辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

大连市2021~2022学年度第一学期期末考试
高一数学
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}
23B x x =-≤≤，则A B ⋂=（ ）
A ．[]1,3-
B ．[]2,4-
C ．[]2,1--
D ．[]1,4- 2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A ．86
B ．87
C ．88
D ．89
3．已知函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的，则“()()0f a f b <”是（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在ABC △中，P ，Q 分别是边AB ，AC 上的点，且13AP AB =，13
BQ BC =，若AB a =，AC b =，则PQ =（ ）
A ．1
133a b + B ．1
133a b -+ C ．1
133a b - D ．1
133
a b -- 5．我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人处5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱．问合伙人数、羊价各是多少．”由此可推算，羊价为（ ）
A ．24钱
B ．165钱
C ．21钱
D ．150钱
6．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具．设事件A 为“向上一面点数为偶数”，事件B 为“向上一面点数为6的约数”，则()P A B +为（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．56
7．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水、循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据lg 20.3010≈）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16 8．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的
图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（ ）
A ．12
B ．1
C
D ．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A ．222a b ab +≥
B ．a b +≥
C ．114a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．2b a a b
+≥ 10．下列说法不．
正确的是（ ） A ．若A ，B 为两个事件，则“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的必要不充分条件
B ．若A ，B 为两个事件，则()()()P A B P A P B +=+
C ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=
D ．若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 相互对立
11．如果1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的任意一个向量
B ．对于平面α内任意一个向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(),λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与()21221212,,,e e λμλλμμ+∈R 共线，则有且只有一个实数λ，使得()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[]3.54-=-，[]2.12=．
已知函数()112
x x e f x e =-+，()[]g x f x =，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在R 上是增函数 C ．()g x 是偶函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置上．
13．某学校高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n =______．
14．已知函数()x f x a b =+（0a >且1a ≠）的图像过点()1,7，其反函数()1y f x -=的图像过点()4,0，则a 的值为______．
15．如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC DB AP λμ=+，则实数λμ+=______．
16．已知()32,0log ,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()0f x a -=有四个根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分） 已知不等式42x -≤的解集为A ，当0m >时，关于x 的不等式22440x x m --+≤的解集为B ．
（1）求A ，B ；
（2）当4m >时，求证：x A ∈是x B ∈的充分条件．
18．（本小题满分12分）
（1）已知()3,6A -，()5,2B -，()6,C y 三点共线，求y 的值；
（2）在（1）的条件下求线段AC 的两个三等分点的坐标．
19．（本小题满分12分）
从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160,165，[)165,170，[)170,175，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示．
（1）求频率分布直方图中x 的值；
（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
（3）估计该校学生身高的75%分位数．
20．（本小题满分12分）
已知函数()11x g x a -=-（a 是常数，0a >且1a ≠）的图像过定点(),m n ，函数()4f x mx n x
=++． （1）求证：函数()f x 在[)2,+∞上单调递增；
（2）解不等式()()22470f x x f -++-≤．
21．（本题满分12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
12． （1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；
（2）求甲最终获胜的概率．
22．（本小题满分12分）
已知函数()()log log 2a a a f x x x a ⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭
，（a 是常数，0a >且1a ≠）． （1）当2a =时，解不等式()1f x >；
（2）[]2,4x a a ∀∈，()1f x ≤，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在m ，(),n a +∞使()f x 在区间[],m n 上的值域是[]log ,log a a n m ？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，试说明理由．。