2019年高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型优化练习新人教A版必修3

3.3.1 几何概型
[课时作业] [A 组 学业水平达标]
1．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条
弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A.1
2 B.32
C.13
D.14
解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π
3，由圆的
对称性及几何概
型得P ＝2π32π＝1
3.故选C.
答案：C
2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方
形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为( ) A.π2 B.12 C.
π4 D.π8
解析：所求概率P ＝12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122
1×1＝π
8.故选D.
答案：D
3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.1
9 C.
111 D.18
解析：总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ， ∴P ＝110.
答案：A
4．已知点P ，Q 为圆C ：x 2
＋y 2
＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A.35 B.
9
25
C.
1625 D.25
解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概
率为25π－16π25π＝925，故选B.
答案：B
5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1 (x ＋1
2
)≤1”
发生的概率为
( )
A.34
B.2
3 C.13 D. 1
4 解析：由－1≤
(x ＋1
2
)≤1得，
≤log 12(x ＋12
)≤
12，12≤x ＋12≤2,0≤x ≤3
2
，所以由几何概型概率的计算公式得，P ＝3
2－02－0＝3
4，故选A.
答案：A
6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 的长度小于1的概率为
________．
解析：如图可设与
的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是2
3
.
答案：23
7．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为9
10
，那么该台每小时约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为910，则看到广告的概率约为110，故60×1
10＝
6. 答案：6
8．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC
任意分成两段作为长方体的长和宽，则长
方体的体积超过128 cm 3
的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2
－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝1
3.
答案：13
9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．
解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；
(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1
15
；
(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间
全部时间
＝4575＝35
. 10．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使M ­ABCD 的体积小于1
6的概率．
解析：设点M 到面ABCD 的距离为h ， 则V M ­ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，即h ＝1
2
.
所以只要点M 到面ABCD 的距离小于1
2
时，即满足条件．
所有满足点M 到面ABCD 的距离小于12的点组成以面ABCD 为底，高为12的长方体，其体积为1
2.
又因为正方体体积为1，
所以使四棱锥M ­ABCD 的体积小于1
6的概率为P ＝1
21＝12
.
[B 组 应考能力提升]
下底长分别为a
3与
1．如图所示，在一个边长为a ，b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、
a
2
，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A.112
B.14
C.
512 D.712
解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形
＝ab ，S
梯形
＝12(13a ＋12a )·b ＝5
12
ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab
ab ＝5
12.
答案：C
2．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x ≥0－1
2
x ＋1，x ＜0的
图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.1
4 C.38 D.12
解析：由已知得B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)，则矩形ABCD 的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为1
2×3×1
＝3
2，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 答案：B
3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不
小于30°的概率是________．
解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：
当射线OC 位于中间一部分时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°， ∴使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为：
P ＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝13
，故使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概
率为13.
答案：13
4．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm ，4 cm ，2 cm.某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中
线上或没有击中木
板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？
解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D ＝16×16＝256(cm 2
)．
设“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则 事件A 所占区域面积为d A ＝π×62
＝36π(cm 2
)； 事件B 所占区域面积为
d B ＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm 2)；
事件C 所占区域面积为
d C ＝D －d A ＝(256－36π)(cm 2)．
由几何概型的概率公式，得
(1)P (A )＝d A D ＝36π256＝9
64
π，
即投中大圆内的概率为9
64
π.
(2)P (B )＝d B D ＝12π256＝3
64
π，
即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为3
64
π.
(3)P (C )＝d C D ＝256－36π256＝1－9
64
π，
即投中大圆之外的概率为1－9
64
π.
5.设关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析：设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是(2a )2
－4b 2
≥0，即a ≥b . (1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，而构成
事件A 的区域
为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分，所以P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3.。