=，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；
∵AD2=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；
∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：AC=BD：AB，
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，
故选：D．
考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定
7．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
【答案】D
【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，
则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是
2
12
＝
1
6
；
故选D．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是2
5400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --=
【答案】B
【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-= 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键. 9．若分式1
1
x x -+的值为零，则x 的值是( ) A ．1 B ．1-
C ．1±
D ．2
【答案】A
【解析】试题解析：∵分式11
x x -+的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选A ．
10．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是
11()1323
x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。

同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】设这个数是a ，把x=1代入方程得出一个关于a 的方程，求出方程的解即可． 【详解】设这个数是a ， 把x=1代入得：13（-2+1）=1-5a 3
-，
∴1=1-
5a 3
-， 解得：a=1． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a 的方程是解此题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．
【答案】
23
【解析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P （小于5）=46=23．故答案为23
． 12．分解因式6xy 2－9x 2y －y 3 = _____________. 【答案】－y(3x －y)2
【解析】先提公因式-y ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】6xy 2－9x 2y －y 3 =-y(9x 2-6xy+y 2) =-y(3x-y)2， 故答案为：-y(3x-y)2. 【点睛】
本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止. 13．如果分式4
2
x x -+的值为0，那么x 的值为___________． 【答案】4 【解析】∵
4
02
x x -=+， ∴x-4=0，x+2≠0，
解得：x=4， 故答案为4.
14．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝
1x (x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝k
x
(k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为3
2
，则k 的值为_____．
【答案】1
【解析】过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，求出A （1，1），B （2，
12
），C （1，k ），D （2，2k
），将面
积进行转换S △OAC ＝S △COM ﹣S △AOM ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 进而求解． 【详解】解：过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，
点A ，B 在反比例函数y ＝1
x
（x ＞0）的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2， ∴A （1，1），B （2，12
）， ∵AC ∥BD ∥y 轴， ∴C （1，k ），D （2，
2
k ）， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为
32， 111112222
OAC
COM
AOM
k S
S
S
k ∴=-=⨯-⨯⨯=-， S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1
111122224
-⎛⎫⎛⎫=
+⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 113
2242
k k -∴-+=， ∴k ＝1， 故答案为1． 【点睛】
本题考查反比例函数的性质，k 的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键．
15．观察下列一组数：13579
,,
,,,49162536
⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____．
【答案】
2
21
(1)n n -+
【解析】试题解析：根据题意得，这一组数的第n 个数为：
()
2
21
.1n n -+
故答案为
()
2
21
.1n n -+
点睛：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第
n 个数即可．
16．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为____．
【答案】3
【解析】试题分析：因为等腰△ABC 的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE 垂直平分AB ，所以AE=BE,所以△BEC 的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3． 考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．
17．如图，在△ABC 中，∠A=70°,∠B=50°，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上点F 处，若△EFC 为直角三角形，则∠BDF 的度数为______．
【答案】110°或50°．
【解析】由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC 度数，继而由∠BDF=∠DFC ﹣∠B 可得答案．
【详解】∵△ABC 中，∠A=70°、∠B=50°，∴∠C=180°﹣∠A ﹣∠B=60°，由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，分两种情况讨论：
①当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，则∠BDF=∠DFC ﹣∠B=110°；
②当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC ﹣∠C=30°，∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，∠BDF=∠DFC ﹣∠B=50°； 综上：∠BDF 的度数为110°或50°． 故答案为110°或50°．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．
18．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程2x3x80
k
-+=，则△ABC的周长是．【答案】6或12或1．
【解析】根据题意得k≥0且（3k）2﹣4×8≥0，解得k≥32 9
.
∵整数k＜5，∴k=4.
∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4.
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2.
∴△ABC的周长为6或12或1.
考点：一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，分类思想的应用.
【详解】请在此输入详解！
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．求证：DE是⊙O的切线；若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为
8
83
3
π
．
【解析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8， ∴CD=22228443-=-=DO OC
∴S △OCD =
434
22
⋅⨯=CD OC =83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°， ∴S 扇形OBC =
16
×π×OC 2=8
3π，
∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC ∴S 阴影=83﹣83
π
，
∴阴影部分的面积为83﹣83
π
．
20．△ABC 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，∠A ＝60°，点D 在AC 上，连接BD 作等边三角形BDE ，连接OE ．
如图1，求证：OE ＝AD ；如图2，
连接CE ，求证：∠OCE ＝∠ABD ；如图3，在(2)的条件下，延长EO 交⊙O 于点G ，在OG 上取点F ，使OF ＝2OE ，延长BD 到点M 使BD ＝DM ，连接MF ，若tan ∠BMF 53
，OD ＝3，求线段CE 的长． 【答案】 (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CE 13 【解析】(1)连接OB ，证明△ABD ≌△OBE ，即可证出OE ＝AD ．
(2)连接OB ，证明△OCE ≌△OBE ，则∠OCE ＝∠OBE ，由(1)的全等可知∠ABD ＝∠OBE ，则∠OCE ＝∠ABD ． (3)过点M 作AB 的平行线交AC 于点Q ，过点D 作DN 垂直EG 于点N ，则△ADB ≌△MQD ，四边形MQOG 为平行四边形，∠DMF ＝∠EDN ，再结合特殊角度和已知的线段长度求出CE 的长度即可． 【详解】解：(1)如图1所示，连接OB ，
∵∠A＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，∠A＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵△DBE为等边三角形，
∴DB＝DE＝BE，∠DBE＝∠BDE＝∠DEB＝60°，
∴∠ABD＝∠OBE，
∴△ADB≌△OBE(SAS)，
∴OE＝AD；
(2)如图2所示，
由(1)可知△ADB≌△OBE，
∴∠BOE＝∠A＝60°，∠ABD＝∠OBE，
∵∠BOA＝60°，
∴∠EOC＝∠BOE =60°，
又∵OB=OC，OE=OE，
∴△BOE≌△COE(SAS)，
∴∠OCE＝∠OBE，
∴∠OCE＝∠ABD；
(3)如图3所示，过点M作AB的平行线交AC于点Q，过点D作DN垂直EG于点N，
∵BD＝DM，∠ADB＝∠QDM，∠QMD＝∠ABD，∴△ADB≌△MQD(ASA)，
∴AB＝MQ，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝1
2
AC＝AO＝CO＝OG，
∴MQ＝OG，
∵AB∥GO，
∴MQ∥GO，
∴四边形MQOG为平行四边形，
设AD为x，则OE＝x，OF＝2x，
∵OD＝3，
∴OA＝OG＝3+x，GF＝3﹣x，
∵DQ＝AD＝x，
∴OQ＝MG＝3﹣x，
∴MG＝GF，
∵∠DOG＝60°，
∴∠MGF＝120°，
∴∠GMF＝∠GFM＝30°，
∵∠QMD＝∠ABD＝∠ODE，∠ODN＝30°，
∴∠DMF＝∠EDN，
∵OD＝3，
∴ON＝3
2，DN＝
33
2
，
∵tan∠BMF＝53
9
，
∴tan∠NDE ＝53
9
，
∴
3
53
2
9
33
2
x+
=，
解得x＝1，
∴NE＝
5
2
，
∴DE＝13，
∴CE＝13．
故答案为(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CE＝13．
【点睛】
本题考查圆的相关性质以及与圆有关的计算，全等三角形的性质和判定，第三问构造全等三角形找到与∠BMF相等的角为解题的关键．
21．如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，∠ACD=120°.求证：CD是O 的切线；若O的半径为2，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）见解析
（2）图中阴影部分的面积为
2
3
π.
【解析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC ⊥CD ，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：∠1＝∠2＋∠A ＝60°．
∴S 扇形BOC ＝2602360
π⨯＝23π． 在Rt △OCD 中，∠D ＝30°，
∴OD ＝2OC ＝4，
∴CD
∴S
Rt △OCD ＝12OC×CD ＝12×2× ∴图中阴影部分的面积为：2
3π． 22．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y 与x 的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
【答案】（1）①y=400x ﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能， 11元.
【解析】(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x 的值得出答案．
【详解】解：（1）①y=400（x ﹣5）﹣2．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x ﹣5）﹣2≥800， 解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x （元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣2，
当y=1560时， （x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣2=1560，
解得：x 1=11，x 2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x 1=11，即x 2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．
23．我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
根据图示填写下表；
平均数（分）中位数（分）众数（分）
初中部85
高中部85 100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）
平均数（分）中位数（分）众数（分）
初中部85 85 85
高中部85 80 100
（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定
【解析】解：（1）填表如下：
平均数（分）中位数（分）众数（分）
初中部85 85 85
高中部85 80 100
（2）初中部成绩好些．
∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵
，
222222S 7085100851008575858085160=-+-+-+-+-=高中队（）（）（）（）（）， ∴2S 初中队＜2
S 高中队，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答．
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可．
（3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．
24．如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．
【答案】见解析
【解析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．
【详解】如图所示：P 点即为所求．
【点睛】
本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
25．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP ＝CQ ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转(保持点P 在△ABC 内部)，连接AP 、BP 、BQ ．如图1求证：AP ＝BQ ；如图2当三角板CPQ 绕点C 旋转到点A 、P 、Q 在同一直线时，求AP 的长；设射线AP 与射线BQ 相交于点E ，连接EC ，写出旋转过程中EP 、EQ 、EC 之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析（2）142
-（3）EP+EQ= 2EC
【解析】（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；
作CH⊥PQ 于H，由题意可求PQ=22，可得CH=2，根据勾股定理可求
AH=14，即可求AP 的长；
作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=
∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．
【详解】解：（1）如图1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA=BQ
如图 2 中，作CH⊥PQ 于H
∵A、P、Q 共线，PC=2，
∴2，
∵PC=CQ，CH⊥PQ
∴CH=PH= 2
在Rt△ACH 中，22
-14
AC CH
∴PA=AH﹣PH= 142
解：结论：2EC
理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90°，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，2，
∴2EC
【点睛】
本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．
26．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
【答案】100或200
【解析】试题分析：此题利用每一台冰箱的利润×每天售出的台数=每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可．
试题解析：设每台冰箱应降价x元，每件冰箱的利润是：元，卖（8+x
50
×4）件，
列方程得，
（8+x
50
×4）=4800，
x2﹣300x+20000=0，
解得x1=200，x2=100；
要使百姓得到实惠，只能取x=200，答：每台冰箱应降价200元．
考点：一元二次方程的应用．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ） A ．4 B ．2
C ．23
D ．43
【答案】A
【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A ． 考点：正多边形和圆．
2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ） A ．2x% B ．1+2x% C ．（1+x%）x% D ．（2+x%）x%
【答案】D
【解析】设第一季度的原产值为a ，则第二季度的产值为(1%)a x + ，第三季度的产值为2
(1%)a x + ，
则则第三季度的产值比第一季度的产值增长了2(1%)(2%)%a x a
x x a
+-=+
故选D.
3． 如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．
【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，DE ∥AB ，若∠CDE=165°，则∠B 的度数为（ ）
A ．15°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
【答案】D
【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°， ∵DE ∥AB ，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C ﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°， 故选D ． 【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =
【答案】C
【解析】∵二次函数2
2y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
6．已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A ．∠NOQ ＝42°
B ．∠NOP ＝132°
C ．∠PON 比∠MOQ 大
D ．∠MOQ 与∠MOP 互补
【答案】C
【解析】试题分析：如图所示：∠NOQ=138°，选项A 错误；∠NOP=48°，选项B 错误；如图可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON 比∠MOQ 大，选项C 正确；由以上可得，∠MOQ 与∠MOP 不互补，选项D 错误．故答案选C ． 考点：角的度量.
7．如图所示的正方体的展开图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.
【详解】把各个展开图折回立方体，根据三个特殊图案的相对位置关系，可知只有选项A 正确. 故选A 【点睛】
本题考核知识点：长方体表面展开图.解题关键点：把展开图折回立方体再观察.
8．根据下表中的二次函数2
y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴
（ ）．
x
…
1-
1
2
…
y
…
1-
7
4
-
2-
74
-
…
A ．只有一个交点
B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
【答案】B
【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上 则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 故选B. 【点睛】
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的两边在坐标轴上，OB ＝1，点A 在函数y ＝﹣
2
x
（x ＜0）的
图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝k
x
（x＞0）的图象上，
C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）
A．5
3
B．
3
4
C．
4
3
D．
2
3
【答案】C
【解析】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．
详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数
2
y
x
=-(x<0)的图象上，
∴当x=−1时，y=2，
∴A(−1,2).
∵此矩形向右平移3个单位长度到
1111
A B O C的位置，∴B1(2,0)，
∴A1(2,2).
∵点A1在函数
k
y
x
=(x>0)的图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为
4
y
x
=,O1(3,0)，
∵C1O1⊥x轴，
∴当x=3时,4
3
y=，
∴P4
(3,).
3
故选C.
点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.
10．如图，点A是反比例函数y=k
x
的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一
点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．
【答案】四丈五尺
【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x 15＝
1.5
0.5
，
解得x=45（尺）．
故答案为：四丈五尺．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
12．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=
2
3
x
（x≥0）于B、C两点，过点C作y
轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则
DE
AB
=______．
【答案】33
【解析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.
【详解】设点B 的横坐标为a ，则(
)2
,B a a
∵平行于x 轴的直线AC ∴(
)(
)
2
20,,3,A a
C a a
又∵CD 平行于y 轴 ∴)
23,3D
a a
又∵DE ∥AC ∴(
)2
3,3E a a
∴(33,DE a AB a == ∴
DE
AB
=33【点睛】
此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质. 13．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____． 【答案】0，1，2，1 【解析】5x ﹣1＜1x+5， 移项得，5x ﹣1x ＜5+1， 合并同类项得，2x ＜8， 系数化为1得，x ＜4
所以不等式的非负整数解为0，1，2，1； 故答案为0，1，2，1．
【点睛】根据不等式的基本性质正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 14．
1
2
的相反数是______．
【答案】﹣
12
． 【解析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【详解】
1
2的相反数是12-.
故答案为1
2
-. 【点睛】
本题考查的知识点是相反数，解题关键是熟记相反数的概念.
15．如图，在ABC ∆中，5BC AC ==,8AB =,CD 为AB 边的高，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C 在第一象限，若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动ABC ∆在平面内滑动，设运动时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动
连接OC ，线段OC 的长随t 的变化而变化，当OC 最大时，t =______.当ABC ∆的
边与坐标轴平行时，t =______. 【答案】2
2432
55
和 【解析】（1）由等腰三角形的性质可得AD=BD ，从而可求出OD=4，然后根据当O ，D ，C 共线时，OC 取最大值求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出CD ，分AC ∥y 轴、BC ∥x 轴两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理列式计算即可．
【详解】（1）1
5,,42
BC AC CD AB AD BD AB ∴==⊥∴==
=， 1
90,,42
AOB AD BD OD AB ︒∠==∴=
=， 当O ，D ，C 共线时，OC 取最大值，此时OD ⊥AB. ∵,4OD AB OD AD BD ⊥===， ∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴242OA t AD ==
= ；
（2）∵BC=AC ，CD 为AB 边的高， ∴∠ADC=90°，BD=DA=1
2
AB=4， ∴22AC AD -，
当AC ∥y 轴时，∠ABO=∠CAB ，。