人教b版选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入(数学人教B版选修1-2).docx

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第三章数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60
分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项
正确）
1.下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x
＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
正确命题的序号是()
A．①B．②C．③D．④2. i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝()
A．－1 B．1 C．－i D．i 3.设是原点，向量对应的复数为
那么向量对应的复数是（）
A. B.
C. D.
4.对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，下列结论正确的是()
A．a＝0⇔z＝a＋b i为纯虚数
B．b＝0⇔z＝a＋b i为实数
C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇔a＝3，b＝－3
5.设
则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分
别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
7.若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－
5)i对应的点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t ∈R，则以下
结论中正确的是()
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
9.设i是虚数单位，复数1＋a i
2－i
为纯虚数，则实数a 为()
建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分
A.2
B.－2
C.－12
D.12
10. 已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )
A ．－4
5<x <2
B ．x <2
C ．x >－4
5
D ．x ＝－4
5
或x ＝2
11. 已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝－1＋a i ，
若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是( ) A ．b <－1或b >1 B ．－1<b <1 C ．b >1 D ．b >0
12. 设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等
于( )
A ．－3
4＋i
B. 3
4－i
C ．－3
4
－i
D. 3
4
＋i
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.
请将正确的答案填到横线上）
13. 已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则
实数x ＝________.
14. 已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R )，z 2＝2cos θ
＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R )，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是______．
15. 已知z ＝(1＋i)m 2－(8＋i)m ＋15－6i(m ∈R )，若
复数z 对应的点位于复平面上的第二象限，则m 的取值范围是________．
16. 已知，其中为实数，是虚数单位，则 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必
要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
17.（10分）已知复数z ＝a 2－7a ＋6
a 2
－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
18．（12分）实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点：
(1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
20.（12分）设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z
＝8，求z z.
19．（12分）设复数若求实数的值．
21.（12分）已知复数z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)
i ，
ω＝z ＋a i(a ∈R )，当⎪⎪⎪⎪
ωz ≤2时，求a 的取值范围．
22.（12分）设z ∈C ，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)|z |＝4； (2)2<|z |<4.
第三章数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）
答题纸
得分：
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13． 14． 15. 16.
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.
第三章 数系的扩充与复数的引入（数学人教B 版选修1-2）
答案
一、选择题
1.D 解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，
故①错误．在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误．a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误．④正确．故应选D.
2.A 解析：i ＋i 2
＋i 3
＝i －1－i ＝－1. 3. D 解析：
4.B 解析：a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，A 错误，B 正确．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇒a ＝3，b ＝3，C 错误．
(－1)2＝1，D 错误．故应选B.
5.D 解析：由故其对应的点位于第四象限.
6.C 解析：由题意知A (6,5)，B (－2,3)，设线段AB 的中点为C (x ，y )，则x ＝
6－22＝2，y ＝5＋3
2
＝4， ∴ 点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.
7.D 解析：a 2
－6a ＋10＝(a －3)2
＋1>0，－b 2
＋4b －5＝－(b －2)2
－1<0.
所以复数对应的点在第四象限，故应选D.
8.C 解析：∵ 2t 2
＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2
＋2t ＋2＝(t ＋1)2
＋1≥1，∴ 排除A 、
B 、D ，选C.
9. A 解析: 方法一：因为1＋a i
2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝
2－a ＋(2a ＋1)i
5
为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.
方法二：因为
1＋a i 2－i ＝i (a －i )
2－i
为纯虚数，所以a ＝2. 10.A 解析：由题意知(x －1)2＋(2x －1)2<10，解得－4
5<x <2.故应选A.
11.B 解析：由|z 1|<|z 2|得a 2＋b 2<a 2＋1，∴ b 2<1，则－1<b <1. 12.D 解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， ∴ ⎩⎨⎧
x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝34，y ＝1.∴ z ＝3
4＋i.
二、填空题
13.1 解析：复数z 能与0比较大小，则复数z 一定是实数，由题意知解得x ＝1. 14. [3,5] 解析：∵ z 1＝z 2，∴ ∴ λ＝4－cos θ.
又∵ －1≤≤1，∴ 3 ≤ 4－cos θ ≤5，∴ λ∈[3,5]．
15.（3，5） 解析：将复数z 变形为z ＝(m 2
－8m ＋15)＋(m 2
－m －6)i ，
16. 解析：由可得由是实数，得解得故
三、解答题
17. 解：(1)当z 为实数时，则有⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1或a ＝6，
a ≠±1.
所以当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a －6≠0，
a 2－1≠0，所以即a ≠±1且a ≠6.
所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1
＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠－1且a ≠6，
a ＝6.
所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．
18.解：(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2. (3)若对应点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4， 即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2. 19. 解：
得 ∴ ∴
20. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝4，z z ＝8，得 ∴
∴ z ＝2＋2i ，z ＝2－2i 或z ＝2－2i ，z ＝2＋2i ， ∴ z
z ＝2－2i
2＋2i ＝－i 或z z ＝2＋2i 2－2i ＝i.∴z z
＝±i.
21.解：z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ＝(2＋4i)－(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)1＝1－i.
∵ ω＝z ＋a i ＝1－i ＋a i ＝1＋(a －1)i ，∴ ωz ＝1＋(a －1)i 1－i
＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i
2.
∴ ⎪⎪⎪⎪ωz ＝(2－a )2＋a 2
2
≤2，∴ a 2－2a －2≤0，∴ 1－3≤a ≤1＋ 3. 故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．
所以满足条件|z |＝4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆（如图1）．
图 1 图2
(2)不等式2<|z |<4可化为不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
|z |<4，|z |>2.
不等式|z |<4的解集是圆|z |＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是不等式组所表示的集合．容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图2）．。