专题10 空间向量与立体几何选择填空题(原卷版)

专题10空间向量与立体几何选择填空题
考纲解读三年高考分析
1.空间向量及其运算
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及
其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示
,能运用向量
的数量积判断向量的共线与垂直.
2.空间向量的应用
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面
与平面的垂直、平行关系.
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一
些定理(包括三垂线定理).
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面
与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体
几何问题中的应用.
空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解
题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的
计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能
力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空
题和解答题为主，中等难度.
1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假
判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和
填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力
和逻辑推理能力.
2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计
算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角
及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型
以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函
数与方程的思想、转化与化归思想.
1．【2019年新课标3理科08】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
2．【2019年全国新课标2理科07】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
3．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）
A．8√6πB．4√6πC．2√6πD．√6π
4．【2019年浙江04】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）
A．158 B．162 C．182 D．324
5．【2019年浙江08】设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β
6．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A ．2√17
B ．2√5
C ．3
D ．2
7．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A ．3√34
B ．2√33
C ．3√24
D ．√32
8．【2018年新课标2理科09】在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ ） A ．1
5
B ．
√56 C ．√55 D ．√2
2
9．【2018年新课标3理科03】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．【2018年新课标3理科10】设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9√3，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．12√3 B ．18√3 C ．24√3 D ．54√3
11．【2018年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．【2018年浙江06】已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．【2018年浙江08】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
14．【2018年上海15】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
15．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10 B．12 C．14 D．16
17．【2017年新课标2理科04】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
18．【2017年新课标2理科10】已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．
√32 B ．√155 C ．√105 D ．√3
3
19．【2017年新课标3理科08】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π
B ．
3π4
C ．π
2
D ．π
4
20．【2017年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．π
2
+1 B ．π
2
+3 C ．
3π2
+1 D ．
3π2
+3
21．【2017年浙江09】如图，已知正四面体D ﹣ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC
=
CR RA
=2，分别记二面角D ﹣PR ﹣Q ，D ﹣PQ ﹣R ，D ﹣QR ﹣P 的平面角为
α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
22．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3√2B．2√3C．2√2D．2
23．【2019年天津理科11】已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形，侧棱长均为√5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．24．【2019年新课标3理科16】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．
25．【2019年北京理科11】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．
26．【2019年北京理科12】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
27．【2019年江苏09】如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E ﹣BCD 的体积是 ．
28．【2018年江苏10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
29．【2018年新课标2理科16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所
成角为45°，若△SAB 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为 ．
30．【2018年天津理科11】已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M ﹣EFGH 的体积为 ．
31．【2017年江苏06】如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1
V 2的值是 ．
32．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 ．
33．【2017年新课标3理科16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
36．【2017年天津理科10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
1．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（ ） A ．4
B 29
C ．223
D ．172．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A ．1
B 2
C 2
D 33．【广东省2019届高考适应性考试】平面四边形ABCD 中，2AD AB ==
5CD CB ==AD AB ⊥，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线
A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为（ ）
A ．2
B ．
1
2
C 3
D ．
33
4．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面
11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ ）
A ．线段1
B
C B ．线段1BC
C ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段
D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段
5．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
22
3
B ．20
C ．206+
D ．2010+
6．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误．．
的是（ ）
A ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60
B ．无论点F 在1B
C 上怎么移动，都有11A F B
D ⊥
C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B
D 相交于一点，记为点
E ，且
12A E
EF
= D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30
7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ） A ．
23
π
B ．
1623
π
C ．162π
D ．16π
8．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题】如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方
形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A ．253π
B ．
263π
C ．223
π
D ．233
π
9．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，
1,
2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为
（ ） A ．
1
27π
B ．
427π
C ．
827π
D ．
49π
10．【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二)】已知平面α
平面β=直线l ，点A 、
C α∈，点B 、
D β∈，且A 、B 、C 、D l ∉，点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A ．当2CD A
B =时，M 、N 不可能重合
B ．M 、N 可能重合，但此时直线A
C 与l 不可能相交 C ．当直线AB 、C
D 相交，且//AC l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB 、CD 异面时，MN 可能与l 平行
11．【山东省临沂市2019届高三模拟考试（三模)】如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
3 D ．1
12．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟】已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）
A ．1//m D Q
B ．1m Q B ⊥
C ．//m 平面11B
D Q
D ．m ⊥平面11ABB A
13．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】如图，三棱锥A BCD -的项点,,,A B C D 都在同一球面上，BD 过球心O ，2,BD ABC =∆是边长为4的等边三角形，点,P Q 分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QOC -体积的最大值为______．
14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】已知两条不重合的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，有下列四个命题： ①若m n ∥，α⊂m ，则n α∥； ②若n α⊥，m β⊥，且m n ∥，则α
β；
③若α⊂m ，n α⊂，β∥m ，n β∥，则αβ；
④若αβ⊥，m α
β=，且n β⊂，n m ⊥，则n α⊥．
其中所有正确命题的序号为______．
15．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．
16．【江苏省七市2019届高三第三次调研】已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB=3 cm ，BC=1 cm ，CD=2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为____cm 3．
17．【山东省威海市2019届高三二模考试】直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球
的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．
18．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟】记{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，已知矩形ABCD 中，
AB=2AD ，E 是边AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折至A D E '''△（A '∉平面BCD ），记二面角A BC D '--为α，二面角A CD E '--为β，二面角A DE C '--为γ，二面角A BE D '--为θ，则{}min ,,,αβγθ=____.
19．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，
过1BD 的截面的面积为S ，则S 的最小值为_______．
20．【四川省内江市2019届高三第三次模拟】如图所示，在RtΔABC 中，AB =4，AC =3，BC =5，在BC 边上任取一点D ，并将ΔABD 沿直线AD 折起，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后B 、C 两点间距离的最小值为__________．
1．两个半径都是2的球O 1和球O 2相切，且它们与直二面角α﹣l ﹣β的两个半平面都相切，另有一个半径为r 的小球O 与这个二面角的两个半平面均相切，同时与球O 1和球O 2都相切，则r 的值为 ． 2．已知a →
=（a 1，a 2，a 3），b →
=（b 1，b 2，b 3），且|a →
|＝3，|b →
|＝4，a →
⋅b →
=12，则
a 1+a 2+a 3
b 1+b 2+b 3
=
3．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 ．
4．记min {a ，b }={a(a ≤b)
b(a ＞b)，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至
△A 'D 'E '（A '∉平面BCD ），记二面角A '﹣BC ﹣D 为α，二面角A '﹣CD ﹣E 为β，二面角A '﹣DE ﹣C 为γ，二面角A '﹣BE ﹣D 为θ，则min {α，β，γ，θ}＝ ．
5．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知△ABC中，∠ABC为直角，AB＝2，BC＝1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l，（2）B∈α．则C、O两点间的最大距离为．。