最新高考数学2轮复习练习：仿真卷2 Word版含答案

2021年浙江（高|考）仿真卷(二)
(对应学生用书第167页)
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部 ,共150分 ,考试时间120分钟．
第一卷
一、选择题(本大题共10小题 ,每题4分 ,共40分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪
一项符合题目要求的)
1．i是虚数单位 ,那么
2i
1－i
＝( )
A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i
B[2i
1－i ＝
2i1＋i
2
＝－1＋i ,应选B.]
2．集合M＝{x|x2＋x－12≤0} ,N＝{y|y＝3x ,x≤1} ,那么集合{x|x∈M且x∉N}为( ) A．(0,3] B．[－4,3]
C．[－4,0) D．[－4,0]
D[易得M＝[－4,3] ,N＝(0,3] ,那么{x|x∈M且x∉N}＝[－4,0] ,应选D.]
3．x∈R ,那么 "|x－3|－|x－1|<2”是 "x≠1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A[因为|x－3|－|x－1|≤|(x－3)－(x－1)|＝2 ,当且仅当x≤1时 ,等号成立 ,所以|x－3|－|x－1|＜2等价于x>1 ,所以 "|x－3|－|x－1|<2”是 "x≠1”的充分不必要条件．应选
A.]
4．如图1 ,某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形 ,那么该多面体的各条棱中 ,最|长的棱的长度为 ( )
图1
A．2 2 B.10
C ．2 3 D.13
C [三视图对应的直观图为四棱锥 ,补形成正方体如下图 ,
由图可知最|长棱的长度为2 3.]
5．假设(1＋2x )5
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 5x 5
,那么a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝( ) A ．122 B ．123 C ．243
D ．244
B [记f (x )＝(1＋2x )5
,那么a 0＝f (0)＝1, 又f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35
,f (－1)＝a 0－
a 1＋a 2－…－a 5＝(－1)5＝－1 ,两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝122 ,
所以a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123 ,应选B.]
6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和 ,那么以下命题错误的选项是．．．．．．
( )
A ．假设d <0 ,那么数列{S n }有最|大项
B ．假设数列{S n }有最|大项 ,那么d <0
C ．假设数列{S n }是递增数列 ,那么对任意n ∈N *
,均有S n >0 D ．假设对任意n ∈N *
,均有S n >0 ,那么数列{S n }是递增数列 C [由于S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数 ,定义域为N * ,所以当d <0
时 ,S n 有最|大值 ,反之也成立 ,故A ,B 正确；由于S n ＋1>S n ⇔a n ＋1>0 ,即假设数列{S n }是递增数列 ,那么a n >0(n ≥2) ,并不能说明a 1>0也成立 ,如数列－1 ,1,3,4 ,… ,所以C 不正确；对于D ,显然a 1＝S 1>0 ,假设公差d <0 ,由S n ＝d
2n 2
＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2n 可知 ,存在n ∈N *
,有S n <0 ,与
对任意n ∈N *
,均有S n >0矛盾 ,所以d ≥0 ,从而a n >0(n ∈N *
) ,所以数列{S n }是递增数列 ,故D 正确．]
7．O 为三角形ABC 内一点 ,且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →
＝0 ,假设△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为1
3 ,那么λ的值为( )
A.32
B ．2 C.13
D.12
A [
如图 ,设BC 的中点为E ,连接OE ,直线AO 与BC 相交于点F ,由OA →
＋
λOB →＋(λ－1)OC →＝0 ,可知(OA →－OC →)＋λ(OB →＋OC →)＝0 ,CA →＝－2λOE →
,
那么CA →∥OE → ,因为△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为1
3
,所以BC ＝
4BF ,又BC ＝2BE ,所以BE ＝2BF ,从而CF ＝3EF ,AC →＝3OE → ,所以2λ＝3 ,λ＝3
2.]
8．给定R 上函数f (x ) ,( )
A ．存在R 上函数g (x ) ,使得f (g (x ))＝x
B ．存在R 上函数g (x ) ,使得g (f (x ))＝x
C ．存在R 上函数g (x ) ,使得f (g (x ))＝g (x )
D ．存在R 上函数g (x ) ,使得f (g (x ))＝g (f (x ))
D [对于A ,B ：假设f (x )＝1 ,那么f (g (x ))＝x ,g (f (x ))＝x 均不成立 ,排除A ,B ；对于C ：
f (x )＝x ＋1 ,那么f (
g (x ))＝g (x )＋1≠g (x ) ,排除C ；当g (x )＝x 时 ,f (g (x ))＝f (x ) ,同时g (f (x ))＝f (x ) ,即f (g (x ))＝g (f (x )) ,所以给定R 上的函数f (x ) ,一定存在R 上的函数g (x )
＝x ,使得f (g (x ))＝g (f (x )) ,应选D.]
9．如图 ,有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖) ,底面棱长为1 dm(dm 为分米) ,高为5 dm ,两个小孔在其相对的两条侧棱上 ,且到下底面距离分别为3 dm 和4 dm ,那么(水不外漏情况下)此容器可装的水最|多为( )
图2
A.92 dm 3
B ．4 dm 3
C.72
dm 3
D ．3 dm 3
C [由题意得当容器内的水的上外表过两孔连线所在的平面时 ,容器内装的水最|多 ,又因为容器的底面为正方形 ,那么由长方体的对称性易得当容器内的水的上外表平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时 ,容器内装的水最|多 ,此时容器内装的水的体积为3×1×1＋12×1×1×1＝7
2
,应选C.]
10．0<x <y,2<x 2
＋y <52
,那么以下不正确的选项是( )
A ．sin x 2
<sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－y
B ．sin x 2
>sin(2－y ) C ．sin(2－x 2
)<sin y
D ．sin x 2
<cos(y －1)
C [易得x 2＋x <x 2
＋y <52 ,所以0<x <11－12<1.2 ,
又可得2<x 2＋y <y 2
＋y ,所以y >1 ,又y <52 ,所以1<y <52
.
由x 2＋y <52得0<x 2<52－y <32<π2 ,所以sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－y ,故A 正确；由2<x 2＋y 得π2>1.44>x 2
>2
－y >－12>－π2 ,所以sin x 2>sin(2－y ) ,故B 正确；对于 C ,取2－x 2
＝π2 ,那么
π2<y <1＋π2 ,sin(2－x 2)<sin y ,显然不成立 ,所以C 不正确；由x 2＋y <52得0<x 2<5
2－y <π2＋1
－y <π2 ,所以sin x 2
<sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋1－y ＝cos(y －1) ,故D 正确．]
第二卷
二、填空题(本大题共7小题 ,多空题每题6分 ,单空题每题4分 ,共36分．把答案填在题中横线上)
11．圆C ：x 2
＋y 2
＋2x ＋23y －5＝0 ,那么圆心C 的坐标为________；此圆中过原点的弦最|短时 ,该弦所在的直线方程为________． (－1 ,－3) y ＝－
3
3
x [x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0⇒(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9 ,所以圆心为C (－1 ,－3) ,半径r ＝3 ,圆中过原点最|短的弦所在的直线即为过原点且与CO (O 为原点)
垂直的直线 ,易求得该直线方程为y ＝－
3
3
x .] 12．单调递减的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28 ,且a 3＋2是a 2 ,a 4的等差中项 ,那么公比q ＝________ ,通项公式为a n ＝________.
12 26－n
[由题设可知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4 ,又a 2＋a 3＋a 4＝28 ,所以a 3＝8 ,a 3q ＋a 3＋a 3q ＝28 ,所以8q ＋8＋8q ＝28 ,解得q ＝2或q ＝12.因为{a n }单调递减 ,且a 3>0 ,所以q ＝12
,从而a n ＝a 3q
n －3
＝8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3＝26－n
.]
13．函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －1
2
,x ∈R ,那么函数f (x )的最|小值为________ ,函数f (x )
的递增区间为________．
－2
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤k π－π6 k π＋π3 ,k ∈Z
[f (x )＝3sin x cos x －cos 2
x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12
＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ,易知f (x )min ＝－2 ,递增区间为⎣⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤
k π－π6
k π＋π3 ,k ∈Z .] 14．将9个相同的小球放入3个不同的盒子 ,每个盒子中至|少有1个小球 ,共有________种不同的方法．假设要求每个盒子中至|少有1个小球 ,且每个盒子中的小球个数都不相同 ,那么共有________种不同的方法．
28 18 [(1)每个盒子非空 ,那么共有C 2
8＝28种方法； (2)三个盒子中球的个数有以下三类：1,3,5；1,2,6；2,3,4.
每一类都有A 3
3种不同的方法 ,所以根据分类计数原理 ,共有3A 3
3＝18种不同的方法．]
15．设max{a ,b }＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
a a ≥
b b a <b x ,y ∈R ,m ＋n ＝6 ,那么F ＝max{|x 2－4y ＋m | ,|y 2－2x ＋
n |}的最|小值为________．
12
[F ＝max{|x 2－4y ＋m | ,|y 2
－2x ＋n |} ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2
＋y 2
－2x －4y ＋m ＋n 2＋ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2
－y 2
＋2x －4y ＋m －n 2 ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
x －12
＋y －22
＋12 ＋⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
x ＋12
－
y ＋2
2
＋m －n ＋32 ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1
2
＋
x －12
＋y －2
2
2 ＋⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪x ＋12
－y ＋2
2
＋m －n ＋32
≥1
2 , 当且仅当
⎩⎪⎨⎪⎧
x －1
2
＋y －22
＝0
x ＋12
－y ＋2
2
＋m －n ＋3＝0
m ＋n ＝6
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1
y ＝2
且⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝152 n ＝－32
时 ,取 "＝〞 ,所以F 的最|小值为1
2
.]
16．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0 ,b >0)的左、右焦点分别是F 1 ,F 2 ,过F 2的直线交双曲线的右支于P ,Q
两点 ,假设|PF 1|＝|F 1F 2| ,且3|PF 2|＝2|QF 2| ,那么该双曲线的离心率为________．
7
5
[如图 ,由双曲线的定义可知 ,|PF 2|＝2(c －a ) , 那么|QF 2|＝3
2
|PF 2|＝3(c －a ) ,
设F 2P 的中点为M ,连接F 1M ,那么F 1M ⊥MQ ,|PM |＝|MF 2|＝1
2|PF 2|＝c －a .在直角三角形F 1MQ
中 ,|F 1Q |＝|QF 2|＋2a ＝3c －a ,|F 1M |2
＝4c 2
－(c －a )2
,|QM |＝4(c －a ) ,由勾股定理可得[4(c －a )]2＋4c 2－(c －a )2＝(3c －a )2 ,即5c 2－12ac ＋7a 2＝0,5e 2
－12e ＋7＝0 ,解得e ＝75(e ＝1舍
去)．]
17．实数x ,y ,z 满足⎩⎪⎨⎪⎧
xy ＋2z ＝1
x 2＋y 2＋z 2
＝5
那么xyz 的最|小值为________．
－77－20 [由xy ＋2z ＝1得xy ＝1－2z ,那么5＝x 2
＋y 2
＋z 2
≥2xy ＋z 2
＝2－4z ＋z 2
,解得2－7≤z ≤2＋7 ,那么xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2
＋z 的最|小值为－2(2＋7)2
＋2＋7＝－77－20.]
三、解答题(本大题共5小题 ,共74分．解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤)
18．(本小题总分值14分)在△ABC 中 ,内角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,a tan A －a cos
B ＝b cos
C .
(1)求角A 的大小；
(2)设AD 是BC 边上的高 ,假设AD ＝12a ,求b
c
的值．
[解] (1)由正弦定理知sin A tan A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin A ,
3分
又sin A ≠0 ,故tan A ＝1 ,A ＝π
4
.
7分
(2)△ABC 的面积S ＝12a ·12a ＝1
2bc sin A ,
故a 2
＝2bc ,
10分
又a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A , 故b 2
＋c 2
－22bc ＝0 , 13分 求得b c
＝2±1.
14分
19．(本小题总分值15分)如图2 ,在四棱锥P ­ABCD 中 ,底面ABCD 为直角梯形 ,∠ADC ＝∠BCD ＝90° ,BC ＝2 ,CD ＝ 3 ,PD ＝4 ,∠PDA ＝60° ,且平面PAD ⊥平面ABCD .
图2
(1)求证：AD ⊥PB ；
(2)在线段PA 上是否存在一点M ,使二面角M ­BC ­D 的大小为π6 ?假设存在 ,求PM
PA 的值；假设
不存在 ,请说明理由．
[解] (1)证明：过点B 作BO ∥CD ,交AD 于点O ,连接PO ,
那么AD ⊥BO ,
2分
在△PDO 中 ,PD ＝4 ,DO ＝2 ,∠PDA ＝60° , 那么PO ⊥AD ,
4分
因为PO ∩BO ＝O ,那么AD ⊥平面POB , 因为PB ⊂平面POB ,所以AD ⊥PB .
6分
(2)法一：由(1)可建立如下图的空间直角坐标系 ,
那么O (0,0,0) ,B (0 , 3 ,0) ,C (－2 , 3 ,0)． 假设存在满足条件的点M (m,0 ,n ) ,
7分
MB →
＝(－m , 3 ,－n ) ,BC →
＝(－2,0,0) ,
平面MBC 的一个法向量为μ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫0 1 3n , 10分
又平面ABCD 的一个法向量为ν＝(0,0,1) ,
12分
cos 〈μ ,ν〉＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3n 1＋
3
n 2
＝3
2
,∴n ＝1 , 14分
∴
PM PA ＝PO －1PO ＝23－123
＝6－36.
15分
法二：假设存在点M ,过点M 作AD 的平行线交PO 于点N ,连接BN ,
那么∠NBO 即为二面角M ­BC ­D 的平面角 ,
9分 cos ∠NBO ＝
32⇒tan ∠NBO ＝33＝NO
OB
⇒ON ＝1 , 12分
PN ＝PO －NO ＝23－1 ,
∴
PM PA ＝PN PO ＝23－123
＝1－3
6. 15分
20．(本小题总分值15分)函数f (x )＝x 3
＋|ax －3|－2 ,a >0. (Ⅰ)求函数y ＝f (x )的单调区间；
(Ⅱ)当a ∈(0,5)时 ,对于任意x 1∈[0,1] ,总存在x 2∈[0,1] ,使得f (x 1)＋f (x 2)＝0 ,求实数
a 的值．
[解] (Ⅰ)f (x )＝x 3
＋|ax －3|－2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＋ax －5
x ≥3a x 3
－ax ＋1 x <3a
.
当
a 3≥3
a
时 ,即a ≥3 ,
函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－a
3
3a
,单调递增区间为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －a 3 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a ＋∞；
当
a 3<3
a
时 ,即0<a <3 ,
函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－a
3
a
3
,单调递增区间为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －a 3 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3 ＋∞.
(2)由题意知 ,对于任意x 1∈[0,1] ,总存在x 2∈[0,1] ,使得f (x 1)＋f (x 2)＝0 ,等价于f (x )min
＋f (x )max ＝0 ,
由(Ⅰ)得 ,当3≤a <5时 ,y ＝f (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0 3a 上单调递减 ,在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤
3a 1上单调递增 ,
所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a
＝27
a
3－2 ,
f (x )max ＝max{f (0) ,f (1)}＝max{1 ,a －4}＝1 ,
所以27
a
3－2＋1＝0 ,所以a ＝3；
11分
当0<a <3时 ,y ＝f (x )在⎣
⎢⎢
⎡⎭⎪⎪⎫0
a 3上单调递减 ,在⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤
a 3 1上单调递增 , 所以f (x )min ＝f ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
a 3＝1－2a
3a
3
, f (x )max ＝max{f (0) ,f (1)}＝max{1,2－a } ,
当1<a <3时 ,f (x )max ＝1 ,那么1－
2a
3
a
3
＋1＝0 ,得a ＝3(舍去)；
当0<a ≤1时 ,f (x )max ＝2－a ,那么1－
2a
3a 3
＋2－a ＝0 , 即3－a ＝
2a
3
a
3 ,其中3－a ≥2 ,而2a
3
a
3<2 ,所以无解 ,舍去.
14分 综上所述 ,a ＝3.
15分
21．(本小题总分值15分)抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ,以A (x 1 ,y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ,B ,C 均在抛物线C 上．
图3
(1)过Q (0 ,－3)作抛物线C 的切线l ,切点为R ,点F 到切线l 的距离为2 ,求抛物线C 的方程；
(2)求△ABC 面积的最|小值．
[解] (1)过点Q (0 ,－3)的抛物线C 的切线l ：y ＝kx －3 , 联立抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)得x 2
－2pkx ＋6p ＝0 ,
Δ＝4p 2k 2－4×6p ＝0 ,即pk 2
∵点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫0 p 2 ,点F 到切线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪p 2＋3k 2＋1＝2 ,
化简得(p ＋6)2
＝16(k 2
＋1) ,
4分
∴(p ＋6)2
＝16⎝ ⎛⎭
⎪⎫6p
＋1＝
16p ＋6
p
,∵p >0 ,∴p ＋6>0 , 得p 2
＋6p －16＝(p ＋8)(p －2)＝0 , ∴p ＝2 ,
因此抛物线方程为C ：x 2
＝4y .
6分
(2)直线AB 不会与坐标轴平行 , 设直线AB ：y －y 1＝k (x －x 1)(k >0) ,
联立抛物线方程得x 2
－2pkx ＋2p (kx 1－y 1)＝0 ,那么x 1＋x B ＝2pk , 那么x B ＝2pk －x 1 ,同理可得x C ＝－2p
k
－x 1.
8分
∵|AB |＝|AC |⇔1＋k 2
|x B －x 1|＝
1＋1k 2|x C －x 1|⇒k (x B －x 1)＝x 1－x C ⇒x 1＝p ⎝
⎛
⎭⎪⎫
k 2
－1k k ＋1
.
∴|AB |＝1＋k 2|x B －x 1|＝1＋k 2(2pk －2x 1) ＝2p 1＋k 2k 2＋1
k k ＋1. 12分 ∵k 2＋1k ≥2 ,k 2＋1k ＋1＝k 2＋1k 2＋2k ＋1≥k 2＋1k 2＋1＋k 2＋1＝22(当且仅当k ＝1时等号成立) ,
故|AB |≥22p ,△ABC 面积的最|小值为4p 2.
15分 22．(本小题总分值15分)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n ＋1·a n ＝1n (n ∈N *
)．
(1)证明：a n ＋2n ＝a n
n ＋1；
(2)证明：2(n ＋1－1)≤1
2a 3＋13a 4＋…＋1n ＋1a n ＋2
≤n .
[证明] (Ⅰ)∵a n ＋1·a n ＝1
n , ①
∴a n ＋2·a n ＋1＝1
n ＋1 , ②
2分 而a 1＝1 ,易得a n >0 ,
由②÷①得a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a
n ＋2a n ＝n n ＋1
,
∴a n ＋2n ＝a n
n ＋1.
5分 (2)由(1)得(n ＋1)a n ＋2＝na n ,
∴1
2a 3＋13a 4＋…＋1
n ＋1a n ＋2＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n .
(7分)
令b n ＝na n ,
那么b n ·b n ＋1＝na n ·(n ＋1)a n ＋1＝n ·n ＋1
n ＝n ＋1 , ③ ∴当n ≥2时 ,b n －1·b n ＝n , ④
由b 1＝a 1＝1 ,b 2＝2 ,易得b n >0 ,
由③－④得1
b n
＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)．
∴b 1<b 3<…<b 2n －1 ,b 2<b 4<…<b 2n ,得b n ≥1. 10分 根据b n ·b n ＋1＝n ＋1得b n ＋1≤n ＋1 ,∴1≤b n ≤n , ∴1
a 1＋1
2a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1
b n
＝1
b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1)
＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2＝b n ＋b n ＋1－2. 12分
一方面 ,b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1) ,
另一方面 ,由1≤b n ≤n 可知b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1＋n ＋1－2 n ＋n ＋1n －2＝n . 15分。