《矩阵乘法的运算律》 讲义

《矩阵乘法的运算律》讲义
一、引言
矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

掌握矩阵乘法的运算律对于理解和应用矩阵运算至关重要。

二、矩阵乘法的定义
首先，让我们来回顾一下矩阵乘法的定义。

设矩阵 A 为 m×n 矩阵，矩阵 B 为 n×p 矩阵。

则矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 C 是一个 m×p 矩阵，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素 cij 等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积之和。

即：cij ＝∑（aik × bkj) （k 从 1 到 n）
三、矩阵乘法的运算律
1、结合律
设 A、B、C 分别为 m×n、n×p、p×q 矩阵，则（AB)C ＝ A(BC)证明：
设（AB)C 的第 i 行第 j 列元素为 d ij ，A(BC) 的第 i 行第 j 列元素为 eij 。

对于（AB)C ，dij ＝∑（（AB)ik × ck j) （k 从 1 到 p）
（AB)ik ＝∑（aik × bk j) （k 从 1 到 n）
所以 dij ＝∑（∑（aik × bk j) × ck j) （k 从 1 到 p）
对于 A(BC) ，eij ＝∑（ai k ×（BC)k j) （k 从 1 到 n）
（BC)k j ＝∑（bk r × cr j) （r 从 1 到 p）
所以 eij ＝∑（ai k × ∑（bk r × cr j)）（k 从 1 到 n）
经过展开和化简，可以证明 dij ＝ eij ，即（AB)C ＝ A(BC)
2、分配律
设 A 为 m×n 矩阵，B、C 为 n×p 矩阵，则 A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC 证明：
设 A(B ＋ C) 的第 i 行第 j 列元素为 fij ，AB 的第 i 行第 j 列元素为gij ，AC 的第 i 行第 j 列元素为 hij 。

对于 A(B ＋ C) ，fij ＝∑（ai k ×（bk j ＋ ck j)）（k 从 1 到 n）＝∑（ai k × bk j) ＋∑（ai k × ck j) （k 从 1 到 n）
而∑（ai k × bk j) ＝ gij ，∑（ai k × ck j) ＝ hij ，所以 fij ＝ gij ＋hij ，即 A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC
设 B、C 为 m×n 矩阵，A 为 n×p 矩阵，则（B ＋ C)A ＝ BA ＋CA
证明方法与上述类似。

3、数乘结合律
设λ 为常数，A 为 m×n 矩阵，B 为 n×p 矩阵，则（λA)B ＝λ(AB) ＝A(λB)
证明：
设（λA)B 的第 i 行第 j 列元素为 mij ，λ(AB) 的第 i 行第 j 列元素为 Nij ，A(λB) 的第 i 行第 j 列元素为 Pij 。

对于（λA)B ，mij ＝∑（（λai k) × bk j) （k 从 1 到 n）
＝λ ∑（ai k × bk j) （k 从 1 到 n）
对于λ(AB) ，Nij ＝λ ∑（ai k × bk j) （k 从 1 到 n）
对于A(λB) ，Pij ＝∑（ai k ×（λbk j)）（k 从 1 到 n）
＝λ ∑（ai k × bk j) （k 从 1 到 n）
所以 mij ＝ Nij ＝ Pij ，即（λA)B ＝λ(AB) ＝A(λB)
四、矩阵乘法运算律的应用
1、在求解线性方程组中的应用
当我们使用矩阵来表示线性方程组时，矩阵乘法的运算律可以帮助我们简化求解过程。

例如，通过对系数矩阵进行一系列的乘法和加法运算，将方程组转化为更易于求解的形式。

2、在图像处理中的应用
图像可以用矩阵来表示，矩阵乘法可以用于图像的变换、滤波等操作。

比如，通过与特定的矩阵相乘，可以实现图像的旋转、缩放等效果。

3、在计算机图形学中的应用
在三维图形的变换和投影中，矩阵乘法起着关键作用。

利用矩阵乘法的运算律，可以高效地计算图形的位置、形状和方向的变化。

4、在机器学习中的应用
许多机器学习算法涉及到大量的矩阵运算，矩阵乘法的运算律有助于提高计算效率和准确性。

五、注意事项
1、矩阵乘法不满足交换律
一般情况下，AB ≠ BA ，除非有特殊的条件。

2、矩阵乘法的条件
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

六、总结
矩阵乘法的运算律包括结合律、分配律和数乘结合律，这些运算律
在数学和相关领域的应用中具有重要的作用。

正确理解和运用这些运
算律，能够帮助我们更高效地解决问题，推动相关领域的发展。

同时，要注意矩阵乘法的特殊性质和条件，避免在运算中出现错误。

希望通过本讲义的学习，大家能够对矩阵乘法的运算律有更深入的
理解和掌握，为进一步的学习和应用打下坚实的基础。