2020高考数学二轮仿真模拟专练(三)理试题(带答案解析)

2020高考数学二轮仿真模拟专练（三）理
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·北京海淀一模]已知集合P ＝{x |0≤x ≤2} ，且M ⊆P ，则M 可以是( ) A ．{0，1} B ．{1，3} C ．{－1，1} D ．{0，5}
2．[2019·安徽皖南八校联考]i 为虚数单位，a ∈R ，若z ＝a －i
a ＋i
＋i 为实数，则a ＝( )
A ．－1
B ．－1
2
C ．1
D ．2
3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a >1，c >1
B ．a >1，0<c <1
C ．0<a <1，c >1
D ．0<a <1，0<c <1
4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB 中，∠AOB ＝θ，扇形AOB 的半径为3，
C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →
＋33
OB →，则θ＝( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3
，(cos x )′＝－sin x ，…，归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．－g (x )
B ．f (x )
C ．－f (x )
D ．g (x )
6．[2019·安徽池州期末]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数y ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋1的一个对称中心是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，2
7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n
＋1，则S n ＝( )
A ．2n －1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )
A ．3
B ．6
C ．7
D ．30
9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x 2
＋y 2
≤1，
则2x ＋y 的取值范
围是( )
A ．[1，2]
B ．[1，＋∞)
C ．(0，5]
D ．[1，5]
10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底
面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π
3
，则直线AD 与BC 所成的角为( )
A.π6
B.π3
C.5π12
D.π2
11．[2019·四川成都一诊]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x
2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2
＝2px (p >0)于点N ，其中C 1，C 3有一个
共同的焦点，若MF 1→＋MN →
＝0，则曲线C 1的离心率为( )
A.5＋1
2
B. 5
C.
2＋1
2
D. 2 12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(0，1]
D ．(0，1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：
①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；
②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；
⑤α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x ＋1)⎝
⎛
⎭
⎪⎫x
2－
a x 6
的展开式中常数项为60，则实数a 的值是________．
15．[2019·湖北八校联考]已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *
，n ≥2)，若a 4＝65，则a 1＝________.
16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，0≤x <1，2x －1
2，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )
＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2
cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝27，tan C ＝3
2
，求△ABC 的面积．
18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．
(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；
(2)当AB AD
＝2时，求二面角D －AC －B 的余弦值．
19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．
(1)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N (μ，σ2
)，其中μ近似地等于样本平均数x (精确到个位)，σ2
近似地等于样本方差s 2
，s 2
≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．
附：33.6≈5.8，若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.
20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点M 的纵坐标为6，且点M 到焦点F 的距离为7.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设l 1，l 2为过焦点F 且互相垂直的两条直线，直线l 1与抛物线E 相交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线E 相交于C ，D 两点，若直线l 1的斜率为k (k ≠0)，且S △OAB ·S △OCD ＝8，试求k 的值．
21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1
e
x
(m ≥0)，其中e 为自然对数的底数．
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若m ∈(1，2)，证明：当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1
e
恒成立．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3＋r cos φ，y ＝1＋r sin φ
(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋1＝0.若直线l 与曲线C 相切．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π
6
，求△MON
面积的最大值．
23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x |，g (x )＝|2x －2|. (1)解不等式f (x )>g (x )；
(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
2020高考数学二轮仿真模拟专练（三）理（答案）
一、选择题
1：答案：A
解析：∵0∈{x |0≤x ≤2}，1∈{x |0≤x ≤2}，∴{0，1}⊆{x |0≤x ≤2}，故选A.
2：答案：C
解析：z ＝a －i a ＋i ＋i ＝(a －i )2(a ＋i )(a －i )＋i ＝(a 2
－1)－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a a 2＋1i ＝a 2－1
a 2＋1
＋
(a －1)
2
a 2＋1i ，由题意可得a ＝1，故选C.
3：答案：D
解析：由对数函数的性质及题图，得0<a <1，易知c >0，所以函数y ＝log a (x ＋c )的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.故选D.
4：答案：D
解析：∵OC →＝233OA →＋33OB →，|OC →|＝|OA →|＝|OB →|＝3，∠AOB ＝θ，∴OC →2＝43OA →2＋43
OA →·OB
→
＋13OB →2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－12，∵0<θ<π，∴θ＝2π
3，故选D.
5：答案：A
解析：(x 2)′＝2x 中，函数y ＝x 2
为偶函数，其导函数y ′＝2x 为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，函数y ＝x 4为偶函数，其导函数y ′＝4x 3
为奇函数； (cos x )′＝－sin x 中，函数y ＝cos x 为偶函数，其导函数y ′＝－sin x 为奇函数；…. 我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，
若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )为偶函数， 又g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，
故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－x )＝－g (x )，故选A.
6：答案：C
解析：由函数图象可知A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2，易得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当
k ＝1时，x ＝7π12，所以函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12，1.故选C.
7：答案：B
解析：解法一 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝1
2
；当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝2a n ＋
1－2a n ，则a n ＋1a n ＝32.所以当n ≥2时，数列{a n
}是公比为3
2
的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
，n ≥2，于是S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故选B.
解法二 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝3
2
，结合选项可得只有
B 选项满足．故选B.
8：答案：C
解析：根据框图可列表如下．
a
114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3 b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 7 k 1 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
9：答案：D
解析：设z ＝2x ＋y ，作出⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥1，
x 2＋y 2
≤1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出
直线y ＝－2x ，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z 取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z 取得最大值，最大值为5，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．故选D.
10：答案：B
解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于点E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz ，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π
3，则D (3，1，0)，A (0，
－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →
＝(0，－2，22)，所以cos
〈AD →，BC →
〉＝－612×12＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.
11:答案：A
解析：易知曲线C 1为双曲线．
设曲线C 1的右焦点为F ，则F 的坐标为(c ，0)．
因为曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，所以y 2
＝4cx .
因为MF 1→＋MN →＝0，所以MF 1→＝－MN →＝NM →
，则M 为线段F 1N 的中点．
连接OM ，NF (O 为坐标原点)．因为O 为线段F 1F 的中点，M 为线段F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 的中位线，所以OM ∥NF .
因为|OM |＝a ，所以|NF |＝2a .
易知NF ⊥NF 1，|F 1F |＝2c ，所以|NF 1|＝2b .
设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得x ＋c ＝2a ， 所以x ＝2a －c .
过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a .
由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2
－e －1＝0(e >0)，所
以e ＝5＋1
2.故选A.
12:答案：D
解析：∵g (－x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数．若g (x )＝f (x 2
)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，等价于当x >0时，g (x )有2个不同的零点．∵f (x )是奇函数，∴由g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0，得f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )．∵f (x )是单调函数，∴x 2＝2|x |－a ，即－a ＝x 2－2|x |，当x >0时，－a ＝x 2－2|x |＝x 2－2x 有两个根即可．设h (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，要使当x >0时，－a ＝x 2
－2|x |有两个根，则－1<－a <0，即0<a <1，即实数a 的取值范围是(0，1)，故选D.
二、填空题
13:答案：①④⑤
解析：命题①，显然正确；命题②，m ，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能n ⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m ∥n ，m ⊥α，得n ⊥α，又α∥β，所以n ⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.
14:答案：±2
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r
·⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r ·C r 6·x 6－
3r 2.由6－32r ＝－1，得r ＝143(舍去)，由6－32r ＝0，得r ＝4.所以(x ＋1)⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－a x 6
的展开式中常数项为(－a )4
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·C 46＝
15a 4
4＝60，得a ＝±2. 15:答案：3
解析：∵a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 4＝65，∴2a 3＋24
－1＝65，得a 3＝25，∴2a 2＋23－1＝25，得a 2＝9，∴2a 1＋22
－1＝9，得a 1＝3.
16:答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，2
解析：画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )成
立，则12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋
1)＝b 2
＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.
三、解答题
17:解析：(1)依题意知a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2
cos B ，
由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2
cos B ， 因为a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B .
由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝1
2
，
因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3
.
(2)已知tan C ＝
32，C ∈(0，π)，易得sin C ＝217，cos C ＝277
， 由(1)知B ＝π
3
，
所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
32×277＋12×217＝32114
. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A
sin B ＝27×
321
143
2＝6，
所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×27×21
7＝6 3.
18:解析：(1)证明：如图，设点D 在平面ABC 内的射影为点E ，连接DE ，
则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .
因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥AD .
又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面BCD .
(2)解法一 在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连接ME . 因为DE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AC ， 又DM ∩DE ＝D ，
所以AC ⊥平面DME ，EM ⊂平面DME ，所以EM ⊥AC ， 所以∠DME 为二面角D －AC －B 的平面角． 设AD ＝a ，则AB ＝2a .
在Rt△ADC 中，易求得AM ＝5a 5，DM ＝25a
5
.
在Rt△AEM 中，EM AM ＝tan∠BAC ＝12，得EM ＝5a
10，
所以cos∠DME ＝EM DM ＝1
4
.
解法二 以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B ­xyz ，如图所示．
设AD ＝a ，则AB ＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a ，0，0)．
由(1)知AD ⊥BD ，又AB AD ＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，所以AE ＝AD cos∠DAB ＝
1
2
a ，BE ＝AB －AE ＝3
2a ，DE ＝AD sin∠DAB ＝
3
2
a ， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
2a ，32a ，AC →＝(－a ，2a ，0)．
设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·AD →＝0，
m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
12
ay ＋32az ＝0，
－ax ＋2ay ＝0.
取y ＝1，则x ＝2，z ＝－
33，所以m ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫2，1，－33. 因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3322＋12
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－332＝－1
4.
结合图知，二面角D －AC －B 为锐二面角，
所以二面角D －AC －B 的余弦值为1
4
.
19:解析：(1)x ＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.
(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P (39.2<t <50.8)＝0.682 6，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826.
20:解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到抛物线的准线的距离为7，
所以6＋p
2
＝7，解得p ＝2，
故抛物线E 的方程为x 2
＝4y .
(2)由题意可知l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x 2
＝4y ，消去y ，整理得x 2
－4kx
－4＝0，
Δ＝16(k 2＋1)>0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，
|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2
16(k 2＋1)＝4(k 2
＋1)． 由点O 到直线AB 的距离d ＝
1
k 2＋1
，
得S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4(k 2＋1)×1k 2＋1＝2k 2
＋1.
因为l 1⊥l 2，所以同理可得S △OCD ＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k 2＋1＝2k 2
＋1|k |. 由S △OAB ·S △OCD ＝8，得2k 2
＋1×2k 2
＋1
|k |
＝8，
解得k 2
＝1，即k ＝－1或k ＝1.
21:解析：(1)由题意得f ′(x )＝－
x 2＋(m －2)x ＋1－m
e
x ＝－[x －(1－m )](x －1)e
x
，当m ＝0，即1－m ＝1时，f ′(x )＝－
(x －1)
2
e
x
≤0，f (x )在R 上单调递减；当m >0，即1－m <1时，令f ′(x )<0，得x <1－m 或x >1，令f ′(x )>0，得1－m <x <1.
∴f (x )在(－∞，1－m )，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m ，1)上单调递增．
(2)令g (x )＝－x ＋1＋1
e
，问题转化为证明f (x )min >g (x )max .
由(1)可知，m ∈(1，2)时f (x )在[1，m ]上单调递减，
∴f (x )min ＝f (m )＝2m 2
＋1
e
m .
∵g (x )在[1，m ]上单调递减，
∴g (x )max ＝g (1)＝1
e
.
所以要证f (x )min >g (x )max ，只需证2m 2
＋1e m >1
e
.
记h (m )＝2m 2＋1e m (1<m <2)，则h ′(m )＝－2m 2＋4m －1
e m
， 令h ′(m )>0，得1<m <2＋2
2，
令h ′(m )<0，得2＋2
2
<m <2，
∴h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋22上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2＋22，2上单调递减．
又2×12＋1e 1＝3e ，2×22
＋1e 2
＝9e
2， ∴对任意的m ∈(1，2)，都有h (m )>3e >1
e
，
即当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1
e
恒成立．
22:解析：(1)由ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋1＝0得 32ρcos θ－1
2ρsin θ＋1＝0， 则直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 曲线C 是圆心为(3，1)，半径为r 的圆，
11 由直线l 与曲线C 相切可得r ＝|3×3－1＋2|2＝2.
则曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.
所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0， 即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π
3.
(2)由(1)不妨设M (ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6
⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1>0，ρ2>0，－π
3<θ<2π
3.
S △MON ＝12|OM |·|ON |·sin π6＝14ρ1ρ2
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2
＝2sin θcos θ＋23cos 2θ
＝sin 2θ＋3cos 2θ＋ 3
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π
3＋ 3.
当θ＝π
12时，△MON 面积的最大值为2＋ 3.
23:解析：(1)不等式f (x )>g (x )，即|2x －2|<|x |.
则(2x －2)2<x 2，即(2x －2)2－x 2<0，
故有(3x －2)(x －2)<0，解得2
3<x <2.
则所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2.
(2)2f (x )＋g (x )＝2|x |＋|2x －2|，
若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，则
①当x ≤0时，只需不等式－2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即ax <－4x ＋1， x ＝0时，该不等式恒成立，a ∈R ；x <0时，a >－4＋1
x 恒成立，可得a ≥－4. ②当0<x <1时，只需不等式2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即a <1
x 恒成立，可得a ≤1. ③当x ≥1时，只需不等式2x ＋2x －2>ax ＋1恒成立，即a <4－3
x 恒成立，可得a <1.
综上，实数a 的取值范围是[－4，1)．。